1、2021 中考数学一轮专题训练：分式方程及其应用中考数学一轮专题训练：分式方程及其应用 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 分式方程 1 +2=1 的解是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 2. 2019 成都分式方程x5 x1 2 x1 的解为( ) Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 3. （2020 福建）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去 买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文.如果每件椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运
2、费恰好等于一株椽的价 钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A. 6210 3(1)x x B. 6210 3 1 x C. 6210 31 x x D. 6210 3 x 4. （2020 昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资 8000 元建设几间直 播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了 20%，并比原计划多建设了一间直播教 室，总投资追加了 4000 元.根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ） A.1600 元 B.1800 元 C.2000 元 D.2400 元 5. (2020 自贡)某工程队承
3、接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作 时每天的工作效率比原计划提高了 35%，结果提前 40 天完成了这一任务设实际工作时每天 绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A40 B40 C40 D40 6. 随着快递业务的增加， 某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具， 公司投递快件的能力由 每周 3000 件提高到 4200 件，平均每人每周比原来多投递 80 件，若快递公司的快递员人数不 变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 x 件，根据题意可列 方程为（ ） A B80 C80 D 7. 2019 鸡西已知关于 x
4、 的分式方程2xm x3 1 的解是非正数，则 m 的取值范围是( ) Am3 Bm3 Cm3 Dm3 8. （2020遂宁）关于 x 的分式方程1 有增根，则 m 的值（ ） Am2 Bm1 Cm3 Dm3 9. （2020 黑龙江龙东）已知关于 x 的分式方程4的解为非正数，则 k 的取值范围 是（ ） Ak12 Bk12 Ck12 Dk12 10. （2020 重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组 31 3 2 x x xa 的解集为xa；且关于y的分式 方程 34 1 22 yay yy 有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是( ) A7 B-14 C28 D-56 二、填空题（
5、本大题共二、填空题（本大题共 10 道小题）道小题） 11. 关于 x 的分式方程2- -1 1 1-=3 的解为非负数，则 a 的取值范围为 . 12. 方程 1 2x 2 x3的解是_ 13. 2019 铜仁分式方程 5 y2 3 y的解为_ 14. （2020 菏泽）方程 1 11 x x x x 的解是_ 15. （2020 淮安）方程 3 10 1x 的解为_. 16. （2020 江苏徐州）方程 98 1xx 的解为 . 17. （2020 南京）方程 1 x x 1 2 x x 的解是_. 18. 若关于 x 的分式方程 -3+ 3 3-=2a 无解，则 a 的值为 . 19.
6、若分式方程xa x1a 无解，则 a 的值为_. 20. （2020 内江）若数 a 使关于 x 的分式方程 2 3 11 xa xx 的解为非负数，且使关于 y 的不 等式组 3113 4312 20 yy ya 的解集为 0y ，则符合条件的所有整数 a 的积为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 21. (2020 湘潭)解分式方程： 3 2 11 x xx 22. 某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬 衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元 (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一
7、批衬衫的售价是 200 元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于 1950 元，则 第二批衬衫每件至少要售多少元？ 23. （2020 威海） 在“旅游示范公路”建设的过程中， 工程队计划在海边某路段修建一条长 1200m 的步行道由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的 1.5 倍，结果提前 5 天完成任务求计划平均每天修建步行道的长度 24. 早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路 步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校. 已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑 自行车速度
8、是步行速度的3倍 (1)求小明步行速度(单位：米/分)是多少； (2)下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度 不变， 小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的 2 倍， 那么小明家与图 书馆之间的路程最多是多少米？ 25. （12 分）小刚去超市买画笔，第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔，第二次超市推荐了 B 型画笔，但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元，他又花 100 元买了相同支数的 B 型画笔. （1）超市 B 型画笔单价多少元？ （2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超
9、市给出以下优惠方案：一次性购买不超过 20 支，则每支 B 型画笔打九折；若一次购买超过 20 支，则前 20 支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的 B 型画笔 x 支，购买费用为 y 元， 请写出 y 关于 x 的函数关系式. （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买多少支 B 型画笔？ 26. 如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程. 根据以上信息，解答下列问题. (1)冰冰同学所列方程中的 x 表示 ，庆庆同学所列方程中的 y 表示 ; (2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系; (3)解(2)中你所选择的方程，并回答
10、老师提出的问题. 答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 【答案】【答案】B 解析去分母得，1=x+2，移项，合并同类项，得:x=-1，经检验，x=-1 是原分式 方程的解，x=-1，故选 B. 2. 【答案】【答案】A 解析 方程两边同时乘 x(x1)，得 x(x5)2(x1)x(x1) 解得 x1. 当 x1 时，x(x1)0， 故 x1 是原方程的解 3. 【答案】【答案】A 【解析】本题考查了列分式方程解应用题，根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株 椽的价钱列分式方程 A，因此本题选 A 4. 【答案】【答案】C 【解析】本题考查了分式
11、方程的实际应用.解答过程如下： 设原计划每间直播教室的建设费用是 x 元，则实际每间直播教室的建设费用是（1+20%）x， 由题意得 xx%)201 ( 40008000 1 8000 ，解得 x=2000，经检验符合题意.原计划每间直播教室的建 设费用是 2000 元. 因此本题选 C 5. 【答案】【答案】 A【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度 不大，解：设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为万 平方米， 依题意，得：40，即40因此本题选 A 6. 【答案】【答案】 D 【解析】设原来平均每人每周投递快件 x 件，则现在平均
12、每人每周投递快件（x+80）件，根据 “人数投递快递总数量 人均投递数量”结合快递公司的快递员人数不变，列出关于 x 的分式 方程： 7. 【答案】【答案】A 解析 2xm x3 1， 方程两边同乘(x3)，得 2xmx3. 移项及合并同类项，得 xm3. 因为分式方程2xm x3 1 的解是非正数，x30， 所以 m30， （m3）30，解得 m3. 8. 【答案】【答案】去分母得：m+3x2， 由分式方程有增根，得到 x20，即 x2， 把 x2 代入整式方程得：m+30， 解得：m3， 故选：D 9. 【答案】【答案】 A【解析】本题考查了分式方程的解法，用含字母的式子表示方程的解，解：
13、方程 4两边同时乘以（x3）得：x4（x3）k， x4x+12k，3xk12，x4， 解为非正数，40，k12故选：A 10. 【答案】【答案】A 【解析】 对于不等式组 31 3, 2 x x xa ， 解不等式， 得x7.解不等式， 得xa. 因为不等式组的解集为xa，a7.对于分式方程 34 1 22 yay yy ，去分母，得y-a+3y-4=y-2, 解这个整式方程，得y= +2 3 a .因为a7，所以当a=1,4,7时 +2 3 a 为正整数.当a=4时， y=2是分式方 程的增根，分式方程无解.综上，可得a=1或7，它们的积为1 7=7. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题
14、共 10 道小题）道小题） 11. 【答案】【答案】a4 且 a3 解析方程两边同时乘以(x-1)，去分母得(2x-a)+1=3(x-1)，x=4-a. 方程的解为非负数，x0 且 x1，a4 且 a3. 12. 【答案】【答案】x1 【解析】化简 1 2x 2 x3 得x34x，则3x3，所以x1，经检验x1是原方程的根 13. 【答案】【答案】y3 解析 去分母，得 5y3y6， 解得 y3. 经检验，y3 是分式方程的解 则分式方程的解为 y3. 14. 【答案】【答案】 x 3 1 【解析】解分式方程的基本思路是通过去分母化为整式方程求解，解分式方程必须验根，把可 能产生的增根舍去方程
15、两边同乘 x(x1)，得(x1)2x(x1)，化简，得 3x1x 3 1 经 检验，x 3 1 是原分式方程的根 15. 【答案】【答案】 x2 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解 方程10， 去分母得：3+x10， 解得：x2， 经检验 x2 是分式方程的解 故答案为：x2 16. 【答案】【答案】 x=9【解析】把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的根再进行验根确定 . 98 1xx ，把两边同时乘以x(x-1)，得9x-9=8x，x=9，经检验x=9是原方程的根. 17. 【答案】【答案】 x 1 4 【解析】去分母，得：
16、x(x2)(x1)2，去括号，得：x22xx22x1，移项、合并同类 项，得：4x1，系数化为 1，得：x 1 4 .检验：当 x 1 4 时，(x1)(x2)0，故 x 1 4 是原分 式方程的根. 18. 【答案】【答案】1 2或 1 解析去分母得:x-3a=2a(x-3)， 整理得:(1-2a)x=-3a， 当 1-2a=0 时，方程无解，得 a=1 2; 当 1-2a0，x= -3 1-2=3 时，分式方程无解， 得 a=1，故关于 x 的分式方程 -3 + 3 3-=2a 无解，则 a 的值为:1 或 1 2. 19. 【答案】【答案】1 7 解析 由方程 x4 x 3 得 x43x
17、.解得 x2.当 x2 时，x0.所以 x2 是方程x4 x 3 的解又因为方程 ax a1 2 x11 的解与方程 x4 x 3 的解相同，因此 x2 也是方程 ax a1 2 x11 的解这时 2a a1 2 211.解得 a 1 7.当 a 1 7时，a10，故 a 1 7满 足条件 20. 【答案】【答案】40【解析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为 正数结合不等式组的解集为 0y ，找出 a 的取值范围是解题的关键根据分式方程的解为正 数即可得出 a5 且 a3，根据不等式组的解集为0y ，即可得出 a0，找出 0a5 且 a3 中 所有的整数，将其相乘
18、即可得出结论 分式方程 2 3 11 xa xx 的解为 x= 5 2 a 且 x1，分式方程 2 3 11 xa xx 的解为非负数， 5 0 2 a 且 5 2 a 1.a5 且 a3. 3113 4312 20 yy ya 解不等式，得 0y .解不等式，得 y0. 0a5 且 a3.又 a 为整数，则 a 的值为 1，2，4，5. 符合条件的所有整数 a 的积为1 2 4 540 因此本题答案为：40 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 21. 【答案】【答案】 解： 3 2 11 x xx 去分母得，3+2（x-1）=x， 解得，x=-1， 经检验，x=-
19、1 是原方程的解 所以，原方程的解为：x=-1 22. 【答案】【答案】 解：(1)设第一次购进这种衬衫x件，第二次购进这种衬衫 1 2 x件，根据题意得： 4500 x 2100 1 2x 10， 解得x30，(2分) 经检验x30是原方程的解，且符合题意， 1 2x 1 2 3015. 答：第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件(4分) (2)设第二批衬衫每件销售a元，根据题意得： 30 (2004500 30 )15 (a2100 15 )1950，(6分) 解得a170. 答：第二批衬衫每件至少要售170元. (7分) 23. 【答案】【答案】 解：设计划平均每天修建步行道
20、的长度为 xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的 长度为 1.5xm， 依题意，得：1200 1200 1.5 =5， 解得：x80， 经检验，x80 是原方程的解，且符合题意 答：计划平均每天修建步行道的长度为 80m 24. 【答案】【答案】 解：(1)设小明步行速度为x米/分，则小明骑自行车的速度为3x米/分根据题意得， 900 x 900 3x 10，(3分) 解得x60，(4分) 经检验x60是原分式方程的解， 答：小明步行速度是60米/分(5分) (2)设小明家到图书馆之间的路程为a米，根据题意得， a 602 900 60 3，(8分) a600， 答：小明家与图书馆的路
21、程最多为600米(10分) 25. 【答案】【答案】 解： （1）设超市 B 型画笔单价 a 元，则 A 型画笔单价为（a-2）元， 由题意列方程，得 60100 2aa ， 解得，5a. 经检验5a是原分式方程的根. 答：超市 B 型画笔单价是 5 元. （2）由题意知， 当小刚购买的 B 型画笔支数 x20 时，费用为 y=0.9 5x=4.5x； 当小刚购买的 B 型画笔支数 x20 时，费用为 y=20 0.9+（x-20） 0.8 5=4x+10. 所以 4.5 ,(20) 410,() x x y xx 20 ，其中 x 为正整数. （3）当 4.5x=270（x20）时，解得 x
22、=60，因为 6020 不符合题意，舍去. 当 4x+10=270（x20）时，解得 x=65. 答：小刚能购买 65 支 B 型画笔. 26. 【答案】【答案】 解:(1)冰冰是根据时间相等列出的分式方程， x 表示甲队每天修路的长度; 庆庆是根据乙队每天比甲队多修 20 米列出的分式方程，y 表示甲队修路 400 米(乙队修路 600 米)所需的时间. 故答案为:甲队每天修路的长度 甲队修路 400 米(乙队修路 600 米)所需的时间 (2)冰冰用的等量关系是:甲队修路 400 米所用时间=乙队修路 600 米所用时间; 庆庆用的等量关系是:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20 米.(选择一个即可) (3)选冰冰所列的方程:400 = 600 +20， 去分母，得:400 x+8000=600 x， 移项，x 的系数化为 1，得:x=40， 检验:当 x=40 时，x，x+20 均不为零， x=40 是分式方程的根. 答:甲队每天修路的长度为 40 米. 选庆庆所列的方程:600 400 =20， 去分母，得:600-400=20y，将 y 的系数化为 1，得:y=10，检验:当 y=10 时，分母 y 不为 0， y=10 是分式方程的根，400 =40. 答:甲队每天修路的长度为 40 米.
