1、 1 第第 9 9 讲讲 不等式不等式( (组组) )及其应用及其应用 1不等式的基本性质 性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不改变；如果 ab，那么 acbc； 性质 2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不改变；如果 ab，c0，那么 acbc，a c b c； 性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变；如果 ab，c0，那么 acbc，a cb，且 a、b 为常数)： 不等式 2 组(ab) 图示 解集 口诀 xa xb xa 同大取大 xa xb xb 同小取小 xb xa axb 大小、小大 中间找 xb xa 无解 小小、大大
2、找不到 4.一元一次不等式的应用 (1)列不等式解应用题的基本步骤： 审题；设元；找出能够包含未知数的不等量关系；列出不等式；解不等式；在不等式的解中 找出符合题意的未知数的值；写出答案 (2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等，一般所求问题中 有“至少()” 、 “最多()” 、 “不低于()” 、 “超过()” 、 “不大于()”等词，要正确理解这些词的含 义 考点 1：解一元一次不等式 【例题 1】 （2018 广西桂林） （6.00 分）解不等式x+1，并把它的解集在数轴上表示出来 【解析】 ：去分母，得：5x13x+3， 移项，得：5x3x3+
3、1， 合并同类项，得：2x4， 系数化为 1，得：x2， 3 将不等式的解集表示在数轴上如下： 归纳：1. 本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤：去分母；去括号； 移项；合并同类项；化系数为 1；2将不等式(组)的解集直观地表示在数轴上，体现数形结合的思想； 3在画图时，先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空 心圆圈，再确定方向(大向右，小向左) 考点 2：解一元一次不等式组 【例题 2】(2018自贡)解不等式组 3x51， 13x 3 4x，并在数轴上表示其解集 【解答】解：解不等式，得 x2. 解不等式，得 x1. 不等式
4、组的解集为 1x2. 将其表示在数轴上，如图所示 归纳：在数轴上表示解集时，大于号向右，小于号向左，有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈 (1) 在解不等式的过程注意不等式性质 3 的使用，即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，不等号要改变 方向；(2)求不等式组的整数解时， “实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解，如果不 是整数，要从离该点最近的整数点开始算起； “空心”点所在的实数如果是整数，则该点不是整数解，如果 不是整数，则要从解集中离该点最近的整数点开始算起 考点 3：一元一次不等式的实际应用 【例题 3】 （2019 湖南益阳 10 分）为了提高农田利用效益，
5、某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种 植一季水稻的“虾稻”轮作模式某农户有农田 20 亩，去年开始实施“虾稻”轮作，去年出售小龙虾每 千克获得的利润为 32 元（利润售价成本） 由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙 虾的养殖成本下降 25%，售价下降 10%，出售小龙虾每千克获得利润为 30 元 （1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价； （2）该农户今年每亩农田收获小龙虾 100 千克，若今年的水稻种植成本为 600 元/亩，稻谷售价为 25 元/ 千克，该农户估计今年可获得“虾稻”轮作收入不少于 8 万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？ 【分析】 （1）设去年每千克小
6、龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可； 4 （2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可 【解答】解： （1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元， 由题意得：， 解得：； 答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8 元、40 元； （2）设今年稻谷的亩产量为z千克， 由题意得：2010030+202.5z2060080000， 解得：z640； 答：稻谷的亩产量至少会达到 640 千克 归纳：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题 的关键归纳总结：1.利用不等式(组)解决实际
7、问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不 等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定2在利用不等式组解决实际问题中 的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法， 对方案的优劣进行探讨 考点 4：一元一次不等式与其它知识的综合应用 【例题 4】(2018河北中考预测)如图，在数轴上有 A，B，C，D 四点，点 A 对应的数为 a，点 B 对应的数 为 3，点 D 对应的数为 t，若 CD4，且在数轴上移动 (1)若 2AB 表示的数始终位于点 A 的左侧，求 a 的取值范围，并把解集表示在数轴上； (2)当 t 为何值，
8、且是整数时，点 B 落在 C，D 两点之间 【解析】 ：(1)AB3a，2AB 表示的数始终位于点 A 的左侧， 2(3a)2. a3， a 的取值范围为 2a3， t43.解得 3tx1 2 3x34 ，并求出其最小整数解 解：令： 3（x1）x1 2 3x34 ， 解不等式得 x2， 解不等式得2 3x1，不等式两边同乘以 3 2得 x 3 2.原不等式组的解集为2x 3 2. 原不等式组的最小整数解是1 10. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材若甲单独整理需要 40 分钟完工；若甲、乙共同整理 20 分 钟后，乙需再单独整理 20 分钟才能完工 (1)问乙单独整理多少分钟完工？ (2
9、)若乙因工作需要，他的整理时间不超过 30 分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 【解析】 ：(1)设乙单独整理 x 分钟完工，根据题意，得 20 40 2020 x 1.解得 x80. 经检验，x80 是原分式方程的解，且符合题意 答：乙单独整理 80 分钟完工 (2)设甲整理 y 分钟，根据题意，得 30 80 y 401.解得 y25. 答：甲至少整理 25 分钟才能完工. 11. (2018唐山丰润区一模)小明解不等式1x 2 2x1 3 1 的过程如图请指出他解答过程中错误步骤的 序号，并写出正确的解答过程 解：去分母，得 3(1x)2(2x1)1. 去括号，得 33x4x11. 移
10、项，得 3x4x131. 合并同类项，得x3. 两边都除以1，得 x3. 【解析】 ：错误的是，正确解答过程如下： 9 去分母，得 3(1x)2(2x1)6. 去括号，得 33x4x26. 移项，得 3x4x632. 合并同类项，得x5. 两边都除以1，得 x5. 12. （2019四川省凉山州10 分）根据有理数乘法（除法）法则可知： 若ab0（或0） ，则或； 若ab0（或0） ，则或 根据上述知识，求不等式（x2） （x+3）0 的解集 解：原不等式可化为： （1）或（2） 由（1）得，x2， 由（2）得，x3， 原不等式的解集为：x3 或x2 请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题
11、： （1）不等式x 22x30 的解集为 1x3 （2）求不等式0 的解集（要求写出解答过程） 【分析】 （1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别 求解可得 （2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得 【解答】解： （1）原不等式可化为：或 由得，空集， 由得，1x3， 原不等式的解集为：1x3， 故答案为：1x3 10 （2）由0 知或， 解不等式组，得：x1； 解不等式组，得：x4； 所以不等式0 的解集为x1 或x4 13. (2018郴州)郴州市正在创建“全国文明城市” ，某校拟举办“创文
12、知识”抢答赛，欲购买 A、B 两种 奖品以鼓励抢答者如果购买 A 种 20 件，B 种 15 件，共需 380 元；如果购买 A 种 15 件，B 种 10 件，共需 280 元 (1)A、B 两种奖品每件各多少元？ (2)现要购买 A、B 两种奖品共 100 件，总费用不超过 900 元，那么 A 种奖品最多购买多少件？ 【分析】 (1)设 A 种奖品每件 x 元，B 种奖品每件 y 元，根据“如果购买 A 种 20 件，B 种 15 件，共需 380 元；如果购买 A 种 15 件，B 种 10 件，共需 280 元” ，列方程组求解可得；(2)设 A 种奖品购买 a 件，则 B 种 奖品
13、购买(100a)件，根据总价单价购买数量结合总费用不超过 900 元列不等式，解之取其中最大的 整数即可得出结论 【解答】 解：(1)设 A 种奖品每件 x 元，B 种奖品每件 y 元，根据题意，得 20 x15y380， 15x10y280. 解得 x16， y4. 答：A 种奖品每件 16 元，B 种奖品每件 4 元 (2)设 A 种奖品购买 a 件，则 B 种奖品购买(100a)件，根据题意，得 16a4(100a)900.解得 a125 3 . a 为整数，a41. 答：A 种奖品最多购买 41 件 14. （2019山东省聊城市8 分）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分
14、两次采购试销后， 效益可观，计划继续采购进行销售已知这两种服装过去两次的进货情况如下表： 第一次 第二次 A品牌运动服装数/件 20 30 B品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元 10200 14400 （1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？ 11 （2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多 5 件， 在采购总价不超过 21300 元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？ 【分析】 （1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案； （2）利用采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多 5 件，在采购总价不超过 21300 元，进而得出不等式求 出答案 【解答】解： （1）设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元和y元，根据题意可得： ， 解得：， 答：A，B两种品牌运动服的进货单价各是 240 元和 180 元； （2）设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服（m+5）件， 则 240m+180（m+5）21300， 解得：m40， 经检验，不等式的解符合题意， m+540+565， 答：最多能购进 65 件B品牌运动服
