1、 专题 04 和长度有关的最值 2021 届中考数学压轴大题专项训练 （解析版） 1如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕 被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，A，B两点的距离为45cm，求螳螂爬行 的最短距离（ 取 3） 【解析】解：将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得 AB即为螳螂爬行的最短距 离 AF=2 1060cm，BF=45cm 2222 604575ABAFBF cm 答：螳螂爬行的最短距离为 75cm 2如图，在RtABC中，90ABC， BAC的平分线AD交BC于D；若DB=3
2、，点P为AC边 上的动点，求DP长度的最小值 【解析】解：由点 P 是 AC上的动点，要使 DP 的长度最小，根据点到直线垂线段最短， DPAC，如图所示： AD平分BAC，ABC=90 ， BD=DP， BD=3， DP=3， 即 DP 的最小值为 3 3如图，ABD是边长为2的等边三角形，点C为AB下方的一动点， 90ACB （1）若30ABC ，求CD的长； （2）求点C到AB的最大距离； （3）当线段CD的长度最大时，求四边形ACBD的面积 【解析】 1ABD是等边三角形，60DBA 又30ABC 90DBC 90 ,2ACBAB 22 1 2,1,213 2 BDABACABBC 2
3、2 3 47CDBCBD ; 2取AB的中点E，连接CE :ACB=90 ，AB=2, 1 1. 2 CEAB 又点C为AB下方的一动点， 当CE AB时，点C到AB的距离最大为1 3连接DE ABD为等边三角形， DEAB. 2BDAB 4 13DEBDBE 根据三角形三边关系13CDCEDE 即,C D E共线时，CD最大， CD的最大长度为13 此时CDAB，四边形ABCD的面积为 11 21313 22 AB CD 4已知抛物线13 0ya xxa与y轴交于点C，且 3OC （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）若 11 ,M x y， 2 5,Ny均在该抛物线上，且 12 y
4、y，求M点横坐标 1 x的取值范围； （3）点P为抛物线在直线BC下方图象上的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标 【解析】解： （1）把0,3代入13ya xx， 即33a ，解得：1a ， 故抛物线的表达式为： 2 43yxx， 2 43yxx = 2 (2)1x 则顶点2, 1D （2）由（1）知抛物线的对称轴2x， 所以点N关于2x对称点 2 1,Qy在抛物线上 12 yy 1 x的取值范围为 1 15x （3）令 y=0,即 2 43yxx =0， 解得 x1=1,x2=3, C（3,0） 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y mxn 得 30 3 mn n 解得： 1 3 m
5、 n 直线BC的表达式为： 3yx ， 过点P作y轴的平行线交BC于点H， 设点 2 ,43P x xx，则点,3H xx ， 22 3433PHxxxxx 则 2 13 3 22 PBC SPHOBxx， 3 0 2 ，故 PBC S有最大值，此时 3 2 x ， 故点 33 , 24 P 5某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线l同旁有两个定点 A、B，在直线l上存在点 P，使得 PA十 PB的值最小解法：如图 1，作点 A关于 直线l的对称点 A，连接 AB， 则 AB 与直线l的交点即为 P，且 PAPB的最小值为 AB 请利用上述模型解决下列问题； （1）如图 2，AB
6、C 中，C=90 ，E是 AB的中点，P 是 BC 边上的一动点，作出点 P，使得 PAPE的值 最小； （2）如图 3，AOB=30 ，M、N分别为 OA、OB上一动点，若 OP=5，求 PMN 的周长的最小值 【解析】 （1）作点 A关于直线 BC 的对称点 1 A，连接 1 AE，交 BC 于 P， 如图所示，点 P 即为所求； （2）作点 P 关于直线 OA的对称点F，作点这 P 关于直线 OB的对称点G，连接FG，分别交 OA、OB 于 M、N，如图： 根据“将军饮马问题”得到 PMN 的周长的最小值为FG， 由轴对称的性质得：FOA=AOP，POB=GOB，OP=OF，OP=OG，
7、 AOP+POB=AOB=30，OP= 5， FOG=FOA+AOP+POB+GOB=23060，OF=OG=5， FOG为边长为 5的等边三角形， 5FG ， 答：PMN的周长的最小值为5 6如图，在平面直角坐标系中，0,1A、2,0B、0, 2C，连接BC，点P是x轴上任意一点，连 接AP，求 2 2 PAPB的最小值 【解析】解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为点D，与x轴交于点P 0,1A、2,0B、0, 2C， 1OA，2OBOC OBC为等腰直角三角形 45OBC 2 2 PAPBPAPDAD ADBC， 此时 2 2 PAPB的值最小，最小值为AD的长 3ACOA OC，45OC
8、B， 23 2 22 ADAC 2 2 PAPB的最小值为 3 2 2 7如图 1，在平面直角坐标系中有长方形 OABC，点(0,4)C，将长方形 OABC 沿 AC折叠，使得点 B 落在 点 D 处，CD边交 x轴于点 E，30OAC （1）求点 D的坐标； （2） 如图 2， 在直线 AC 以及 y轴上是否分别存在点 M， N， 使得 EMN的周长最小？如果存在， 求出 EMN 周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点 P 为 y轴上一动点，作直线 AP 交直线 CD于点 Q，是否存在点 P使得 CPQ 为等腰三角形？如果 存在，请求出OAP 的度数；如果不存在，请说明理由 【解析
9、】解： （1）四边形 AOCB 是矩形， OCAB4， OAC30 AC2CO8，AO3CO43，CAB60 ， 长方形 OABC沿 AC折叠，使得点 B 落在点 D处， ADAB4，CAD60 ， DAO30 ， 如图 1，过点 D作 DFAO于 F， DFAO，DAO30 ， DF 1 2 AD2，AF3DF23 ， OFAOAF2 3， 点 D坐标（2 3，2） ； （2） 如图 2， 过点 E作 y轴的对称点 G， 过点 E作 AC的对称点 H， 连接 GH交 y轴于点 N， 与 AC交于 M， 即 EMN 的周长最小值为 GH， OAD30 ，AD4，ADC90 AE 8 3 3 ，
10、 OE 4 3 3 ， 点 G，点 E 关于 y 轴对称，点 E，点 H关于 AC对称， 点 G（ 4 3 3 ，0） ，点 H（ 8 3 3 ，4） GH 22 4 38 3 ()(04)8 33 ， EMN 的周长最小值为 8； （3）存在点 P 使得 CPQ 为等腰三角形， ACBACD30 ， OCE30 ， 若 CPCQ，如图 3， CPCQ，OCE30 ， CPQ75 ， OAP90 CPQ15 ， 若 PQCQ 时，如图 4， CQPQ， QPCPCQ30 ， OAP90 CPQ60 ； 若 CPPQ，如图 5， PCQPQC30 ， OPA60 ，且OCA60 ， 不存在这样的
11、点 P， 综上，满足条件的点 P 存在，并且OAP=15 或 60 8如图 1，直线AB分别与坐标轴交于点 0, 4A和点3,0B ，C点的坐标是2,0点D是直线AB 上的一个动点，以DC为边在DC一侧作正方CDEF形（C、D、E、F四点始终为逆时针顺序） （1）求直线AB的解析式； （2）当正方形CDEF的一个顶点恰好落在y轴上时（D点除外） ，求出对应的D点的坐标； （3）如图 2，45MDN，且MDN的两边分别交边EF和FC于M、N两点，连接MN，在点D 运动的过程中，当FMN的周长最小时，直接写出对应的点D的坐标和FMN周长的最小值 【解析】 （1）设直线l解析式为y kxb ， A，
12、B两点在直线l上， 4b ， 4 3 k ， AB的解析式: 4 4 3 yx （2）正方形顶点F落于y轴上，且C点横坐标为 2， D点纵坐标为 2， 将2y ，代入 4 4 3 yx 中，得 9 2 x 9 ,2 2 D ； 当点E在y轴上时，同法可得 1212 , 77 D ； （3）将DCN向左旋转90得到DEQ， CDDE， Q ，E，F三点一线， 45DMN ， 45QDMEDMCDN ， 在DMQ和DMN中， DMDM QDMNDM DQDN ， ()DMQDMN SAS ， MNQMEMCN ， FMN周长2FMFNMNCD， 在点D运动的过程中， FMN的周长存在最小值 即让C
13、D最短即可，C点到直线l最短距离为垂线段长度，即CDl即可， 直线CD的斜率 3 4 ， 设直线CD解析式为 3 4 yxb， 直线CD经过C点，代入C点坐标得 3 2 b ， 直线CD解析式为 33 42 yx ， 直线CD与l的交点为（ 6 5 ， 12 5 ） ， 故点 612 , 55 D 时，FMN周长有最小值为 8 9如图，在矩形 ABCD中，AB=2，E 为 BC上一点，且 BE=1，AED=90 ，将AED 绕点 E顺时针旋转 得到 AED ，AE交 AD 于 P， DE 交 CD于 Q，连接 PQ，当点 Q与点 C重合时，AED停止转动 （1）求线段 AD 的长； （2）当点
14、 P 与点 A不重合时，试判断 PQ与A D 的位置关系，并说明理由； （3）求出从开始到停止，线段 PQ的中点 M 所经过的路径长 【解析】解： （1）AB2，BE1，B90 ， AE 22 ABBE 22 21 5， AED90 ， EAD+ADE90 ， 矩形 ABCD 中，ABCBAD90 ， BAE+EAD90 ， BAEADE， ABEDEA， ADAE AEBE ， 5 15 AD ， AD5； （2）PQAD，理由如下： 5,5ADAE，AED90 22 DEDAAE 22 5( 5)25， ADBC5， ECBCBE514， 过点 E作 EFAD于点 F， 则FEC90 ，
15、AEDAED90 ， PEFCEQ， CPFE90 ， PEFQEC， 21 42 EPEF EQEC ， 51 22 5 EAEA EDED ， EPEA EQED ， PQAD； （3）连接 EM，作 MNAE 于 N， 由（2）知 PQAD， EPQAEAP， 又PEQ为直角三角形，M为 PQ中点， PMME， EPQPEM， EPFEAP+AEA，NEMPEM+AEA EPFNEM， 又PFEENM90 ， PEFEMN， NMEM EFPE PQ 2PE 为定值， 又EFAB2， MN 为定值，即 M的轨迹为平行于 AE的线段， M初始位置为 AD 中点，停止位置为 DE 中点， M
16、的轨迹为 ADE的中位线， 线段 PQ的中点 M所经过的路径长 1 AE 2 5 2 10如图 1，点 C是线段AB上一点，将CA绕点 C 顺时针旋转 90 得到CE，将CB绕点 C旋转，使点 B 的对应点 D落在CE上，连BE，AD，并延长AD交BE于点 F （1）求证：AFBE； （2）连接CF，猜想AF，EF，CF存在的等量关系，并证明你猜想的结论 （3）如图 2，延长AB到G，使BGCB，将线段BG沿直线BE上下平移，平移后的线段记为BG ， 若60ABE，当CBCG的值最小时，请直接写出tanGCG的值 【解析】 （1）证明：CA=CE，CD=CB，90ACDECB ACDECB A
17、E ADCEDF（对顶角相等） 90ACDEFD AFBE （2）AF，EF，CF存在的等量关系为： 2AFFECF 过点 C作CMAF于点 M，作CNBE于点 N AFBE 四边形 CMFN 为矩形 AE ，90AMCENC，CA=CE ACMECN CM=CN，AM=EN 四边形 CMFN 为正方形 2 2 FMFNCF AM=EN AFFMFEFN 2AFFECF （3）由题意可知B GBG ，且BGBG BGCB /BGBC，且BGBC 四边形BCBG 为平行四边形 当CBCG的值最小时，即BG CG的值最小 点 G在 GG 上运动时，60GGBABE 根据将军饮马模型（或轴对称的性质
18、） ，若使BGCG，应作 B 关于 GG 的对称点 B ，连接 CB ，则 CBBGCG 过 B 作B HAB于点 H 60GGBB GG 60B GH 设BCBGB Ga 3 2 B Ha， 1 2 GHa 3 3 2 tan 1 5 2 a B H GCG CH aaa 3 tan 5 G CG 11如图 1，平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为 4，60ABC，对角线AC与BD的交点E恰 好在y轴上，点G是BC中点，直线AG交BD于F （1）点F的坐标为_； （2）如图 1，在x轴上有一动点H，连接FH请求出 1 2 FHDH的最小值及相应的点H的坐标； （3）如图 2，若点N是直线A
19、C上的一点，那么在直线AG上是否存在一点M，使得以B、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】解： （1）如图 1中， 四边形ABCD是菱形，60ABC， 4ABBCCDAD，60ABCADC，CABD， 30EDCEDA ，90CED， 1 2 2 ECCD， 60ECD， 90EOC， 30CEO， 1 1 2 OCEC， 33OEOC， ( 1,0)C， (0, 3)E， (3,0)D， AEEC，BEDE， (1A ，2 3)， ( 3B ，2 3)， 直线BC的解析式为 33yx ，直线BD的解析式为 3 3 3 yx， AGB
20、C， 直线AG的解析式为 35 3 33 yx， 由 35 3 33 3 3 3 yx yx ，解得 1 4 3 3 x y ， 4 3 ( 1,) 3 F 故答案为 4 3 ( 1,) 3 （2） 如图1 1中， 过点D作射线DM， 使得30ODM， 点点H作HKOM于K， 过点F作FJDM 于J (3,0)D ，30ODK， 4 3 ( 1,) 3 F ， 直线DM的解析式为 3 3 3 yx， FJDM， 直线FJ的解析式为 3yx ， 由 3 3 3 3 yx yx ，解得 3 4 3 3 4 x y ， 3 ( 4 J ， 3 3 ) 4 ， 22 33 34 3579 (1)()
21、4436 FJ ， 在Rt DHK中，30KDH， 1 2 KHDH ， 1 2 FHDHFHHKFJ ， 1579 26 FHDH， 1 2 FHDH的最小值为 579 6 ，此时点H的坐标为(0,0) （3）如图 2中，过点C作/ /CNBF交AG于N，连接BN，CF ABC是等边三角形，AGBC， BGCG， BFGCNG ，BGFCGN ， ()BGFCGN AAS ， BFCN， / /BFCN， 四边形BFCN是平行四边形， 当点M与C重合时，四边形BFMN是平行四边形，此时( 1,0)M ， 根据对称性可知，当点M与M关于点A对称时，四边形BFN M是平行四边形，此时 (3M ，
22、4 3)， 综上所述，满足条件的点M的坐标为( 1,0)或(3，4 3) 12如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx-5与 x轴交于 A（-1，0） ，B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 2，CEx轴与抛物线相交于点 E，点 H是直线 CE下方抛物线上的动点，过点 H且与 y轴平行 的直线与 BC，CE分别交于点 F，G，试探究当点 H运动到何处时，四边形 CHEF的面积最大，求点 H的 坐标及最大面积； （3）若点 K为抛物线的顶点，点 M（4，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y轴上是否存在点 P，Q，使 四边形 PQKM
23、 的周长最小，若没有，说明理由；若有，求出点 P，Q的坐标 【解析】解： （1）点 A（1，0） ，B（5，0）在抛物线 yax2+bx5 上， 50 25550 ab ab ， 解得 1 4 a b ， 抛物线的表达式为 yx24x5， （2）设 H（t，t24t5） ， CEx 轴， 点 E的纵坐标为5， E在抛物线上， x24x55， x0（舍）或 x4， E（4，5） ， CE4， 设直线 BC的解析式为 y=kxc 将 B（5，0） ，C（0，5）代入，得 05 5 kc c 解得： 1 5 k c 直线 BC的解析式为 yx5， F（t，t5） ， HFt5（t24t5）（t 5
24、2 ）2+ 25 4 ， CEx 轴，HFy轴， CEHF， S四边形CHEF 1 2 CEHF2（t 5 2 ）2+ 25 2 ， -20 当 t= 5 2 时，S四边形CHEF最大，最大值为 25 2 H（ 5 2 ， 35 4 ） ； （3）如图 2，四边形 PQKM 的周长=PMPQQKKM（其中 KM 为定值） K 为抛物线的顶点，y=x2-4x-5=（x-2）2-9 K（2，9） ， K 关于 y轴的对称点 K（2，9） ， M（4，m）在抛物线上， m=16165=-5 M（4，5） ， 点 M 关于 x轴的对称点 M（4，5） ， 连接 KM，分别交 x 轴于点 P，交 y轴于点 Q 此时 PM=PM，QK=QK 此时四边形 PQKM 的周长=PMPQQKKM= PMPQ QKKM=MKKM，根据两点之间线段 最短，此时四边形 PQKM的周长最小 设直线 KM的解析式为 yexd 将 K、M的坐标代入，得 92 54 ed ed 解得： 7 3 13 3 e d 直线 KM的解析式为 y 713 33 x， 当 y=0 时，解得 x= 13 7 ；当 x=0 时，解得 y= 13 3 ，P（13 7 ，0） ，Q（0，13 3 ）
