1、2021 中考数学专题训练中考数学专题训练：反比例函数及其应用反比例函数及其应用 培优培优 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 函数 y 1 x2中，x 的取值范围是( ) A. x0 B. x2 C. x2 D. x2 2. （2020 湖北孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I(单位：A)与电阻 R(单 位：)是反比例函数关系，它的图像如图所示，则这个反比例函数的解析式为( ) A.I= 24 R B.I= 36 R C.I= 48 R D.I= 64 R 3. （2020 内江）如图，点 A 是反比例函数 k y x 图象上的一点，过点
2、A 作ACx轴，垂足为 点 C，D 为 AC 的中点，若AOD的面积为 1，则 k 的值为（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 3 D. 4 4. 在四边形 ABCD 中，B90 ，AC4，ABCD，DH 垂直平分 AC，点 H 为垂足设 AB x，ADy，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为( ) 5. （2020 重庆 B 卷）如图在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A,C 分别在 x 轴，y 轴的 正半轴上， 点D(-2,3)， AD=5， 若反比例函数0,0 k ykx x 的图像经过点B， 则k的值为 （ ） A 16 3 B8 C10 D 32 3 6. （
3、2020 淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点 O（0，0） ，A（0，4） ，B（3，0）为顶 点的 RtAOB， 其两个锐角对应的外角角平分线相交于点 P， 且点 P 恰好在反比例函数 y的 图象上，则 k 的值为（ ） A36 B48 C49 D64 7. 如图，函数 y= 1 ( 0)， - 1 ( 0)的图象上，顶点 B 在反比例函数 y= 5 (x0)的图象上，点 C 在 x 轴的正半轴上，则平 行四边形 OABC 的面积是 . 14. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半轴上， 点 A 的坐标为(-4，0)，点 D 的坐标为
4、(-1，4)，反比例函数 y= (x0)的图象恰好经过点 C，则 k 的值为 . 15. 如图，平行于 x 轴的直线与函数 y=1 (k10，x0)，y=2 (k20，x0)的图象分别相交于 A， B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点.若 ABC 的面积为 4，则 k1-k2的值 为 . 16. 如图，点 A 在函数 y4 x(x0)的图象上，且 OA4，过点 A 作 ABx 轴于点 B，则 ABO 的周长为_ 17. （2019山西）如图，在平面直角坐标中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴 的正半轴上，点 A 坐标为（4，0） ，点 D 的
5、坐标为（1，4） ，反比例函数 y= k x （x0）的 图象恰好经过点 C，则 k 的值为_ 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点 M(3，2)分别作 x 轴、y 轴的垂线，与反比例函数 y4 x 的图象交于 A、B 两点，则四边形 MAOB 的面积为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 19. 在平面直角坐标系中，一次函数 yaxb(a0)的图象与反比例函数 yk x(k0)的图象交于 第二、第四象限内的 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H，OH3， tanAOH4 3，点 B 的坐标为(m，2) (1)求 AHO 的
6、周长； (2)求该反比例函数和一次函数的解析式 20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 P(-1，2)，ABx 轴于点 E，正比例函数 y=mx 的图象与反比例函数 y=-3 的图象相交于 A，P 两点. (1)求 m，n 的值与点 A 的坐标; (2)求证: CPDAEO; (3)求 sinCDB 的值. 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，点 B 的坐标是(m，4)，连接 AO，AO5， sinAOC3 5. (1)求反比例函数
7、的解析式； (2)连接 OB，求 AOB 的面积 22. 如图， 一次函数 ykxb(k0)与 y 轴交于点 B(0， 9)， 与 x 轴的负半轴交于点 A， 且 tanBAO 1.反比例函数 ym x与一次函数 ykxb 的图象交于 C、D 两点，且 BD 2BC290. (1)求一次函数的解析式； (2)求反比例函数的解析式； (3)某二次函数的图象经过线段 CD 的中点，且以 B 点为顶点，求此二次函数的解析式 23. 如图，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 m y x (x0)交于点 B(2，1)过点( ,1)P p p(p 1)作 x 轴的平行线分别交曲线 m y x (x
8、0)和 m y x (x0)于 M、N 两点 （1）求 m 的值及直线 l 的解析式； （2）若点 P 在直线 y2 上，求证：PMBPNA； （3）是否存在实数 p，使得 SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存 在，请说明理由 24. (2019湖南常德)如图，一次函数 y=x+3 的图象与反比例函数 y= k x (k0)在第一象限的图 象交于 A(1，a)和 B 两点，与 x 轴交于点 C (1)求反比例函数的解析式； (2)若点 P 在 x 轴上，且 APC 的面积为 5，求点 P 的坐标 答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道
9、小题） 1. 【答案】【答案】D 【解析】要使函数有意义，则 x20，即 x2. 2. 【答案】【答案】C 【解析】设反比例函数解析式为I= k R ,把图中点（8，6）代入得：k=8 6=48.故选 C. 3. 【答案】【答案】 D 【解析】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本 题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答先设出点 A 的坐标，进而表示出点 D 的坐标，利用ADO 的面积建立方程求出2mn，即可得出结论 点 A 的坐标为（m，2n） ，2mnk，D 为 AC 的中点，D（m，n） ， ACx轴，ADO 的面积为
10、 1， ADO 111 21 222 SAD OCnnmmn， 2mn，24kmn，因此本题选 D 4. 【答案】【答案】D 【解析】DH 垂直平分 AC，AC4，AHCH1 2AC 1 2 42，CDAD y.在 RtADH 中，DH AD2AH2 y222，在 RtABC 中，BC AC2AB2 42x2， S四边形ABCDSACDSABC，1 2(yx) 4 2x21 2 4 y 2221 2x 4 2x2，即 y 42x2 4 y222，两边平方得 y2(42x2)16(y222)，16y2x2y216y264，(xy)264，x0， y0，xy8，y 与 x 的函数关系式为：y8 x
11、(0 x4)，故选 D. 5. 【答案】【答案】D 【解析】本题考查了点的坐标，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比 例函数的表达式如图，过点 B 作 BEx 轴于 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，AFD= AEB=90 .四边形 ABCD 是矩形， ADC=DAB=90 ， AB=CD.D （-2,3） ,OF=2， DF=3. 在 RtADF 中，AD=5,AF= 22 53=4，AO=4-2=2.设 AD 与 x 轴交于点 G，ADOC， AOGAFD， 2 = 354 OGAG ， OG= 3 2 ， AG= 5 2 ， DG=5- 5 2 = 5 2 .AOG
12、=CDG=90 ， AGO=CGD=90 ，AGOCGD， 5 2 3 2 2 CD ，CD=10 3 ，AB= 10 3 .DAB= AEB=90 ，DAF+BAE=90 ，BAE+ABE=90 ，DAF=ABE，ADFBAE， 10 3 = 345 AEBE ，解得 AE=2，BE= 8 3 ，OE=2+2=4,点 B（4， 8 3 ） ，k=48 3 = 32 3 . 因此本 题选 D 6. 【答案】【答案】过 P 分别作 AB、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 C、D、E，如图， A（0，4） ，B（3，0） ，OA4，OB3，AB5， OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点 P
13、， PEPC，PDPC，PEPCPD， 设 P（t，t） ，则 PCt， SPAE+SPAB+SPBD+SOABS矩形PEOD， t （t4）5 tt （t3）3 4t t， 解得 t6， P（6，6） ， 把 P（6，6）代入 y得 k6 636 故选：A 7. 【答案】【答案】A 解析函数 y=1 (x0)与 y=- 1 (x0，xy2 6，ABC 的周长2 64. 17. 【答案】【答案】16 【解析】过点 C、D 作 CEx 轴，DFx 轴，垂足为 E、F， 四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=DA， 易证ADFBCE， 点 A（4，0），D（1，4）， DF=CE=4，OF=
14、1，AF=OAOF=3， 在 RtADF 中，AD= 22 34 5， OE=EFOF=51=4，C（4，4），k=44=16， 故答案为：16 18. 【答案】【答案】10 【解析】如解图，设 AM 与 x 轴交于点 C，MB 与 y 轴交于点 D，点 A、B 分别在反比例函数 y4 x上，根据反比例函数 k 的几何意义，可得 SACOSOBD 1 2 42， M(3，2)，S矩形MCOD3 26，S四边形MAOBSACOSOBDS矩形MCOD22610. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 19. 【答案】【答案】 (1)【思路分析】在 RtAOH 中用三角函数
15、求出 AH，再用勾股定理求出 AO，进而得周长 解：在 RtAOH 中，tanAOH4 3，OH3， AHOH tanAOH4，(2 分) AO OH2AH25， CAOHAOOHAH53412.(4 分) (2)【思路分析】由(1)得出 A 点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式，由反比例函数 解析式求出 B 点坐标，最后把 A、B 点坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式 解：由(1)得，A(4，3)， 把 A(4，3)代入反比例函数 yk x中，得 k12， 反比例函数解析式为 y12 x ，(6 分) 把 B(m，2)代入反比例函数 y12 x 中，得 m6， B(6，2)，(
16、8 分) 把 A(4，3)，B(6，2)代入一次函数 yaxb 中，得 6ab2 4ab3， a1 2 b1 ， 一次函数的解析式为 y1 2x1.(10 分) 20. 【答案】【答案】 解:(1)将点 P(-1，2)的坐标代入 y=mx， 得:2=-m，解得 m=-2， 正比例函数解析式为 y=-2x; 将点 P(-1，2)的坐标代入 y=-3 ， 得:2=-(n-3)，解得:n=1， 反比例函数解析式为 y=-2 . 解方程组 = -2， = - 2 ， 得1 = -1， 1= 2， 2 = 1， 2= -2， 点 A 的坐标为(1，-2). (2)证明:四边形 ABCD 是菱形， ACB
17、D，ABCD， CPD=90 ，DCP=BAP， 即DCP=OAE. ABx 轴， AEO=CPD=90 ， CPDAEO. (3)点 A 的坐标为(1，-2)， AE=2，OE=1，AO=2+ 2=5. CPDAEO，CDP=AOE， sinCDB=sinAOE= = 2 5 =25 5 . 21. 【答案】【答案】 (1)【思路分析】如解图，过点 A 作 AEx 轴于点 E，由三角函数求出点 A 坐标，再用待定系 数法求出反比例函数的解析式便可 解：如解图过点 A 作 AEx 轴于点 E， OA5，sinAOC3 5， AEOA sinAOC5 3 53， OE OA2AE24， A(4，
18、3)，(3 分) 设反比例函数的解析式为 yk x(k0)，把 A(4，3)代入解析式，得 k12， 反比例函数的解析式为 y12 x .(5 分) (2)【思路分析】先把 B 点坐标代入所求出的反比例函数解析式，求出 m 的值，进而求出直线 AB 的解析式，再求出点 D 的坐标，便可求 AOD 与 BOD 的面积之和，即 AOB 的面积 解：把 B(m，4)代入 y12 x 中，得 m3， B(3，4) 设直线 AB 的解析式为 ykxb，把 A(4，3)和 B(3，4)代入得， 4kb3 3kb4， 解得 k1 b1，(7 分) 直线 AB 的解析式为 yx1，(8 分) 则 AB 与 y
19、 轴的交点 D(0，1)， SAOBSAODSBOD1 2 1 4 1 2 1 33.5.(10 分) 22. 【答案】【答案】 (1)tanBAO1，OAOB， 点 B(0，9)，点 A(9，0)， b9 9kb0，解得 k1 b9， 一次函数的解析式为 yx9； (2)联立 yx9 ym x 得 x29xm0， 设点 C、D 的横坐标分别为 x1、x2， BD2BC290， ( 2x2)2( 2x1)290 即 2(x21x22)90， x21x22(x1x2)22x1x2 (9)22(m)45， 即 812m45，解得 m18， 反比例函数解析式为 y18 x ； (3)设所求的二次函数
20、的解析式为 yax29(a0)， 由(1)和(2)得 yx9 y18 x ， 解得 x 13 y16 或 x 26 y23 ， 则线段 CD 的中点为(x 1x2 2 ，y 1y2 2 )即(9 2， 9 2)， 代入 yax29 得9 2( 9 2) 2a9， 解得 a2 9， 故所求的二次函数的解析式为 y2 9x 29. 23. 【答案】【答案】 （1） 因为点 B(2， 1)在双曲线 m y x 上， 所以 m2 设直线 l 的解析式为ykxb， 代入点 A(1， 0)和点 B(2，1)，得 0, 21. kb kb 解得 1, 1. k b 所以直线 l 的解析式为1yx （2） 由
21、点( ,1)P p p(p1)的坐标可知， 点 P 在直线1yx上 x 轴的上方 如图 2， 当 y2 时， 点 P 的坐标为(3，2)此时点 M 的坐标为(1，2)，点 N 的坐标为(1，2) 由 P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB 为等腰直角三角形 由 P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA 为等腰直角三角形 所以PMBPNA 图 2 图 3 图 4 （3）AMN 和AMP 是两个同高的三角形，底边 MN 和 MP 在同一条直线上 当 SAMN4SAMP时，MN4MP 如图 3，当 M 在 NP 上时，xMxN4(xPxM)因此
22、222 ()4 (1)x xxx 解得 113 2 x 或 113 2 x （此时点 P 在 x 轴下方，舍去） 此时 113 2 p 如图 4，当 M 在 NP 的延长线上时，xMxN4(xMxP)因此 222 ()4(1)x xxx 解得 15 2 x 或 15 2 x （此时点 P 在 x 轴下方，舍去） 此时 15 2 p 考点伸展考点伸展 在本题情景下，AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图 5，AMN90，此时点 M 的坐标为（1，2） ，点 P 的坐标为（3，2） 情形二，如图 6，MAN90，此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半 不存在ANM90的情况 图 5 图 6 24. 【答案】【答案】 (1)把点 A(1，a)代入 y=x+3，得 a=2，A(1，2)， 把 A(1，2)代入反比例函数 y= k x ，k=1 2=2； 反比例函数的表达式为 y= 2 x ； (2)一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴交于点 C，C(3，0)， 设 P(x，0)，PC=|3x|， S APC= 1 2 |3x| 2=5，x=2 或 x=8， P 的坐标为(2，0)或(8，0)
