1、 1 第第 1717 讲讲 多边形及四边形多边形及四边形 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 多边形的内角与外角】多边形的内角与外角】 1.内角和定理 n 边形的内角和为(n2)180 2.外角和定理 n 边形的外角和为 360 3.对角线过 n(n3)边形一个顶点可引(n3)条对角线，n 边形共有n（n3） 2 条对角线 4.正多边形的定义：在平面内，边相等，角也相等的多边形叫做正多边形 5.正多边形的性质(1)正 n 边形的每一个内角为（n2）180 n (2)正(2n1)边形是轴对称图形，对称轴有(2n1)条；正 2n 边形既是轴对称图形，又是中心对称图形， 对称轴有
2、 2n 条 【考点【考点 2 2 平行四边形的性质与判定】平行四边形的性质与判定】 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2.性质 (1)对边平行且相等 (2)对角相等 (3)对角线互相平分 (4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，O 为对称中心 3.判定 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【考点【考点 3 3 矩形的性质与判定】矩形的性质与判定】 1.定义：把有一个角是直角
3、的平行四边形叫做矩形 2.性质 (1) 对边平行且相等 (2) 四个内角都是直角 (3) 两条对角线相等且互相平分 (4) 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形 3.判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 (2)有三个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线相等的平行四边形是矩形 【考点【考点 4 4 菱形的性质与判定】菱形的性质与判定】 1.定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2性质 (1)菱形四条边都相等 (2)对角相等 (3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 (4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形 3.判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)四条
4、边相等的四边形是菱形 (3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【考点【考点 5 5 正方形的性质与判定】正方形的性质与判定】 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2性质 (1)四条边都相等 (2)四个角都是 90 (3)对角线互相垂直平分且相等 (4)对角线平分一组对角 (5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形 3.判定 (1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (2)有一个角是直角的_是正方形 (3)有一组邻边相等的矩形是正方形 (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 二、考点分析 【考点【考点 1 1 多边形的内角与外角】多边形的
5、内角与外角】 【解题技巧】 （1）多边形内角和定理： （n2） 180 （n3）且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n3）条对角线，将n边形分割为（n2）个三 角形，这（n2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和除此方法之和还有其他几种方法，但 这些方法的基本思想是一样的即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法 3 （2）多边形的外角和等于 360 度 多边形的外角和指每个顶点处取一个外角， 则n边形取n个外角， 无论边数是几， 其外角和永远为 360 借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和180n（n2） 180360 【例 1】 （2
6、019 北京中考）正十边形的外角和为（ ） A180 B360 C720 D1440 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 福建中考）已知正多边形的一个外角为 36，则该正多边形的边数为（ ） A12 B10 C8 D6 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 广东中考）一个多边形的内角和是 1080， 这个多边形的边数是_ 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 海南中考）如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧 所对的圆心角BOD的大小为_度 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 上海中考）如图，在正边形ABCDEF中，设 ， ，那么向量用向量 、
7、表示为_ 【考点【考点 2 2 平行四边形的性质与判定】平行四边形的性质与判定】 【解题技巧】1.平行四边形的判定与性质的作用： 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、 角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分 别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的 2.运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用 定义判定比用其他判定定理还简单 3.凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运
8、用平行四边形的性质 和判定去解决问题 4 【例 2】 （2019 海南中考）如图，在ABCD中，将ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E 处若B60，AB3，则ADE的周长为（ ） A12 B15 C18 D21 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 福建中考）在平面直角坐标系xOy中，OABC的三个顶点O（0，0） 、A（3，0） 、B （4，2） ，则其第四个顶点是_ 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 北京中考）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与 端点重合） ，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中， 存在无数个四边形MNPQ
9、是平行四边形； 存在无数个四边形MNPQ是矩形； 存在无数个四边形MNPQ是菱形； 至少存在一个四边形MNPQ是正方形 所有正确结论的序号是_ 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 吉林中考）如图，在扇形OAB中，AOB90D，E分别是半径OA，OB上的点， 以OD，OE为邻边的ODCE的顶点C在上 若OD8，OE6， 则阴影部分图形的面积是_ （结果保留） 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 江苏徐州中考）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重 合，点D落在点G处，折痕为EF求证： （1）ECBFCG； （2）EBCFGC 5 【考点【考点 3 3 矩形的性质
10、与判定】矩形的性质与判定】 【解题技巧】1.矩形的判定方法：先判定四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形有一个角为直角； 先判定四边形是平行四边形，再判定对角线相等；说明四边形有三个角是直角。 2.矩形经常和直角三角形等边三角形结合求一些线段间的的关系问题熟练掌握矩形的性质定理是解决问题 的关键，遇到直角三角形斜边上中点时常做的的辅助线是连接直角顶点与斜边中点。 【例 3】（2019台湾） 如图， 将一长方形纸片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片 根据图中标示长度与角度， 求梯形纸片中较短的底边长度为何？（ ） A4 B5 C6 D7 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 河南中考）如图，在
11、矩形ABCD中，AB1，BCa，点E在边BC上，且BEa连 接AE， 将ABE沿AE折叠， 若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上， 则a的值为_ 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 吉林中考）如图，在矩形ABCD中，AD4cm，AB3cm，E为边BC上一点，BEAB， 连接AE动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以 2cm/s的速度沿折 线ADDC向终点C运动设点Q运动的时间为x（s） ，在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围 6 成的图形面积为y（cm 2） （1）AE_cm，EAD_； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围
12、； （3）当PQcm时，直接写出x的值 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 江苏徐州中考） 【阅读理解】 用 10cm20cm的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为 20cm的图案已知长度为 10cm、20cm、30cm 的所有图案如下： 【尝试操作】 如图，将小方格的边长看作 10cm，请在方格纸中画出长度为 40cm的所有图案 【归纳发现】 观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整 7 图案的长度 10cm 20cm 30cm 40cm 50cm 60cm 所有不同图案的个数 1 2 3 _ _ _ 【举一反三举一反三 3-4】 （2019兰州）如图，矩形AB
13、CD，BAC60，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别 交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交 BC于点E，若BE1，则矩形ABCD的面积等于_ 【考点【考点 4 4 菱形的性质与判定】菱形的性质与判定】 【解题技巧】 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形不管原四边形的形状怎样改变， 中点四边形的形状始终是平行四边形 （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的 中点四边形定为菱形 ） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形
14、，特殊之处就 是“有一组邻边相等” ，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法 （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形 菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等菱形） ； 四条边都相等的四边形是菱形 几何语言：ABBCCDDA四边形ABCD是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形” ） 8 几何语言：ACBD，四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD是菱形 【例 4】 （2019呼和浩特）已知菱形的边长为 3，较短的一条对角线的长为 2，则该菱形较长的一条对角
15、线 的长为（ ） A2 B2 C4 D2 【举一反三举一反三 4-1】 （2019青海）如图，将图 1 中的菱形剪开得到图 2，图中共有 4 个菱形；将图 2 中的一个 菱形剪开得到图 3，图中共有 7 个菱形；如此剪下去，第 5 图中共有_个菱形，第n个图中共有 _个菱形 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 北京中考）把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三 角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为_ 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 浙江温州中考）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知AOBAOE 90， 菱形的较
16、短对角线长为 2cm 若点C落在AH的延长线上， 则ABE的周长为_cm 9 【举一反三举一反三 4-4】 （2019广西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AHBC于点H， 已知BO4，S菱形ABCD24，则AH_ 【考点【考点 5 5 正方形的性质与判定】正方形的性质与判定】 【解题技巧】正方形的判定方法： 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角 还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1 或 2 进行判定 【例 5】 （2019 安徽中考）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC12，
17、点P在正方 形的边上，则满足PE+PF9 的点P的个数是（ ） A0 B4 C6 D8 【举一反三举一反三 5-1】 （2019新疆）如图，正方形ABCD的边长为 2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是 CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AFDE，连接PN，则以下结论中：SABM4SFDM；PN ；tanEAF；PMNDPE，正确的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 5-2】 （2019 福建中考）如图，边长为 2 的正方形ABCD中心与半径为 2 的O的圆心重合，E、 F分别是AD、BA的延长与O的交点，则图中阴影部分的面积是 _ （结果保留） 10 【举一
18、反三举一反三 5-3】 （2019 江西中考） 我国古代数学名著 孙子算经 有估算方法： “方五， 邪 （通 “斜” ） 七 见 方求邪，七之，五而一 ”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七已知正方形的边长，求 对角线长，则先将边长乘以七再除以五若正方形的边长为 1，由勾股定理得对角线长为，依据孙子 算经的方法，则它的对角线的长是_ 【举一反三举一反三 5-4】 （2019青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落 在线段AE上的点G处，折痕为AF若AD4cm，则CF的长为_cm 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019青海）如
19、图，小莉从A点出发，沿直线前进 10 米后左转 20，再沿直线前进 10 米，又向左转 20，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（ ） A150 米 B160 米 C180 米 D200 米 2.（2018河北中考）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向 外等距扩 1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ） A4cm B8cm C （a+4）cm D （a+8）cm 11 3.（2019威海）如图，E是ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F添加以下条件， 不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
20、 AABDDCE BDFCF CAEBBCD DAECCBD 4.（2019广州）如图，ABCD中，AB2，AD4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO， BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（ ） AEHHG B四边形EFGH是平行四边形 CACBD DABO的面积是EFO的面积的 2 倍 5.（2019台湾）如图，将一张面积为 14 的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边 形纸片根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（ ） A B C D 6.（2019 河北唐山中考模拟）如图，四边形ABCD中，ABCD，ADBC，AB3，DC，对角线A
21、C BD，ACBD，平行于BD的直线MN、RQ分别以 1 个单位/秒、2 个单位/秒的速度同时从点A出发沿AC方向 向点C匀速平移，分别交四边形ABCD的边于M、N和R、Q，交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时两 直线同时停止运动记四边形ABCD被直线MN扫过的面积为S1，被直线RQ扫过的面积为S2若S2mS1，则 m的最小值（ ） 12 A5 B4.8 C3 D3.5 7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEF是等边三角形，连 接AC交EF于点G，下列结论：CECF，AEB75，AG2GC，BE+DFEF，SCEF2SABE，其 中结论
22、正确的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 8.（2019 山东济南中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB，AD3，点E从点B出发，沿BC边运动到 点C，连结DE，点E作DE的垂线交AB于点F在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边 EFG，则边EG的中点H所经过的路径长是（ ） A2 B3 C D （二）（二）填空题填空题 1.（2019 江苏徐州中考）如图，A、B、C、D为一个外角为 40的正多边形的顶点若O为正多边形的中 心，则OAD_ 13 2.（2019 云南中考）在平行四边形ABCD中，A30，AD4，BD4，则平行四边形ABCD的面积等 于_ 3.（201
23、9济南）一个n边形的内角和等于 720，则n_ 4.（2019沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若ADBC2， 则四边形EGFH的周长是_ 5.（2019沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AECF，DFBE，且DFBE， 过点C作CGAB交AB的延长线于点G （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若 tanCAB，CBG45，BC4，则ABCD的面积是_ 6.（2019广西）如图，AB与CD相交于点O，ABCD，AOC60，ACD+ABD210，则线段AB，AC， BD之间的等量关系式为_ 7.（2019
24、武汉）如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AEEFCD，ADF90，BCD63， 则ADE的大小为_ 8.（2019 河北沧州中考模拟）如图，在菱形ABCD中，tanA，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不 与端点重合） ，且AEDF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，给出如下几个结论： （1） 14 AEDDFB； （2）CG与BD一定不垂直； （3）BGE的大小为定值； （4）S四边形BCDGCG 2；其中正确结 论的序号为_ （三）（三）解答题解答题 1.（2019 海南中考）如图，在边长为 1 的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点
25、A、 D不重合） ，射线PE与BC的延长线交于点Q （1）求证：PDEQCE； （2）过点E作EFBC交PB于点F，连结AF，当PBPQ时， 求证：四边形AFEP是平行四边形； 请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由 2. （2019 湖北孝感中考） 如图 1， 在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线yax 22ax8a 与x轴相交于A、 B两点（点A在点B的左侧） ，与y轴交于点C（0，4） （1）点A的坐标为_，点B的坐标为_，线段AC的长为_，抛 物线的解析式为_ （2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点 如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形求点Q
26、的坐标 15 如图 2，过点P作PECA交线段BC于点E，过点P作直线xt交BC于点F，交x轴于点G，记PEf， 求f关于t的函数解析式；当t取m和 4m（0m2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小 3.（2019 云南中考）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AOOC，BOOD，且AOB2 OAD （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AOB：ODC4：3，求ADO的度数 4.（2019 浙江杭州中考）如图，已知正方形ABCD的边长为 1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上， 点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1S2 1
27、6 （1）求线段CE的长； （2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HDHG 5.（2019 陕西中考）问题提出： （1）如图 1，已知ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个 平行四边形； 问题探究： （2）如图 2，在矩形ABCD中，AB4，BC10，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC，且使BPC 90，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决： （3）如图 3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景 区BCDE根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为 50 米，CBE120，那么，是否可以
28、 建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以， 求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积； 若不可以，请说明理由 （塔A的占地面积忽略不计） 17 6.（2019 重庆中考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EMAE，垂足为E，交CD 于点M，AFBC，垂足为F，BHAE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP （1）若DP2AP4，CP，CD5，求ACD的面积 （2）若AEBN，ANCE，求证：ADCM+2CE 7.（2019济南）如图，在ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，DAFBCE求证：BFDE 18 8.（2019日照）如图，在
29、矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AGCH，直线GH 绕点O逆时针旋转角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合） （1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若90，AB9，AD3，求AE的长 9.（2019沈阳）在平面直角坐标系中，直线ykx+4（k0）交x轴于点A（8，0） ，交y轴于点B （1）k的值是_； （2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上 如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求OCED的周长； 当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若CDE的面积为，请直接写出点C的坐标 19
30、 10.（2019长春）如图，在 RtABC中，C90，AC20，BC15点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒 5 个单位长度，点P到达终点时，P、Q 同时停止运动 当点P不与点A、C重合时， 过点P作PNAB于点N， 连结PQ， 以PN、PQ为邻边作PQMN 设 PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒 （1）AB的长为_； PN的长用含t的代数式表示为_ （2）当PQMN为矩形时，求t的值； （3）当PQMN与ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式； （4）当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时，直接写出t的值
