1、 1 第第 09 讲讲 不等式（组）及其应用不等式（组）及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 不等式的概念及性质】 1不等式：一般地，用不等号连接的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体，叫 做不等式的解集 3不等式的基本性质： 性质 1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 性质 2：不等式两边同乘(或除以)以一个正数，不等号的方向不变； 性质 3：不等式两边同乘(或除以)以一个负数，不等号的方向改变 【考点【考点 2 2 一元一次不等式及其解法】 1一元一次不等式：只含有一个未知数，且未
2、知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形 式是 axb0 或 axb0(a0) 2解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1. 3一元一次不等式的解集在数轴上的表示 解集在数轴上的表示 xa xa xa 【考点【考点 3 3 一元一次不等式组及其解法】 1一元一次不等式组：含有相同未知数的若干一元一次不等式（一般是两个）所组成的不等式组叫做一元 一次不等式组 2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分 3解一元一次不等式组的步骤：(1)先求出各个不等式的解集；(2)再利用数轴找它们的公共部
3、分；(3)写 出不等式组的解集 4.求不等式(组)的特殊解，一方面要先求不等式(组)的解集，然后在解集中找特殊解 【考点【考点 4 4 一元一次不等式（组）的应用】 列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不 等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案 二、考点分析 2 【考点【考点 1 不等式的概念及性质】 【解题技巧】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质 3不等号的方向会发生改变这是不等式 独有的性质 （1）不等式的基本性质 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即
4、： 若 ab，那么 ambm； 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若 ab，且 m0，那么 ambm 或； 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若 ab，且 m0，那么 ambm 或； （2）不等式的变形：两边都加、减同一个数，具体体现为“移项” ，此时不等号方向不变，但移项要变 号；两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变 【规律方法】 1应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号 的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于 0
5、进行分类讨论 2不等式的传递性：若 ab，bc，则 ac 【例 1】 （2019 上海中考）如果 mn，那么下列结论错误的是（ ） Am+2n+2 Bm2n2 C2m2n D2m2n 【举一反三举一反三1-1】 （2019 山东淄博中考模拟）若 xy，则下列式子中错误的是( ) Ax3y3 B3x3y Cx3y3 D3x3y 【举一反三举一反三1-2】 （2019 辽宁葫芦岛中考模拟）四个小朋友玩 跷跷板，他们的体重分别为 P、Q、R、S， 如图 3 所示，则他们的体重大小关系是（ ） A PRSQ B QSPR C SPQR D SPRQ 【举一反三举一反三1-3】 （2019广东佛山中考模
6、拟）现有不等式的性质： 在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； 在不等式的两边都乘以同一个数（或整式） ，乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变， 3 乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变 请解决以下两个问题： （1）利用性质比较 2a 与 a 的大小（a0） ； （2）利用性质比较 2a 与 a 的大小（a0） 【考点【考点 2 2 一元一次不等式及其解法】 【解题技巧】(1)已知一元一次不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：逆用不等式(组)的 解集确定；分类讨论确定；从反面求解确定；借助于数轴确定 (2)根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与
7、解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去 分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为 1 以上步骤中，只有去分母和化系数为 1 可能用到性质 3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等 号方向 注意：符号“”和“”分别比“”和“”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式 【例 2】 （2019 辽宁大连中考）不等式 5x+13x1 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三2-1】 （2019呼和浩特）若不等式12x 的解集中 x 的每一个值，都能使关于 x 的不 等式 3（x1）+55x+2（m+x）成立，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 【
8、举一反三举一反三2-2】 （2019长春）不等式x+20 的解集为（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【举一反三举一反三2-3】 （2019 吉林中考）不等式 3x21 的解集是 【举一反三举一反三2-4】 （2019 河北保定中考模拟）定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 aba(ab)1， 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：252(25)12(3)1615.若 3x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来 4 【举一反三举一反三2-5】 （2019 江苏南京中考）已知一次函数 y1kx+2（k 为常数，k0）和 y2x3 （1）当 k2 时，若 y
9、1y2，求 x 的取值范围 （2）当 x1 时，y1y2结合图象，直接写出 k 的取值范围 【考点【考点 3 3 一元一次不等式组及其解法】 【解题技巧】解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利 用数轴可以直观地表示不等式组的解集方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求 公共部分 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 【例 3】 （2019 山西中考）不等式组的解集是（ ） Ax4 Bx1 C1x4 Dx1 【举一反三举一反三3-1】 （2019 甘肃中考）不等式组的最小整数解是 【举一反三举一反三3-2】 （201
10、9 河南中考）不等式组的解集是 【举一反三举一反三3-3】 （2019 湖北黄石中考）若点 P 的坐标为（，2x9） ，其中 x 满足不等式组 ，求点 P 所在的象限 【举一反三举一反三3-4】 （2019 天津中考）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 ； 5 （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 【举一反三举一反三3-5】 （2019 浙江温州中考）不等式组的解为 【考点【考点 4 4 一元一次不等式（组）的应用】 【解题技巧】 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得 到实际
11、问题的答案 （2）列不等式解应用题需要以“至少” 、 “最多” 、 “不超过” 、 “不低于”等词来体现问题中的不等关系因 此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵 （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： 弄清题中数量关系，用字母表示未知数 根据题中的不等关系列出不等式 解不等式，求出解集 写出符合题意的解 【例 4】 （2019哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动 使用若购买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元； （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定
12、购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元，那么寒梅中学最多可以购买多少 副围棋？ 【举一反三举一反三4-1】 （2019台湾）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表已知阿慧购买 10 盒蛋糕，花费的金额不超过 2500 元若他将蛋糕分给 75 位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花 6 多少元购买蛋糕？（ ） A2150 B2250 C2300 D2450 【举一反三举一反三4-2】 （2015 .河北中考）水平放置的容器内原有 210 mm 高的水，如图，将若干个球逐一放入 该容器中，每放入一个大球水面就上升 4 mm，每放入一个小球水面就上升 3 mm，假定放
13、入容器中的所有球 完全浸没水中且水不溢出设水面高为 y mm. (1)只放入大球，且个数为 x大，求 y 与 x大的函数关系式；(不必写出 x大的范围) (2)仅放入 6 个大球后，开始放入小球，且小球个数为 x小 求 y 与 x小的函数关系式；(不必写出 x小的范围) 限定水面高不超过 260 mm，最多能放入几个小球？ 【举一反三举一反三4-3】 （2019 湖北孝感中考）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B 两种型号的一体机 经过市场调查发现， 今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元， 且用 960 万元恰好能购买 500 套 A 型
14、一体机和 200 套 B 型一体机 （1）求今年每套 A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？ （2）该市明年计划采购 A 型、B 型一体机共 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 A 型一体机的价格比 今年上涨 25%， 每套 B 型一体机的价格不变， 若购买 B 型一体机的总费用不低于购买 A 型一体机的总费用， 那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 【举一反三举一反三4-4】 （2019 福建中考）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建 7 了日废水处理量为 m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理但随着工厂生产规模的扩大， 该车间经常无
15、法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理已 知该车间处理废水，每天需固定成本 30 元，并且每处理一吨废水还需其他费用 8 元；将废水交给第三方企 业处理，每吨需支付 12 元根据记录，5 月 21 日，该厂产生工业废水 35 吨，共花费废水处理费 370 元 （1）求该车间的日废水处理量 m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超 过 10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 云南中考）若关于 x 的不等式组的解集是 xa，则
16、a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 2.（2019日照）把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A B C D 3.（2019广东佛山中考模拟）一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ） A4 B 5 C6 D 7 4.（2019 安徽中考）已知三个实数 a，b，c 满足 a2b+c0，a+2b+c0，则（ ） Ab0，b2ac0 Bb0，b2ac0 Cb0，b2ac0 Db0，b2ac0 5.（2019 河北沧州中考模拟）已知点 P（a+1，2a3）在第一象限，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 B1a Ca1 Da 6.（2019 山东淄博中考模拟）数学著
17、作算术研究一书中，对于任意实数，通常用x表示不超过 x 的最 8 大整数，如：3，22，2.13，给出如下结论： xx； 若xn，则 x 的取值范围是 nxn+1； 当1x1 时，1+x+1x的值为 1 或 2； x2.75 是方程 4x2x+50 的唯一一个解 其中正确的结论有（ ） A B C D 7.（2019 河北衡水中考模拟）一元一次不等式组的最大整数解是（ ） A1 B0 C1 D2 8.（2019 重庆中考）若关于 x 的一元一次不等式组的解集是 xa，且关于 y 的分式方 程1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ） A0 B1 C4 D6 （二）（二）填空题填空
18、题 1. （2019呼和浩特） 对任意实数a， 若多项式2b25ab+3a2的值总大于3， 则实数b的取值范围是 2.（2019沈阳）二元一次方程组的解是 3.（2019 辽宁绥中中考模拟）一辆公交车每月的支出费用为 3000 元，乘车平均票价为 1.5 元/人，设每月有 x 人乘坐该公交车， 每月收入与支出的差额为 y 元， 当每月乘客量达到 人以上时， 该公交车才不会亏损 4.（2019 山西大同中考模拟）已知 m，n 都是正整数，且是整数若的最大值是 a，最小值是 b， 则 a+b 5.（2019 河南安阳中考模拟）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个苹果，则还剩 12 个
19、苹 果；若每位小朋友分 8 个苹果，则有一个小朋友能分到不足 5 个苹果这一箱苹果的个数是 ， 小朋友的人数是 6. （2019 山东青岛中考模拟） 某次知识竞赛共有 20 道题， 每答对一题得 5 分， 答错或不答的题都扣 3 分 小 亮获得二等奖（7090 分） ，则小亮答对了 道题 7.（2019 河北张家口中考模拟）1 月份，A 型汽油均价为 5.7 元/升，B 型汽油均价为 6 元/升，某汽车租赁 9 公司购买这两种型号的汽油共支付 40800 元；2 月份，这两种型号的汽油均价都上调了 0.6 元/升，该公司要 购买与 1 月份 A 型汽油和 B 型汽油数量都相同的汽油就需多支付费
20、用 （1）若多支付的费用不超过 4200 元，那么该公司 1 月或 2 月最多可购买 A 型汽油 升？ （2）3 月份，该公司 A 型汽油的购买量在（1）小题中 2 月份最多购买量的基础上减少了 m%，但 A 型汽油 的均价在 2 月份的基础上上调了元，因此 3 月份支付 A 种型号汽油的费用与（1）小题中 2 月份支付最 多数量 A 型汽油的费用相同，则 m= 8. （2019 山东济南中考模拟）已知关于 x、y 的二元一次方程组的解满足 x+y2求 k 的取值范围 （三）（三）解答题解答题 1.（2019南通）解不等式x1，并在数轴上表示解集 2.（2019济南）解不等式组，并写出它的所有
21、整数解 3.（2019 辽宁大连中考）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗 0.5 厘 米，每个铁环长 4.6 厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态 （1）填表： 铁环个数 1 2 3 4 链条长（cm） 4.6 8.2 （2）设 n 个铁环长为 y 厘米，请用含 n 的式子表示 y； （3）若要组成 2.17 米长的链条，至少需要多少个铁环？ 10 4.（2019 河北沧州中考模拟）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标 准见表： 某居民五月份用电 190 千瓦时，缴纳电费 90 元 (1)求 x 和超出部分电费单价； (2)若该户居民
22、六月份所缴电费不低于 75 元且不超过 84 元，求该户居民六月份的用电量范围 5.（2019宁夏）解不等式组： 6.（2019青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共 30 辆调拨不超过 190 吨蔬菜和 162 吨肉制品补充当地市场已知一辆大型车可运蔬菜 8 吨和肉制品 5 吨；一辆中型车可运蔬菜 3 吨和肉制品 6 吨 （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是 900 元，一辆中型车的运费为 600 元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？ 最低费用是多少元？ 一户居民一个月 用电量的范围 电费价格 (单位：元/千瓦时) 不超过 160
23、 千瓦时的部分 x 超过 160 千瓦时的部分 x0.15 11 7.（2019 河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品 共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元 （1）求 A，B 两种奖品的单价； （2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的请设计出最省钱的 购买方案，并说明理由 8.（2019 广东中考）某校为了开展“阳光体育运动” ，计划购买篮球、足球共 60 个，已知每个篮球的价格 为 70 元，每个足球的价格为 80 元 （1）若购买这两类球的总金额为 4600 元，求篮球，足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
