1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 9 讲：函数的奇偶性与周期性讲：函数的奇偶性与周期性 一、课程标准 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 二、基础知识回顾 1、 奇、偶函数的定义 对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0)，则称 f(x)为奇函数；对于 函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0)，则称 f(x)为偶函数 2、 奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数，其定义域关于
2、原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义 域关于原点对称) (2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称 (3)若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)_0_ (4)若函数 f(x)是偶函数，则有 f(|x|)f(x) (5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反 3、 周期性 (1)周期函数 对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)， 那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那
3、么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 4、函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义， 则一定有f(0)0； 如果函数f(x)是偶函数， 那么f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 5、函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0) 第 2 页 / 共 18 页 (2)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0) (3)若 f(xa) 1 f（x），则 T2a(a0) 6、函数图象的对称性 (1)若函数 yf(xa)是偶函数，即
4、f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 (3)若函数 yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，则函数 yf(x)关于点(b，0)中心对称 三、自主热身、归纳总结 1、对于定义在 R 上的函数 f(x)，给出下列说法： 若 f(x)是偶函数，则 f(2)f(2)； 若 f(2)f(2)，则函数 f(x)是偶函数； 若 f(2)f(2)，则函数 f(x)不是偶函数； 若 f(2)f(2)，则函数 f(x)不是奇函数 其中，正确的说法是(
5、A ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据偶函数的定义，正确，若举例奇函数 2,0 ( )0 x0, 2,0 xx f x xx ， ， ， 由于 f(2)f(2)，都错误故填写. 2、(2019 郴州第二次教学质量检测)已知 f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则 f(x1)f(2x)的解集为( ) A. 1， 2 3 B. 1， 1 3 C1，1 D. 1 3，1 【答案】B 【解析】 (1)f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，2b1b0，b1， f(x)在2b，0上为增函数，即函数 f(x)在2，0上为增函数，故函数 f(x)在(0，2上为减函
6、数，则由 f(x 第 3 页 / 共 18 页 1)f(2x)，可得|x1|2x|，即(x1)24x2， 解得1x 1 3. 又因为定义域为2，2，所以 2x12， 22x2， 解得 1x3， 1x1. 1x 1 3. 3、函数 yf(x)在0，2上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) Af(1)f 5 2f 7 2 Bf 7 2f(1)f 5 2 Cf 7 2f 5 2f(1) Df 5 2f(1)f 7 2 【答案】B 【解析】函数 yf(x)在0，2上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数， 函数 yf(x)在2，4上单调递减，且在0，4上函数 yf(x)满足 f
7、(2x)f(2x)， f(1)f(3)，f 7 2f(3)f 5 2， 即 f 7 2f(1)f 5 2. 4、（2019 福建莆田一中模拟）定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有 ( ) Af 3 2f 1 4f 1 4 Bf 1 4f 1 4f 3 2 Cf 3 2f 1 4f 1 4 Df 1 4f 3 2f 1 4 【答案】C 【解析】因为 f(x2)f(x)，所以 f(x22)f(x2)f(x)，所以函数的周期为 4，作出 f(x)的草图(如 图)，由图可知 f 3 2f 1 4f 1 4， 第 4 页 / 共 18 页 5、(多选)已知
8、偶函数 f(x)满足 f(x)f(2x)0，下列说法正确的是( ) A函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数 B函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数 C函数 f(x2)为偶函数 D函数 f(x3)为偶函数 【答案】BC 【解析】偶函数 f(x)满足 f(x)f(2x)0，即有 f(x)f(x)f(2x)，即为 f(x2)f(x)，f(x4)f(x 2)f(x)，可得 f(x)的最小正周期为 4，故 A 错误，B 正确；由 f(x)f(2x)0，可得 f(x)f(2x)0， 两式相减得 f(2x)f(2x)0，故 f(2x)f(2x)，f(x2)为偶函数，故 C 正确；由 f(x)为偶函数
9、得 f( x3)f(x3)，若 f(x3)为偶函数，则有 f(x3)f(x3)，可得 f(x3)f(x3)，即 f(x6)f(x)，可得 6 为 f(x)的周期，这与 4 为最小正周期矛盾，故 D 错误故选 B、C. 6、（2019 江苏淮安一中模拟）已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x， 则函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点个数为_ 【答案】7 【解析】因为当 0 x2 时，f(x)x3x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)0， 则 f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又 f(1)0， 所以
10、 f(5)f(3)f(1)0， 故函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点有 7 个 7、 (2019 通州、 海门、 启东期末） 已知函数 f(x)的周期为 4， 且当 x(0， 4时， f(x) cos x 2， 0x2， log2 x 3 2， 2f(a1)，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】(1，) 【解析】 函数 f(x)2x44x2为偶函数，因为 f(x)8x38x8x(x21)，所以当 x0，)时，函数 f(x) 为增函数，当 x(，0)时，函数 f(x)为减函数，由 f(a3)f(a1)，得 f(|a3|)f(|a1|)，即(a3)2(a 1)2，解得 a1，所以
11、实数 a 的取值范围为(1，) 四、例题选讲 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 9x2 x29； (2)f(x)(x1) 1x 1x； (3)f(x) 4x2 |x3 3. （4）f(x) x22x1，x0， x22x1，x0； 【解】 (1)由 2 2 90 90 x x ， 得 x 3. f(x)的定义域为3，3，此时 f(x)0. 又 f(3)f(3)0，f(3)f(3)0. 即 f(x) f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数 (2)由 1-x 0 1 1+0 x x ， 得10 时，f(x)x22x1， x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)； 当 x0，f
12、(x)(x)22(x)1x22x1f(x) 所以 f(x)为奇函数 变式 1、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 1x2 x21； (2)f(x)(x1) 1x 1x； (3)f(x) 4x2 x2 . 解：(1)由 1x20， x210 x21x 1，故函数 f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且 f(x)0，所以 f( x)f(x)f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)因为 f(x)有意义，则满足 1x 1x0， 所以1x1， 所以 f(x)的定义域不关于原点对称， 所以 f(x)为非奇非偶函数 (3)因为 4x20， x20， 所以2x2 且 x0， 所以定义域
13、关于原点对称 又 f(x) 4（x）2 （x）2 4x2 x2 ， 所以 f(x)f(x)故函数 f(x)为偶函数 变式 2、下列函数是偶函数的是( ) A ( )tanf xx B ( )sinf xx C ( )cosf xx D ( )|f xlg x 【答案】CD 第 7 页 / 共 18 页 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A， ( )tanf xx ，是正切函数，是奇函数，不符合题意； 对于B， ( )sinf xx ，是正弦函数，是奇函数，不符合题意； 对于C， ( )cosf xx ，是余弦函数，是偶函数，符合题意； 对于D， ( )|f xlg x ，其定义域为 | 0
14、 x x 有 ()|( )fxlgxlg xf x ，是偶函数，符合题意； 故选：CD 方法总结： 1. 判断函数的奇偶性， 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若函数定义域关于原点不对称， 则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据 f(x)与 f(x)的关系结合定义 作出判断 2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明 f(x)f(x)(f(x) f(x)对定义域中的任意 x 都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了 3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别
15、从 x0 或 x 0 来寻找等式 f(x)f(x)或 f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具 有确定的奇偶性 考点二 函数的周期性及应用 例 1、已知函数 f（x）满足 f（0）2，且对任意 xR 都满足 f（x+3）f（x） ，则 f（2019）的值为（ ） A2019 B2 C0 D2 【答案】D 【解析】f（x+3）f（x） ， f（x+6）f（x+3）f（x） ， f（x）的周期为 6， f（2019）f（3） ， 又 f（3）f（0）2， f（2019）2 故选：D 变 式1 、 ( 2 0 1 7 南 京 三 模 ） 已 知 函 数f ( x )
16、是 定 义 在 R上 且 周 期 为4的 偶 函 数 当 x2，4时，f(x)|log4(x 3 2)|，则 f( 1 2)的值为 第 8 页 / 共 18 页 【答案】 1 2 【解析】 由题意可得： 4 117731 log 222222 fff 变式 2、（2019 湖北武钢三中模拟）已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3 x，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为( ) A6 B7 C8 D9 【答案】B 【解析】当 0 x2 时，令 f(x)x3xx(x21)0，所以 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为
17、 x10， x21 变式变式 3、 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x) x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 019)_338_ 【答案】338 【解析】 由 f(x6)f(x)可知，函数 f(x)的周期为 6，f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5) 1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，在一个周期内有 f(1)f(2)f(6)1210101，f(1) f(2)f(2 019)f(1)f(2)f(3)336 112(1)336338. 变式 4、 已知函数是定义在 R 上的奇函数，且（ ）
18、 A B9 C D0 【答案】A 【解析】根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，则 f（x）f（x） ， 又由 f（1+x）f（1x） ，则 f（x）f（2+x） ， 则有 f（x+2）f（x） ，变形可得 f（x+4）f（x+2）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 则 f（2019）f（1+505 4）f（1）f（1）9； 故选：A 考点三 函数奇偶性的应用 第 9 页 / 共 18 页 例 1、(2019 南京学情调研）若函数 f(x)a 1 2x1是奇函数，则实数 a 的值为_ 【答案】 1 2 【解析】 解法 1(特殊值法) 因为函数 f(x)为奇函数，
19、且定义域为x|x0，所以有 f(1)f(1)0，即(a 1)(a2)0，解得 a 1 2. 解法 2(定义法) 因为函数 f(x)为奇函数，所以有 f(x)f(x)0，即 a 1 2x1 a 1 2x10，即 2a1 0，解得 a 1 2. 易错警示 本题由于是填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域 变式1、 (2019苏州期初调查） 已知函数f(x) x22x，x0， x2ax， x0， 为奇函数， 则实数a的值等于_ 【答案】 2 【解析】 解法 1(特殊值法) f(1)1a，f(1)1, 因为 f(x)为奇函数，所以1a1，则 a2. 解法 2(定义法) 设 x0，所以
20、 f(x)x22xf(x)，即 x22xx2ax 对 x0 恒成立，所以 a 2. 变式 2、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x)当 0x1 时，f(x)x3ax1，则实数 a 的值为_ 【答案】 2 【解析】 因为 f(x2)f(x)，则 f(1)f(1)，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(1)f(1)，则有 f(1)f(1)，即 f(1)0，所以 1a10，则 a2，故答案为 2. 变式 3、(2019 河北唐山二模)已知函数 f(x) x2ax，x0， ax2x，x0 为奇函数，则 a( ) A1 B1 C0
21、D 1 【答案】A 【解析】函数 f(x)是奇函数，f(x)f(x)，则有 f(1)f(1)，即 1aa1，即 2a2，得 a 1(符合题意)，故选 A. 变式 4、设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)3x7x2b(b 为常数)，则 f(2)( ) A6 B6 第 10 页 / 共 18 页 C4 D4 【答案】A 【解析】 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)3x7x2b，f(0)12b0， b 1 2. f(x)3x7x1， f(2)f(2)(327 21)6.故选 A. 方法总结：方法总结： 函数的周期性主要体现为 f(xT)与 f(x)的关
22、系， 反映在图像上， 就是图像呈周期性地重复出现， 判断、证明和应用函数的周期性是对函数考查的重点和难点，解决此类问题的关键是从周期的定义出发， 充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化 考点三 抽象函数的奇偶性的证明与应用 例 1、定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、y，恒有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，又 f(1) 2 3. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在 R 上是减函数； (3)求 f(x)在3，6上的最大值与最小值 【证明】 因等式 f(x)f(y)f(xy)对任意实数 x、y 均成立，故可从取特值法入手 (1)令 xy0，可得
23、 f(0)f(0)f(00)，从而，f(0)0. 令 y x，可得 f(x)f(x)f(xx)0，即 f(x) f(x)，故 f(x)为奇函数 (2)设 x1、x2R，且 x1x2，则 x1x20， f(x1x2)0. f(x1)f(x2)f(x1 x2)x2 f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x 2)0. f(x)为减函数 (3)由(2)知，f(x)在 R 上是减函数，故所求函数的最大值为 f(3)，最小值为 f(6) f(3)f(3)f(2)f(1) 2f(1)f(1)3f(1)2，f(6)f(6) f(3)f(3)4.故 f(x) 在3，6上的最大值为 2，最小值为4.
24、 变式 1、函数 f(x)定义域 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1 x2)f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值； 第 11 页 / 共 18 页 (2)判断 f(x)的奇偶性并证明； (3)如果 f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且 f(x)在(0，)上是增函数，求实数 x 的取值范围 【解】 (1)令 x1x21，有 f(1 1)f(1)f(1)，解得 f(1)0. (2)f(x)为偶函数，证明如下：令 x1x21， 有 f(1) (1)f(1)f(1)， 解得 f(1)0.令 x11， x2x， 有 f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)， f(x
25、)为偶函数 (3)f(4 4)f(4)f(4)2， f(16 4)f(16)f(4)3.由f(3x1)f(2x6)3， 变形为f(3x1)(2x6)f(64) (*) f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等价于 f|(3x1)(2x6)|f(64) 又f(x)在(0，)上是增函数， |(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.解得 7 3x 1 3或 1 3x3 或 3x5. x 的取值范围是x| 7 3x 1 3或 1 3x3 或 3x5 变式 2、（2019 山西太原五中模拟）设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)
26、x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积 【解析】(1)由 f(x2)f(x)得， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 所以 f()f(1 4)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2f(x1)f(x1)， 即 f(1x)f(1x) 故函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称， 则 f(x)的图象如图所示 第 12 页 / 共 18 页 当4x4 时，f(x)的图
27、象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB4 1 2 2 1 4. 考点四 函数奇偶性与单调性的应用 例 4、(1)设函数 f(x) a 2xa2 2x1 (xR)为奇函数，求实数 a 的值； (2)设函数 f(x)是定义在(1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若 f(a2)f(4a2)0，求实数 a 的取值 范围 【解】 (1)要使 f(x)为奇函数， xR， 需 f(x)f(x)0 成立 又f(x)a 2 2x1， f(x)a 2 2x1a 2x1 2x1. 由 a 2 2x 1 a 2x1 2x10，得 2a 2（2x1） 2x1 0， a1. (2)由 f(x)的定义域
28、是( )1，1 ，知 2 1a2 1 -1 4-a1. ， 解得 3a 5. 由 f(a2)f(4a2)0，得 f(a2)f(4a2)函数 f(x)是偶函数， f(|a2|)f(|4a2|) 由于 f(x)在(0，1)上是增函数， |a2|4a2|，解得 a1 且 a2. 综上，实数 a 的取值范围是 3a 5且 a2. 变式 1、已知函数，则满足的取值范围是 A B C D 【答案】D 【解析】因为的定义域是 ， ， 故是奇函数， 又， 故递增， 若， 等价于， 故，解得，故选 D 第 13 页 / 共 18 页 变式2、 已知f(x)是定义在R上的函数， 且满足f(x2) 1 f（x），
29、当2x3时， f(x)x， 则f 11 2_ 【答案】 5 2 【解析】f(x2) 1 f（x），f(x4)f(x)， f 11 2f 5 2，又 2x3 时，f(x)x， f 5 2 5 2，f 11 2 5 2. 变式 3、下列函数中，既是奇函数，又在区间 1 ，1上单调递增的是( ) A ( )2f xx B ( )2xf x C ( )tanf xx D( )cosf xx 【答案】AC 【解析】结合指数函数的性质可知，2xy 为非奇非偶函数，A不符合题意； cosyx 为偶函数，不符合题； 2yx 为奇函数且在 1 ，1上单调递增，符合题意； 结合正切函数的性质可知， tanyx 为
30、奇函数且在 1 ，1上单调递增 故选：AC 变式 4、(2018 南京、盐城、连云港二模）已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x2x. 若 f(a)f(a)4，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 (1，1) 【解析】解法 1(奇偶性的性质) 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(a)f(a)2 f(|a|)4，即 f(|a|)2， 即|a|2|a|2，(|a|2)(|a|1)0，解得1a1. 解法 2(奇偶性的定义) 当 x0 时，x0，又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以，f(x)f(x)(x)2 (x)x2x，故 f(x) x2x，x
31、0， x2x，x0. 当 a0 时，f(a)f(a)(a2a)(a)2(a)2a22a4，解得 0a1； 当 a0 时，f(a)f(a)(a2a)(a)2(a)2a22a4，解得1a0.综上，1a1. 方法总结： 1. 已知函数的奇偶性， 反求参数的取值， 有两种思路： 一种思路是根据定义， 由 f(x)f(x) 或 f(x)f(x)对定义域内的任意 x 恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就 是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果 第 14 页 / 共 18 页 2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，
32、偶函数在 其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极 大的帮助，要予以足够的重视 五、优化提升与真题演练 1、(2019 高考全国卷)设函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x1)2f(x)，且当 x(0，1时，f(x)x(x1)，若 对任意 x(，m，都有 f(x) 8 9，则 m 的取值范围是( ) A. ， 9 4 B. ， 7 3 C. ， 5 2 D. ， 8 3 【答案】B 【解析】当1x0 时，0x11，则 f(x) 1 2f(x1) 1 2(x1)x；当 1x2 时，0x11，则 f(x)2f(x1) 2(x1)(x2)；当
33、2x3 时，0x21，则 f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3)，由此可得 f(x) 1 2（x1）x，1x0， x（x1），0x1， 2（x1）（x2），1x2， 22（x2）（x3），2x3， 由此作出函数 f(x)的图象，如图所示由图可知当 2x3 时，令 22(x 2) (x3) 8 9，整理，得(3x7)(3x8)0，解得 x 7 3或 x 8 3，将这两个值标注在图中要使对任意 x (，m都有 f(x) 8 9，必有 m 7 3，即实数 m 的取值范围是 ， 7 3，故选 B. 2、 (2018 全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1
34、x).若 f(1)2，则 f(1)f(2) f(3)f(50)( ) A.50 B.0 C.2 D.50 第 15 页 / 共 18 页 【答案】C 【解析】 方法一： f(x)在 R 上是奇函数，且 f(1x)f(1x). f(x1)f(x1)，即 f(x2)f(x). 因此 f(x4)f(x)，则函数 f(x)是周期为 4 的函数， 由于 f(1x)f(1x)，f(1)2， 故令 x1，得 f(0)f(2)0 令 x2，得 f(3)f(1)f(1)2， 令 x3，得 f(4)f(2)f(2)0， 故 f(1)f(2)f(3)f(4)20200， 所以 f(1)f(2)f(3)f(50)12
35、 0f(1)f(2)2. 方法二：取一个符合题意的函数 f(x)2sin x 2，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN *)是以 4 为周期的 周期数列. 故 f(1)f(2)f(3)f(50)12 f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)12 20(2)0202. 3、(2018 全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2) f(3)f(50)( ) A50 B0 C2 D50 【答案】C 【解析】f(x)是奇函数， f(x)f(x)， f(1x)f(x1) 由 f(1x)f(1x)，得f(x1)f(x1)， f(
36、x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)， 函数 f(x)是周期为 4 的周期函数 由 f(x)为奇函数得 f(0)0. 又f(1x)f(1x)， f(x)的图象关于直线 x1 对称， 第 16 页 / 共 18 页 f(2)f(0)0，f(2)0. 又 f(1)2，f(1)2， f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200， f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50) 0 12f(49)f(50) f(1)f(2)202. 4、 (2018 苏北四市期末） （B12,10. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x0 时， f(x)log2(2
37、x)(a1)xb(a， b 为常数)若 f(2)1，则 f(6)的值为_ 【答案】 4 【解析】由题意得 f(0)0，所以 log22b0，所以 b1，f(x)log2(2x)(a1)x1，又因为 f(2) 1，所以 log2(22)2(a1)11，解得 a0，f(x)log2(2x)x1，f(6)f(6)log2(26) 614. 5、（2017南通一调） （B05， 9. 若函数f(x) xxb， x0， axx2， x0 (a， bR)为奇函数， 则f(ab)的值为_ 【答案】 1 【解析】 思路分析 本题是一个分段函数的奇偶性问题，破解方法是运用赋值法或运用 f(x)f(x)0(x R
38、)求出参数 a，b 的值 解法 1 因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(1)f(1)， f(2)f(2)，即 11ba12， 22b2a22， 解得 a1，b2.经验证 a1，b2 满足题设条件， 所以 f(ab)f(1)1. 解法 2 因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x)的图像关于原点对称， 当 x0，二次函数的图像顶点为 b 2， b2 4， 当 x0，二次函数的图像顶点为(1，a)， 所以 b 21， b2 4a，解得 a1，b2， 经验证 a1，b2 满足题设条件， 所以 f(ab)f(1)1. 第 17 页 / 共 18 页 6、 .(2017 全国卷)已知函数 f(x)是定
39、义在 R 上的奇函数， 当 x(， 0)时， f(x)2x3x2， 则 f(2)_. 【答案】12 【解析】x(，0)时，f(x)2x3x2，且 f(x)在 R 上为奇函数， f(2)f(2)2 (2)3(2)212. 7、(2019 南京三模） （C16,10. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)2 x2，则不等式 f(x1)2 的解集是_ 【答案】 1,3 【解析】 思路分析 用函数的性质解不等式，比解具体不等式更快 偶函数 f(x)在0，)上单调递增，且 f(2)2. 所以 f(x1)2，即 f(|x1|)f(2)，即|x1|2，所以1x3. 解后反思 对于偶
40、函数 f(x)，均有 f(x)f(x)f(|x|) 8、(2018 扬州期末）已知函数 f(x)sinxx 14x 2x ，则关于 x 的不等式 f(1x2)f(5x7)0 的解集为 _ 【答案】. x|2x0，则有 f(x)0，所以 f(x)为 R 上的减函数，因此不等式 f(1x2)f(5x7)0，即 f(1x2)f(5x7)，亦即 f(1x2)75x，解得 2x3，故不等式 f(1x2)f(5x7)0 的解集为x|2x3 9、 （2019 广东深圳中学模拟） 已知函数 f(x)对任意 xR 满足 f(x)f(x)0， f(x1)f(x1)， 若当 x0， 1)时，f(x)axb(a0 且
41、 a1)，且 f 3 2 1 2. (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 g(x)f2(x)f(x)的值域 【解析】(1)因为 f(x)f(x)0， 所以 f(x)f(x)，即 f(x)是奇函数 第 18 页 / 共 18 页 因为 f(x1)f(x1)，所以 f(x2)f(x)， 即函数 f(x)是周期为 2 的周期函数， 所以 f(0)0，即 b1. 又 f 3 2f 1 2f 1 21 a 1 2， 解得 a 1 4. (2)当 x0，1)时，f(x)axb 1 4 x 1 3 4，0 ， 由 f(x)为奇函数知， 当 x(1，0)时，f(x) 0， 3 4， 又因为 f(x)是周期为 2 的周期函数， 所以当 xR 时，f(x) 3 4， 3 4， 设 tf(x) 3 4， 3 4， 所以 g(x)f2(x)f(x)t2t t 1 2 2 1 4， 即 y t 1 2 2 1 4 1 4， 21 16. 故函数 g(x)f2(x)f(x)的值域为 1 4， 21 16.
