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本文(第09讲 函数的奇偶性与周期性(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义)为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

第09讲 函数的奇偶性与周期性(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 9 讲:函数的奇偶性与周期性讲:函数的奇偶性与周期性 一、课程标准 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 二、基础知识回顾 1、 奇、偶函数的定义 对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0),则称 f(x)为奇函数;对于 函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0),则称 f(x)为偶函数 2、 奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于

2、原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义 域关于原点对称) (2)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称 (3)若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)_0_ (4)若函数 f(x)是偶函数,则有 f(|x|)f(x) (5)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反 3、 周期性 (1)周期函数 对于函数 yf(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(xT)f(x), 那么就称函数 yf(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那

3、么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 4、函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义, 则一定有f(0)0; 如果函数f(x)是偶函数, 那么f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 5、函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量 x: (1)若 f(xa)f(x),则 T2a(a0) 第 2 页 / 共 18 页 (2)若 f(xa) 1 f(x),则 T2a(a0) (3)若 f(xa) 1 f(x),则 T2a(a0) 6、函数图象的对称性 (1)若函数 yf(xa)是偶函数,即

4、f(ax)f(ax),则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax),则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 (3)若函数 yf(xb)是奇函数,即 f(xb)f(xb)0,则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称 三、自主热身、归纳总结 1、对于定义在 R 上的函数 f(x),给出下列说法: 若 f(x)是偶函数,则 f(2)f(2); 若 f(2)f(2),则函数 f(x)是偶函数; 若 f(2)f(2),则函数 f(x)不是偶函数; 若 f(2)f(2),则函数 f(x)不是奇函数 其中,正确的说法是(

5、A ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据偶函数的定义,正确,若举例奇函数 2,0 ( )0 x0, 2,0 xx f x xx , , , 由于 f(2)f(2),都错误故填写. 2、(2019 郴州第二次教学质量检测)已知 f(x)是定义在2b,1b上的偶函数,且在2b,0上为增函数,则 f(x1)f(2x)的解集为( ) A. 1, 2 3 B. 1, 1 3 C1,1 D. 1 3,1 【答案】B 【解析】 (1)f(x)是定义在2b,1b上的偶函数,2b1b0,b1, f(x)在2b,0上为增函数,即函数 f(x)在2,0上为增函数,故函数 f(x)在(0,2上为减函

6、数,则由 f(x 第 3 页 / 共 18 页 1)f(2x),可得|x1|2x|,即(x1)24x2, 解得1x 1 3. 又因为定义域为2,2,所以 2x12, 22x2, 解得 1x3, 1x1. 1x 1 3. 3、函数 yf(x)在0,2上单调递增,且函数 f(x2)是偶函数,则下列结论成立的是( ) Af(1)f 5 2f 7 2 Bf 7 2f(1)f 5 2 Cf 7 2f 5 2f(1) Df 5 2f(1)f 7 2 【答案】B 【解析】函数 yf(x)在0,2上单调递增,且函数 f(x2)是偶函数, 函数 yf(x)在2,4上单调递减,且在0,4上函数 yf(x)满足 f

7、(2x)f(2x), f(1)f(3),f 7 2f(3)f 5 2, 即 f 7 2f(1)f 5 2. 4、(2019 福建莆田一中模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x),且在0,1上是减函数,则有 ( ) Af 3 2f 1 4f 1 4 Bf 1 4f 1 4f 3 2 Cf 3 2f 1 4f 1 4 Df 1 4f 3 2f 1 4 【答案】C 【解析】因为 f(x2)f(x),所以 f(x22)f(x2)f(x),所以函数的周期为 4,作出 f(x)的草图(如 图),由图可知 f 3 2f 1 4f 1 4, 第 4 页 / 共 18 页 5、(多选)已知

8、偶函数 f(x)满足 f(x)f(2x)0,下列说法正确的是( ) A函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数 B函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数 C函数 f(x2)为偶函数 D函数 f(x3)为偶函数 【答案】BC 【解析】偶函数 f(x)满足 f(x)f(2x)0,即有 f(x)f(x)f(2x),即为 f(x2)f(x),f(x4)f(x 2)f(x),可得 f(x)的最小正周期为 4,故 A 错误,B 正确;由 f(x)f(2x)0,可得 f(x)f(2x)0, 两式相减得 f(2x)f(2x)0,故 f(2x)f(2x),f(x2)为偶函数,故 C 正确;由 f(x)为偶函数

9、得 f( x3)f(x3),若 f(x3)为偶函数,则有 f(x3)f(x3),可得 f(x3)f(x3),即 f(x6)f(x),可得 6 为 f(x)的周期,这与 4 为最小正周期矛盾,故 D 错误故选 B、C. 6、(2019 江苏淮安一中模拟)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 x2 时,f(x)x3x, 则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为_ 【答案】7 【解析】因为当 0 x2 时,f(x)x3x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且 f(0)0, 则 f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又 f(1)0, 所以

10、 f(5)f(3)f(1)0, 故函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点有 7 个 7、 (2019 通州、 海门、 启东期末) 已知函数 f(x)的周期为 4, 且当 x(0, 4时, f(x) cos x 2, 0x2, log2 x 3 2, 2f(a1),则实数 a 的取值范围为_ 【答案】(1,) 【解析】 函数 f(x)2x44x2为偶函数,因为 f(x)8x38x8x(x21),所以当 x0,)时,函数 f(x) 为增函数,当 x(,0)时,函数 f(x)为减函数,由 f(a3)f(a1),得 f(|a3|)f(|a1|),即(a3)2(a 1)2,解得 a1,所以

11、实数 a 的取值范围为(1,) 四、例题选讲 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) 9x2 x29; (2)f(x)(x1) 1x 1x; (3)f(x) 4x2 |x3 3. (4)f(x) x22x1,x0, x22x1,x0; 【解】 (1)由 2 2 90 90 x x , 得 x 3. f(x)的定义域为3,3,此时 f(x)0. 又 f(3)f(3)0,f(3)f(3)0. 即 f(x) f(x)f(x)既是奇函数,又是偶函数 (2)由 1-x 0 1 1+0 x x , 得10 时,f(x)x22x1, x0,f(x)(x)22(x)1x22x1f(x); 当 x0,f

12、(x)(x)22(x)1x22x1f(x) 所以 f(x)为奇函数 变式 1、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) 1x2 x21; (2)f(x)(x1) 1x 1x; (3)f(x) 4x2 x2 . 解:(1)由 1x20, x210 x21x 1,故函数 f(x)的定义域为1,1,关于原点对称,且 f(x)0,所以 f( x)f(x)f(x),所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)因为 f(x)有意义,则满足 1x 1x0, 所以1x1, 所以 f(x)的定义域不关于原点对称, 所以 f(x)为非奇非偶函数 (3)因为 4x20, x20, 所以2x2 且 x0, 所以定义域

13、关于原点对称 又 f(x) 4(x)2 (x)2 4x2 x2 , 所以 f(x)f(x)故函数 f(x)为偶函数 变式 2、下列函数是偶函数的是( ) A ( )tanf xx B ( )sinf xx C ( )cosf xx D ( )|f xlg x 【答案】CD 第 7 页 / 共 18 页 【解析】根据题意,依次分析选项: 对于A, ( )tanf xx ,是正切函数,是奇函数,不符合题意; 对于B, ( )sinf xx ,是正弦函数,是奇函数,不符合题意; 对于C, ( )cosf xx ,是余弦函数,是偶函数,符合题意; 对于D, ( )|f xlg x ,其定义域为 | 0

14、 x x 有 ()|( )fxlgxlg xf x ,是偶函数,符合题意; 故选:CD 方法总结: 1. 判断函数的奇偶性, 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若函数定义域关于原点不对称, 则此函数一定是非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,再化简解析式,根据 f(x)与 f(x)的关系结合定义 作出判断 2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下,要说明一个函数是奇(偶)函数,必须证明 f(x)f(x)(f(x) f(x)对定义域中的任意 x 都成立;而要说明一个函数是非奇非偶函数,则只须举出一个反例就可以了 3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别

15、从 x0 或 x 0 来寻找等式 f(x)f(x)或 f(x)f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具 有确定的奇偶性 考点二 函数的周期性及应用 例 1、已知函数 f(x)满足 f(0)2,且对任意 xR 都满足 f(x+3)f(x) ,则 f(2019)的值为( ) A2019 B2 C0 D2 【答案】D 【解析】f(x+3)f(x) , f(x+6)f(x+3)f(x) , f(x)的周期为 6, f(2019)f(3) , 又 f(3)f(0)2, f(2019)2 故选:D 变 式1 、 ( 2 0 1 7 南 京 三 模 ) 已 知 函 数f ( x )

16、是 定 义 在 R上 且 周 期 为4的 偶 函 数 当 x2,4时,f(x)|log4(x 3 2)|,则 f( 1 2)的值为 第 8 页 / 共 18 页 【答案】 1 2 【解析】 由题意可得: 4 117731 log 222222 fff 变式 2、(2019 湖北武钢三中模拟)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 x2 时,f(x)x3 x,则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为( ) A6 B7 C8 D9 【答案】B 【解析】当 0 x2 时,令 f(x)x3xx(x21)0,所以 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为

17、 x10, x21 变式变式 3、 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)当3x1 时,f(x)(x2)2;当1x3 时,f(x) x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 019)_338_ 【答案】338 【解析】 由 f(x6)f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,f(3)f(3)1,f(2)f(4)0,f(1)f(5) 1,f(0)f(6)0,f(1)1,f(2)2,在一个周期内有 f(1)f(2)f(6)1210101,f(1) f(2)f(2 019)f(1)f(2)f(3)336 112(1)336338. 变式 4、 已知函数是定义在 R 上的奇函数,且( )

18、 A B9 C D0 【答案】A 【解析】根据题意,函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(x)f(x) , 又由 f(1+x)f(1x) ,则 f(x)f(2+x) , 则有 f(x+2)f(x) ,变形可得 f(x+4)f(x+2)f(x) ,即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数, 则 f(2019)f(1+505 4)f(1)f(1)9; 故选:A 考点三 函数奇偶性的应用 第 9 页 / 共 18 页 例 1、(2019 南京学情调研)若函数 f(x)a 1 2x1是奇函数,则实数 a 的值为_ 【答案】 1 2 【解析】 解法 1(特殊值法) 因为函数 f(x)为奇函数,

19、且定义域为x|x0,所以有 f(1)f(1)0,即(a 1)(a2)0,解得 a 1 2. 解法 2(定义法) 因为函数 f(x)为奇函数,所以有 f(x)f(x)0,即 a 1 2x1 a 1 2x10,即 2a1 0,解得 a 1 2. 易错警示 本题由于是填空题,可用特殊值法解答,但取特值时,要注意函数的定义域 变式1、 (2019苏州期初调查) 已知函数f(x) x22x,x0, x2ax, x0, 为奇函数, 则实数a的值等于_ 【答案】 2 【解析】 解法 1(特殊值法) f(1)1a,f(1)1, 因为 f(x)为奇函数,所以1a1,则 a2. 解法 2(定义法) 设 x0,所以

20、 f(x)x22xf(x),即 x22xx2ax 对 x0 恒成立,所以 a 2. 变式 2、(2019 南通、泰州、扬州一调)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x2)f(x)当 0x1 时,f(x)x3ax1,则实数 a 的值为_ 【答案】 2 【解析】 因为 f(x2)f(x),则 f(1)f(1),又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(1)f(1),则有 f(1)f(1),即 f(1)0,所以 1a10,则 a2,故答案为 2. 变式 3、(2019 河北唐山二模)已知函数 f(x) x2ax,x0, ax2x,x0 为奇函数,则 a( ) A1 B1 C0

21、D 1 【答案】A 【解析】函数 f(x)是奇函数,f(x)f(x),则有 f(1)f(1),即 1aa1,即 2a2,得 a 1(符合题意),故选 A. 变式 4、设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)3x7x2b(b 为常数),则 f(2)( ) A6 B6 第 10 页 / 共 18 页 C4 D4 【答案】A 【解析】 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x)3x7x2b,f(0)12b0, b 1 2. f(x)3x7x1, f(2)f(2)(327 21)6.故选 A. 方法总结:方法总结: 函数的周期性主要体现为 f(xT)与 f(x)的关

22、系, 反映在图像上, 就是图像呈周期性地重复出现, 判断、证明和应用函数的周期性是对函数考查的重点和难点,解决此类问题的关键是从周期的定义出发, 充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化 考点三 抽象函数的奇偶性的证明与应用 例 1、定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、y,恒有 f(x)f(y)f(xy),且当 x0 时,f(x)0,又 f(1) 2 3. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在3,6上的最大值与最小值 【证明】 因等式 f(x)f(y)f(xy)对任意实数 x、y 均成立,故可从取特值法入手 (1)令 xy0,可得

23、 f(0)f(0)f(00),从而,f(0)0. 令 y x,可得 f(x)f(x)f(xx)0,即 f(x) f(x),故 f(x)为奇函数 (2)设 x1、x2R,且 x1x2,则 x1x20, f(x1x2)0. f(x1)f(x2)f(x1 x2)x2 f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x 2)0. f(x)为减函数 (3)由(2)知,f(x)在 R 上是减函数,故所求函数的最大值为 f(3),最小值为 f(6) f(3)f(3)f(2)f(1) 2f(1)f(1)3f(1)2,f(6)f(6) f(3)f(3)4.故 f(x) 在3,6上的最大值为 2,最小值为4.

24、 变式 1、函数 f(x)定义域 Dx|x0,且满足对于任意 x1,x2D,有 f(x1 x2)f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值; 第 11 页 / 共 18 页 (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)1,f(3x1)f(2x6)3,且 f(x)在(0,)上是增函数,求实数 x 的取值范围 【解】 (1)令 x1x21,有 f(1 1)f(1)f(1),解得 f(1)0. (2)f(x)为偶函数,证明如下:令 x1x21, 有 f(1) (1)f(1)f(1), 解得 f(1)0.令 x11, x2x, 有 f(x)f(1)f(x), f(x)f(x), f(x

25、)为偶函数 (3)f(4 4)f(4)f(4)2, f(16 4)f(16)f(4)3.由f(3x1)f(2x6)3, 变形为f(3x1)(2x6)f(64) (*) f(x)为偶函数,f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等价于 f|(3x1)(2x6)|f(64) 又f(x)在(0,)上是增函数, |(3x1)(2x6)|64,且(3x1)(2x6)0.解得 7 3x 1 3或 1 3x3 或 3x5. x 的取值范围是x| 7 3x 1 3或 1 3x3 或 3x5 变式 2、(2019 山西太原五中模拟)设 f(x)是(,)上的奇函数,f(x2)f(x),当 0 x1 时,f(x)

26、x. (1)求 f()的值; (2)当4x4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积 【解析】(1)由 f(x2)f(x)得, f(x4)f(x2)2f(x2)f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f()f(1 4)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x), 得 f(x1)2f(x1)f(x1), 即 f(1x)f(1x) 故函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 又当 0 x1 时,f(x)x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则 f(x)的图象如图所示 第 12 页 / 共 18 页 当4x4 时,f(x)的图

27、象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S4SOAB4 1 2 2 1 4. 考点四 函数奇偶性与单调性的应用 例 4、(1)设函数 f(x) a 2xa2 2x1 (xR)为奇函数,求实数 a 的值; (2)设函数 f(x)是定义在(1,1)上的偶函数,在(0,1)上是增函数,若 f(a2)f(4a2)0,求实数 a 的取值 范围 【解】 (1)要使 f(x)为奇函数, xR, 需 f(x)f(x)0 成立 又f(x)a 2 2x1, f(x)a 2 2x1a 2x1 2x1. 由 a 2 2x 1 a 2x1 2x10,得 2a 2(2x1) 2x1 0, a1. (2)由 f(x)的定义域

28、是( )1,1 ,知 2 1a2 1 -1 4-a1. , 解得 3a 5. 由 f(a2)f(4a2)0,得 f(a2)f(4a2)函数 f(x)是偶函数, f(|a2|)f(|4a2|) 由于 f(x)在(0,1)上是增函数, |a2|4a2|,解得 a1 且 a2. 综上,实数 a 的取值范围是 3a 5且 a2. 变式 1、已知函数,则满足的取值范围是 A B C D 【答案】D 【解析】因为的定义域是 , , 故是奇函数, 又, 故递增, 若, 等价于, 故,解得,故选 D 第 13 页 / 共 18 页 变式2、 已知f(x)是定义在R上的函数, 且满足f(x2) 1 f(x),

29、当2x3时, f(x)x, 则f 11 2_ 【答案】 5 2 【解析】f(x2) 1 f(x),f(x4)f(x), f 11 2f 5 2,又 2x3 时,f(x)x, f 5 2 5 2,f 11 2 5 2. 变式 3、下列函数中,既是奇函数,又在区间 1 ,1上单调递增的是( ) A ( )2f xx B ( )2xf x C ( )tanf xx D( )cosf xx 【答案】AC 【解析】结合指数函数的性质可知,2xy 为非奇非偶函数,A不符合题意; cosyx 为偶函数,不符合题; 2yx 为奇函数且在 1 ,1上单调递增,符合题意; 结合正切函数的性质可知, tanyx 为

30、奇函数且在 1 ,1上单调递增 故选:AC 变式 4、(2018 南京、盐城、连云港二模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)x2x. 若 f(a)f(a)4,则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 (1,1) 【解析】解法 1(奇偶性的性质) 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 f(a)f(a)2 f(|a|)4,即 f(|a|)2, 即|a|2|a|2,(|a|2)(|a|1)0,解得1a1. 解法 2(奇偶性的定义) 当 x0 时,x0,又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以,f(x)f(x)(x)2 (x)x2x,故 f(x) x2x,x

31、0, x2x,x0. 当 a0 时,f(a)f(a)(a2a)(a)2(a)2a22a4,解得 0a1; 当 a0 时,f(a)f(a)(a2a)(a)2(a)2a22a4,解得1a0.综上,1a1. 方法总结: 1. 已知函数的奇偶性, 反求参数的取值, 有两种思路: 一种思路是根据定义, 由 f(x)f(x) 或 f(x)f(x)对定义域内的任意 x 恒成立,建立起关于参数的方程,解方程求出参数之值;另一种思路就 是从特殊入手,得出参数所满足条件,再验证其充分性得出结果 第 14 页 / 共 18 页 2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系,奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,

32、偶函数在 其关于原点对称的区间上单调性相反,掌握这一关系,对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题,有着极 大的帮助,要予以足够的重视 五、优化提升与真题演练 1、(2019 高考全国卷)设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x1)2f(x),且当 x(0,1时,f(x)x(x1),若 对任意 x(,m,都有 f(x) 8 9,则 m 的取值范围是( ) A. , 9 4 B. , 7 3 C. , 5 2 D. , 8 3 【答案】B 【解析】当1x0 时,0x11,则 f(x) 1 2f(x1) 1 2(x1)x;当 1x2 时,0x11,则 f(x)2f(x1) 2(x1)(x2);当

33、2x3 时,0x21,则 f(x)2f(x1)22f(x2)22(x2)(x3),由此可得 f(x) 1 2(x1)x,1x0, x(x1),0x1, 2(x1)(x2),1x2, 22(x2)(x3),2x3, 由此作出函数 f(x)的图象,如图所示由图可知当 2x3 时,令 22(x 2) (x3) 8 9,整理,得(3x7)(3x8)0,解得 x 7 3或 x 8 3,将这两个值标注在图中要使对任意 x (,m都有 f(x) 8 9,必有 m 7 3,即实数 m 的取值范围是 , 7 3,故选 B. 2、 (2018 全国卷)已知 f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足 f(1x)f(1

34、x).若 f(1)2,则 f(1)f(2) f(3)f(50)( ) A.50 B.0 C.2 D.50 第 15 页 / 共 18 页 【答案】C 【解析】 方法一: f(x)在 R 上是奇函数,且 f(1x)f(1x). f(x1)f(x1),即 f(x2)f(x). 因此 f(x4)f(x),则函数 f(x)是周期为 4 的函数, 由于 f(1x)f(1x),f(1)2, 故令 x1,得 f(0)f(2)0 令 x2,得 f(3)f(1)f(1)2, 令 x3,得 f(4)f(2)f(2)0, 故 f(1)f(2)f(3)f(4)20200, 所以 f(1)f(2)f(3)f(50)12

35、 0f(1)f(2)2. 方法二:取一个符合题意的函数 f(x)2sin x 2,则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN *)是以 4 为周期的 周期数列. 故 f(1)f(2)f(3)f(50)12 f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)12 20(2)0202. 3、(2018 全国卷)已知 f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2,则 f(1)f(2) f(3)f(50)( ) A50 B0 C2 D50 【答案】C 【解析】f(x)是奇函数, f(x)f(x), f(1x)f(x1) 由 f(1x)f(1x),得f(x1)f(x1), f(

36、x2)f(x), f(x4)f(x2)f(x), 函数 f(x)是周期为 4 的周期函数 由 f(x)为奇函数得 f(0)0. 又f(1x)f(1x), f(x)的图象关于直线 x1 对称, 第 16 页 / 共 18 页 f(2)f(0)0,f(2)0. 又 f(1)2,f(1)2, f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200, f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50) 0 12f(49)f(50) f(1)f(2)202. 4、 (2018 苏北四市期末) (B12,10. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x0 时, f(x)log2(2

37、x)(a1)xb(a, b 为常数)若 f(2)1,则 f(6)的值为_ 【答案】 4 【解析】由题意得 f(0)0,所以 log22b0,所以 b1,f(x)log2(2x)(a1)x1,又因为 f(2) 1,所以 log2(22)2(a1)11,解得 a0,f(x)log2(2x)x1,f(6)f(6)log2(26) 614. 5、(2017南通一调) (B05, 9. 若函数f(x) xxb, x0, axx2, x0 (a, bR)为奇函数, 则f(ab)的值为_ 【答案】 1 【解析】 思路分析 本题是一个分段函数的奇偶性问题,破解方法是运用赋值法或运用 f(x)f(x)0(x R

38、)求出参数 a,b 的值 解法 1 因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(1)f(1), f(2)f(2),即 11ba12, 22b2a22, 解得 a1,b2.经验证 a1,b2 满足题设条件, 所以 f(ab)f(1)1. 解法 2 因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)的图像关于原点对称, 当 x0,二次函数的图像顶点为 b 2, b2 4, 当 x0,二次函数的图像顶点为(1,a), 所以 b 21, b2 4a,解得 a1,b2, 经验证 a1,b2 满足题设条件, 所以 f(ab)f(1)1. 第 17 页 / 共 18 页 6、 .(2017 全国卷)已知函数 f(x)是定

39、义在 R 上的奇函数, 当 x(, 0)时, f(x)2x3x2, 则 f(2)_. 【答案】12 【解析】x(,0)时,f(x)2x3x2,且 f(x)在 R 上为奇函数, f(2)f(2)2 (2)3(2)212. 7、(2019 南京三模) (C16,10. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x0 时,f(x)2 x2,则不等式 f(x1)2 的解集是_ 【答案】 1,3 【解析】 思路分析 用函数的性质解不等式,比解具体不等式更快 偶函数 f(x)在0,)上单调递增,且 f(2)2. 所以 f(x1)2,即 f(|x1|)f(2),即|x1|2,所以1x3. 解后反思 对于偶

40、函数 f(x),均有 f(x)f(x)f(|x|) 8、(2018 扬州期末)已知函数 f(x)sinxx 14x 2x ,则关于 x 的不等式 f(1x2)f(5x7)0 的解集为 _ 【答案】. x|2x0,则有 f(x)0,所以 f(x)为 R 上的减函数,因此不等式 f(1x2)f(5x7)0,即 f(1x2)f(5x7),亦即 f(1x2)75x,解得 2x3,故不等式 f(1x2)f(5x7)0 的解集为x|2x3 9、 (2019 广东深圳中学模拟) 已知函数 f(x)对任意 xR 满足 f(x)f(x)0, f(x1)f(x1), 若当 x0, 1)时,f(x)axb(a0 且

41、 a1),且 f 3 2 1 2. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 g(x)f2(x)f(x)的值域 【解析】(1)因为 f(x)f(x)0, 所以 f(x)f(x),即 f(x)是奇函数 第 18 页 / 共 18 页 因为 f(x1)f(x1),所以 f(x2)f(x), 即函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, 所以 f(0)0,即 b1. 又 f 3 2f 1 2f 1 21 a 1 2, 解得 a 1 4. (2)当 x0,1)时,f(x)axb 1 4 x 1 3 4,0 , 由 f(x)为奇函数知, 当 x(1,0)时,f(x) 0, 3 4, 又因为 f(x)是周期为 2 的周期函数, 所以当 xR 时,f(x) 3 4, 3 4, 设 tf(x) 3 4, 3 4, 所以 g(x)f2(x)f(x)t2t t 1 2 2 1 4, 即 y t 1 2 2 1 4 1 4, 21 16. 故函数 g(x)f2(x)f(x)的值域为 1 4, 21 16.