1、题型一 探索规律题 类型类型 1 1 数式规律数式规律 1. 观察下列各式：a1= ，a2= ，a3= ，a4=，a5= ，根据其中的规律可得 an=_（用含 n 的式 子表示） 2. 南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了（a+b）n（n 为 非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表 称为“杨辉三角” （a+b）0=1 （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 则（a+b）9展开
2、式中所有项的系数和是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 3. 在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时， 张红发现： 从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍， 于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38， 然后在式的两边都乘以 3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39， -得，3S-S=39-1，即 2S=39-1， 所以 S= 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 m（m0且 m1），能否求出 1+m+m2+m3+m4+m2016的值？如能求出，其正确答案是_ 4. 将自然数按以
3、下规律排列： 表中数 2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数 5与（1，3）对应，数 14与（3，4）对应， 根据这一规律，数 2014 对应的有序数对为_ 5. 观察下列各式： =1+， =1+， =1+， 请利用你所发现的规律， 计算+，其结果为_ 类型类型 2 2 点的坐标规律点的坐标规律 6. 如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，2），以点 O为圆心，以 OA 1长为半径画弧，交直线 y= x 于点 B1过 B1点作 B1A2y轴，交直线 y=2x于点 A2，以 O为圆心，以 OA2长为半径画弧，交直线 y= x 于点 B2；过点 B2作 B2A3y轴，交直线 y=
4、2x于点 A3，以点 O 为圆心，以 OA3长为半径画弧，交直 线 y= x 于点 B3；过 B3点作 B3A4y 轴，交直线 y=2x 于点 A4，以点 O 为圆心，以 OA4长为半径画弧， 交直线 y= x 于点 B4，按照如此规律进行下去，点 B2018的坐标为_ 第 6 题图 第 7 题图 7. 在平面直角坐标系中， 一个智能机器人接到的指令是： 从原点 O出发， 按“向上向右向下向右” 的方向依次不断移动，每次移动 1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 A1，第二次移 动到点 A2第 n次移动到点 An，则点 A2019的坐标是（ ） A. （1010，0） B. （10
5、10，1） C. （1009，0） D. （1009，1） 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y=x+1和双曲线 y=- ，在直线上取一点，记为 A 1，过 A1作 x 轴 的垂线交双曲线于点 B1，过 B1作 y轴的垂线交直线于点 A2，过 A2作 x轴的垂线交双曲线于点 B2，过 B2作 y 轴的垂线交直线于点 A3， ， 依次进行下去， 记点 An的横坐标为 an， 若 a1=2， 则 a2020=_ 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9. 如图，已知直线 l：y= x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l于点 B，过点 B 作直线 l的垂线交 y 轴于点 A1
6、；过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l于点 B1，过点 B1作直线 l的垂线交 y 轴于点 A2；按此作法 继续下去，则点 A2013的坐标为_ 10. 如图所示， 在平面直角坐标系 xoy 中， 一组同心圆的圆心为坐标原点 O， 它们的半径分别为 1， 2， 3， ， 按照“加 1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，都与 x轴垂直，相邻两直线的间距为 l，其中 l0 与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1， 半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2， ， 半径为 n+1的圆与 ln在第一象限内交于点 Pn，则点 Pn的坐标为_（n为正整数） 类型类型 3 3 图形变
7、化规律图形变化规律 11. 如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第 10 个这样的图案需要黑色棋子的个数 为（ ） A. 148 B. 152 C. 174 D. 202 12. 用棋子摆出下列一组图形： 按照这种规律摆下去，第 n 个图形用的棋子个数为（ ） A. 3n B. 6n C. 3n6 D. 3n3 13. 如图，四边形 ABCD是正方形，曲线 DA1B1C1D1A2是由一段段 90度的弧组成的其中： 的圆心为 点 A，半径为 AD；的圆心为点 B， 半径为 BA1；的圆心为点 C，半径为 CB1；的圆心为点 D， 半径为 DC1； ，的圆心依次按点 A，B，C，
8、D循环若正方形 ABCD的边长 为 1，则的长是_ 第 13 题图 第 14 题图 14. 如图，某广场地面是用 A，B，C三种类型地砖平铺而成的三种类型地砖上表面图案如图所示现 用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）地砖 记作（2，1）若（m，n）位置恰好为 A型地砖，则正整数 m，n须满足的条件是_ 15.数轴上 O，A两点的距离为 4，一动点 P 从点 A 出发，按以下规律跳动：第 1次跳动到 AO 的中点 A1处， 第 2次从 A1点跳动到 A1O的中点 A2处，第 3次从 A2点跳动到 A2O 的中点 A3处，按照这样的规律继续跳动
9、到点 A4，A5，A6，An（n3，n 是整数）处，那么线段 AnA的长度为_（n3，n 是整数） 答案 1.【答案】 【解析】解：由分析可得 an= 故答案为： 观察分母的变化为 3、5、7，2n+1 次幂；分子的变化为：奇数项为 n2+1；偶数项为 n2-1；依此即可求 解 本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推 导得出答案 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了完全平方公式， （a+b）n展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键 由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）n展开式的各项系数之和为 2n，代入（a+
10、b）9计算可得所有项的系数 和 【解答】 解：当 n=1、2、3、4、时， （a+b）n展开式的各项系数之和分别为 2、4、8、16、， 由此可知 则（a+b）9展开式中所有项的系数和为（1+1）9=29=512. 故选 C 3.【答案】（m0且 m1） 【解析】解：设 S=1+m+m2+m3+m4+m2016（m0 且 m1）， 将 m 得：mS=m+m2+m3+m4+m2017， 由-得：mS-S=m2017-1，即 S=， 1+m+m2+m3+m4+m2016= （m0 且 m1） 故答案为：（m0 且 m1） 仿照例子，将 3 换成 m，设 S=1+m+m2+m3+m4+m2016（m
11、0且 m1），则有 mS=m+m2+m3+m4+m2017， 二者做差后两边同时除以 m-1，即可得出结论 本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算 1+m+m2+m3+m4+m2016本题属于基 础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减 法来求出结论，此题中尤其要注意 m的取值范围 4.【答案】（45，12） 【解析】解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方， 第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同； 45 45=2025，2014在第 45 行，向右依次减小， 2014所在的位置是第 45行
12、，第 12 列， 其坐标为（45，12） 故答案为：（45，12） 根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的 数的规律，从而得出 2014所在的位置 此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问 题的关键 5.【答案】9 【解析】解：由题意可得： + =1+1+1+1+ =9+（1- + - + - + -） =9+ =9 故答案为：9 直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案 此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键 6.【答案】（22018，22017） 【解析】 【分析】
13、 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出 相应的点的坐标 根据题意可以求得点 B1的坐标，点 A2的坐标，点 B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求 得点 B2018的坐标 【解答】 解：由题意可得， 点 A1的坐标为（1，2）， 设点 B1的坐标为（a， a）， ，解得，a=2， 点 B1的坐标为（2，1）， 同理可得，点 A2的坐标为（2，4），点 B2的坐标为（4，2）， 点 A3的坐标为（4，8），点 B3的坐标为（8，4）， 点 B2018的坐标为（22018，22017）， 故答案为：（22018，22017） 7.
14、【答案】C 【解析】 【分析】 根据图象可得智能机器人移动 4 次完成一个循环，再计算 2019次移动中共完成了几次循环，余数为多少， 即可得出点 A2019的坐标 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的变化规律，解答本题的关键是观察智能机器人移动的规律 【解答】 解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1）， 由智能机器人移动的规律看出：每移动 4 次将在 x轴上向右前进 2 个单位长度， 20194=504.3， 完成 504次移动后，机器人回到 x轴，离坐标原点的距离为：个单位长度， 接下来机器人还需继续按规律移动 3 次，再次到达 x
15、 轴，水平前进了 1个单位长度，此时离坐标原点的距离 为：1008+1=1009 个单位长度， A2019的坐标是（1009，0） 故选 C 8.【答案】2 【解析】解：当 a1=2 时，B1的横坐标与 A1的横坐标相等为 a1=2， A2的纵坐标和 B1的纵坐标相同为 y2=- =- ， B2的横坐标和 A2的横坐标相同为 a2- ， A3的纵坐标和 B2的纵坐标相同为 y3=- = ， B3的横坐标和 A3的横坐标相同为 a3=- ， A4的纵坐标和 B3的纵坐标相同为 y4=- =3， B4的横坐标和 A4的横坐标相同为 a4=2=a1， 由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，3 个为
16、一组依次循环， 2020 3=6731， a 2020=a1=2， 故答案为：2 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出 A1、B1、A2、B2、A3、B3，从而得到每 3次变化 为一个循环组依次循环，用 2020除以 3，根据商的情况确定出 a2020即可 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察 出每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点 9.【答案】（0，42013）或（0，24026） 【解析】解：直线 l的解析式为：y=x， l 与 x轴的夹角为 30 ， ABx 轴， ABO=30 ， OA=1，
17、 AB=， A1 Bl， ABA1=60 ， AA1 =3， A1（0，4）， 同理可得 A2（0，16）， ， A2013纵坐标为：42013， A2013（0，42013） 故答案为：（0，42013）或（0，24026） 根据所给直线解析式可得 l与 x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点 A1，A2的坐标，通过相应规律得到 A2013坐标即可 本题考查的是一次函数综合题， 先根据所给一次函数判断出一次函数与 x轴夹角是解决本题的突破点； 根据 含 30 的直角三角形的特点依次得到 A、A1、A2、A3的点的坐标是解决本题的关键 10.【答案】（n，） 【解析】解：连接 OP1，OP2，
18、OP3，l1、l2、l3与 x 轴分别交于 A1、 A2、A3，如图所示： 在 RtOA1P1中，OA1=1，OP1=2， A1P1= =， 同理：A2P2=，A3P3= =， P1的坐标为（1， ），P2的坐标为（2， ），P3的坐标为（3， ）， 按照此规律可得点 Pn的坐标是（n，），即（n， ） 故答案为：（n，） 连 OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与 x 轴分别交于 A1、A2、A3，在 RtOA1P1中，OA1=1，OP 1=2，由勾股定理 得出 A1P1= ，同理：A2P2=，A3P3=，得出 P1的坐标为（1， ），P2的坐标为（2， ），P3的坐标为（3， ），得出
19、规律，即可得出结果 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关 键 11.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现棋子的规律是解题的关键 观察各图可知棋子数量的规律，然后写成第 n 个图案的通式，再取 n=10进行计算即可求解 【解答】 解：根据图形，第 1 个图案有 12=2（1+2+3）+2 0枚棋子， 第 2个图案有 22=2（1+2+3+4）+2 1 枚棋子， 第 3个图案有 34=2（1+2+3+4+5）+2 2 枚棋子， 第 4个图案有 48=2（1+2+3+4+5+6）+2 3 枚棋子， 第 n
20、个图案有 2（1+2+n+1+n+2）+2（n-1）枚棋子， 故第 10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（枚） 故选：C 12.【答案】D 【解析】 【分析】 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相 比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论本题考查了 规律性.图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部 分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善于用联想来解决这类问题 【解答】 解：第一个图需棋子 3+3=6； 第二个图需棋子 3 2+3=
21、9； 第三个图需棋子 3 3+3=12； 第 n个图需棋子（3n+3）枚 故选 D 13.【答案】4039 【解析】 【分析】 此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键 曲线 DA1B1C1D1A2是由一段段 90 度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径多 1，总结出规律 ADn-1=AAn=4 （n-1）+1，BAn=BBn=4（n-1）+2，再计算弧长即可 【解答】 解： 由图可知， 曲线DA1B1C1D1A2是由一段段 90度的弧组成的， 半径每次比前一段弧半径多1， AD=AA1=1， BA1=BB1=2，ADn-1=AAn=4（n-1）+1，BAn
22、=BBn=4（n-1）+2， 故的半径为 BA2020=BB2020=4（2020-1）+2=8078，的弧长= 故答案为：4039 14.【答案】m、n 同为奇数或 m、n同为偶数 【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位 置上， 若用（m，n）位置恰好为 A 型地砖，正整数 m，n 须满足的条件为 m、n同为奇数或 m、n同为偶数 故答案为 m、n同为奇数或 m、n 同为偶数 几何图形，观察 A 型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的， 从而得到 m、n满足的条件 本题考查了图形规律问题以及坐标表示位
23、置：通过类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力分 析图形，寻找规律是关键 15.【答案】4- 【解析】 【分析】 考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应 找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律，根据题意，得第一次跳动到 OA 的中点 A1处，即在离原点的 长度为 4，第二次从 A1点跳动到 A2处，即在离原点的长度为（ ）2 4，则跳动 n 次后，即跳到了离原点 的长度为（ ）n 4=，再根据线段的和差关系可得线段 AnA 的长度 【解答】 解：由于 OA=4， 所有第一次跳动到 OA 的中点 A1处时，OA1= OA= 4=2， 同理第二次从 A1点跳动到 A2处，离原点的（ ）2 4 处， 同理跳动 n 次后，离原点的长度为（ ）n 4=， 故线段 AnA 的长度为 4-（n3，n是整数） 故答案为：4-
