1、2021 中考数学一轮专题训练：二次函数的图象及其性质中考数学一轮专题训练：二次函数的图象及其性质 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 若 yax2bxc，则由表格中的信息可知 y 与 x 之间的函数解析式是( ) x 1 0 1 ax2 1 ax2bxc 8 3 A.yx24x3 Byx23x4 Cyx23x3 Dyx24x8 2. 如图，已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象经过 A(1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m， n)，则下列说法中错误的是( ) A. c3 B. m1 2 C. n2 D. b1 3. （2020 杭州）设函数 2 ()
2、ya xhk（a，h，k是实数，0a ），当1x 时，1y ；当8x 时， 8y ，（ ） A若4h ，则0a B若5h ，则0a C若6h ，则0a D若7h ，则0a 4. 已知二次函数 yax2bx2(a0)的图象的顶点在第四象限，且过点(1，0)，当 ab 为整 数时，ab 的值为( ) A. 3 4或 1 B. 1 4或 1 C. 3 4或 1 2 D. 1 4或 3 4 5. 设直线 x1 是函数 yax2bxc(a，b，c 是实数，且 a1，则(m1)ab0 B. 若 m1，则(m1)ab0 C. 若 m0 D. 若 m1，则(m1)ab0；9a3bc1； 关于 x 的方程 ax
3、2bxc0(a0)有一个根为1 a.其中正确的结论个数有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. （2020 嘉兴）已知二次函数y=x2，当axb时myn，则下列说法正确的是（ ） A当nm=1时，ba有最小值. B当nm=1时，ba有最大值. C当ba=1时，nm无最小值. D当ba=1时，nm有最大值.B 9. （2020 安徽）如图，ABC和DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条 直线l上，点C，E重合，现将ABC沿直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动，在此过程 中， 设点C移动的距离为x， 两个三角形重叠部分的面积为y， 则y随x变
4、化的函数图象大致为 （ ） A . B. C. D. 10. （2020 岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于 0，则称c为这个函数的零 点. 若关于x的二次函数010 2 mmxxy有两个不相等的零点 212 , 1 xxxx，关于x的 方程0210 2 mxx有两个不相等的非零实数根 434 , 3 xxxx， 则下列关系式一定正确的是 （ ） A 1 3 1 0 x x B1 3 1 x x C1 4 2 0 x x D1 4 2 x x 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 道小题）道小题） 11. 若二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，则 a 0(填“=”
5、或“”或“1 时， 则 m10，(m1)abmaabmaa2aa(m3)，a0，而 m3 的正负性无法 确定，a(m3)的正负性无法确定，所以 A，B 错误；当 m1 时，则 m10，(m1)a C (8 8)B (1 1)A O y x (1 1)A (8 8)B D x y O bmaabmaa2aa(m3)，a0，m30，所以 C 正确，D 错 误 6. 【答案】【答案】B 7. 【答案】【答案】C 【解析】由图象开口向下，可知 a0，与 y 轴的交点在 x 轴的下方，可知 c0， 又对称轴方程为 x2，所以 b 2a20，所以 b0，abc0，故正确；由图象可知当 x 3 时，y0，9
6、a3bc0，故错误；由图象可知 OA1，OAOC，OC1，即 c1，c1，故正确；假设方程的一个根为 x1 a，把 x 1 a代入方程可得 1 a b ac 0，整理可得 acb10，两边同时乘 c 可得 ac2bcc0，即方程有一个根为 xc， 由可知cOA，而 xOA 是方程的根，xc 是方程的根，即假设成立，故正确； 综上可知正确的结论有三个 8. 【答案】【答案】【解析】 ，解：当ba1时，如图1，过点B作BCAD于C，BCD90 ， ADEBED90 ，ADOBCDBED90 ，四边形BCDE是矩形， BCDEba1，CDBEm，ACADCDnm， 在RtACB中，tanABC AC
7、 BCnm，点A，B在抛物线yx2上，0ABC90 ， tanABC0，nm0，即nm无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误； 当nm1时，如图2，过点N作NHMQ于H，同的方法得，NHPQba，HQPN m，MHMQHQnm1，在RtMHQ中，tanMNH 1MH NHba . 点M，N在抛物线yx2上，m0，当m0时，n1，点N（0，0） ，M（1，1） ， NH1，此时，MNH45 ，45MNH90 ，tanMNH1， 1 ba 1，ba无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误. 因此本题选B 图1 图2 9. 【答案】【答案】A 【解析】如图1，当AC与DE有交点G时，
8、则CEx，易知CEG是等边三角形，ySCEG 1 2 x 3 2 x 3 4 x2(0 x2)，该抛物线开口向上，对称轴为y轴；如图2，当AB与DF有交点H x y b a （b，m） (a，n） C ED O A B x y (a，m） （b，n） ab H P Q O M N 时，则BFCE2(CEEF)CE2EF4x，易知BFH是等边三角形，ySBFH 1 2 (4x) 3 4 2 x 3 4 (4x)2，该抛物线开口向上，对称轴为y.特殊地，当x2时，y3， 此时重叠部分的面积取最大值.综上所述，选项A符合. 图1图2 10. 【答案】【答案】A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题
9、共 7 道小题）道小题） 11. 【答案】【答案】 12. 【答案】【答案】yx22 解析 二次函数 yx21 的图象向上平移 3 个单位长度，平移后的纵 坐标增加 3，即 yx213x22. 13. 【答案】【答案】0.75 【解析】根据表格可得该图象关于 y 轴对称，故当 x1.5 和 x1.5 时，y 的值相等m0.75. 14. 【答案】【答案】(2，0) 【解析】如解图，过 D 作 DMx 轴于点 M，M(m，0)，又 B(m2， 0)，MB2，由 C(0，c)，D(m，c)知：OCDM，即点 C、D 关于对称轴对称，故点 O、M 也关于对称轴对称，OAMB2，A(2，0) 15.
10、【答案】【答案】15 解析 当 x0 时，y5，点 A 的坐标为(0，5)；当 y0 时，x24x 50，解得 x11，x25，不妨设点 B 在点 C 的左侧， 点 B 的坐标为(1，0)，点 C 的坐标为(5，0)，则 BC6， ABC 的面积为1 2 6 515. 16. 【答案】【答案】 解析 由抛物线经过 A(1，0)，B(m，0)，可知对称轴为 xm1 2 b 2a， b am1. 1m3，ab0. 画出二次函数 yax2bcc 的大致图象可知 a0， G A B C D EFF E D C B A H b0. 把(1，0)代入 yax2bxc，可得 abc0， cba0.abc0，
11、故错误 当 x3 时，y0， 9a3bc9a3(ac)c12a4c4(3ac)0，3ac0，故正确 b am1，a(m1)2bb2bb0，故正确 当 a1 时，yx2bxc， P(b 2，b1 b2 4 ) 若 PAB 为直角三角形，则 PAB 为等腰直角三角形， b1b 2 4 b 21，b2 或 b0. b0， 不存在点 P 使 PAB 为直角三角形， 故错误 故答案为. 17. 【答案】【答案】8a 解析 抛物线 yax2(a0)与 ya(x2)2交于点 B， BDBC2， DC4. ya(x2)2ax24ax4a， E(0，4a)， S四边形ACEDS ACDS CDE1 2DC OE
12、 1 2 4 4a8a. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 道小题）道小题） 18. 【答案】【答案】 解：(1)设 ya(x1)(x6)，把(5，6)代入解析式，得 a(51)(56)6， 解得 a1，y(x1)(x6)x25x6. (2)存在 如图，分别过点 P，B 向 x 轴作垂线，垂足为 M，N. 设 P(m， m25m6)， 其中1m5， 设四边形 PACB 的面积为 S， 则 PMm25m6， AMm1， MN5m，CN651，BN6， SSAMPS 梯形 PMNBSBNC1 2(m25m6)(m1) 1 2(6m25m6)(5m) 1 2 1 6 3m212m363(
13、m2)248， 当 m2 时，S 有最大值为 48，这时 m25m6225 2612， P(2，12) 19. 【答案】【答案】 (1)设直线 AC 的解析式为 ykxb(k0)， 把 A(1，0)，C(0， 3)代入解析式得 kb0 3b ，解得 k 3 b 3， 直线 AC 的解析式为 y 3x 3； (2)把 A(1，0)、B(3，0)、C(0， 3)三点代入抛物线 yax2bxc 得， abc0 9a3bc0 c 3 ，解得 a 3 3 b2 3 3 c 3 ， 所求抛物线的解析式为 y 3 3 x22 3 3 x 3； (3)存在满足条件的点 P. 抛物线的解析式为 y 3 3 (x
14、1)24 3 3 ， 顶点 D 的坐标为(1，4 3 3 )， 要使 BDP 的周长最小，只需 DPPB 最小， 如解图，延长 BC 到点 B，使 BCBC，连接 BD 交直线 AC 于点 P， 解图 A(1，0)，B(3，0)，C(0， 3)， AB4，AC2，BC2 3， AC24，BC212，AB216， AB2AC2BC2， BCAC， BPBP， DPBPDPBPBD 最小，则此时 BDP 的周长最小， 点 P 就是所求的点，过点 B作 BHAB 于点 H， OCBH，BCBC， OHBO3，BH2OC2 3， B(3，2 3)， 设直线 BD 的解析式为 ymxn， D(1，4 3
15、 3 )，B(3，2 3)在直线 BD 上， 3mn2 3 mn4 3 3 ， 解得 m 3 6 n3 3 2 ， y 3 6 x3 3 2 ， 联立 y 3 6 x3 3 2 y 3x 3 ， 解得 x3 7 y10 3 7 ， P(3 7， 10 7 3)， 在直线 AC 上存在点 P，使得 BDP 的周长最小，此时 P(3 7， 10 7 3) 20. 【答案】【答案】 （1）抛物线 c2的表达式为 2 33yx （2）抛物线 c1： 2 33yx 与 x 轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为(0, 3) 抛物线 c2： 2 33yx与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)
16、，顶点为(0,3) 抛物线c1向左平移m个单位长度后， 顶点M的坐标为(, 3)m， 与x轴的两个交点为( 1,0)Am 、 (1,0)Bm，AB2 抛物线c2向右平移m个单位长度后， 顶点N的坐标为( ,3)m ， 与x轴的两个交点为( 1,0)Dm 、 (1,0)Em所以 AE(1m)(1m)2(1m) B、D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况： 情形一，如图 2，B 在 D 的左侧，此时 1 2 3 ABAE，AE6所以 2(1m)6解得 m2 情形二，如图 3，B 在 D 的右侧，此时 2 2 3 ABAE，AE3所以 2(1m)3解得 1 2 m 图 2 图 3 图 4 如果以
17、点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么 AEMN2OM而 OM2m23，所 以 4(1m)24(m23)解得 m1（如图 4） 考点伸展考点伸展 第（2）题，探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法： 在等腰三角形 ABM 中，因为 AB2，AB 边上的高为3，所以ABM 是等边三角形 同理DEN 是等边三角形当四边形 ANEM 是矩形时，B、D 两点重合 因为起始位置时 BD2，所以平移的距离 m1 21. 【答案】【答案】 (1)设函数解析式为 y=ax2+bx+c， 将点 A(2，2)，C(0，2)，D(2，0)代入解析式可得 242 2 042 abc c abc ， 1 4
18、 1 2 2 a b c ，y= 1 4 x2 1 2 x+2； (2)PAMPBM，PA=PB，MA=MB， 点 P 为 AB 的垂直平分线与抛物线的交点， AB=2，点 P 的纵坐标是 1，1= 1 4 x2 1 2 x+2， x=1+ 5或 x=15， P(15，1)或 P(1+5，1)； (3)CM= 2t22，MG=2CM=2t4， MD=4 2(BC+CM)=42(22+2t22)=422t， MF= 2 2 MD=4t，BF=44+t=t， S= 1 2 (GM+BF)MF= 1 2 (2t4+t)(4t)= 3 2 t2+8t8= 3 2 (t 8 3 )2+ 8 3 ； 当
19、t= 8 3 时，S 最大值为 8 3 ； (4)设点 Q(m，0)，直线 BC 的解析式 y=x+2， 直线 AQ 的解析式 y= 2 2m (x+2)+2， K(0， 2 2 m m )，H( 4 4m ， 24 4 m m )， OK2=( 2 2 m m )2，OH2=( 4 4m )2+( 24 4 m m )2，HK2=( 4 4m )2+( 24 4 m m 2 2 m m )2， 当 OK=OH 时，( 2 2 m m )2=( 4 4m )2+( 24 4 m m )2， 3m2+12m+8=0， m=2+ 2 3 3或 m=2 2 3 3； 当 OH=HK 时，( 4 4m )2+( 24 4 m m )2=( 4 4m )2+( 24 4 m m 2 2 m m )2， 3m2+12m+8=0， m=2+ 2 3 3或 m=2 2 3 3(不符合题意，舍弃) 当 OK=HK 时，( 2 2 m m )2=( 4 4m )2+( 24 4 m m 2 2 m m )2， m2+4m8=0， m=2+2 3或 m=223； 综上所述：Q(2+2 3，0)或 Q(223，0) 【名师点睛】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的 性质，直线交点的求法是解题的关键
