1、 1 第 17 讲 锐角三角形与解直角三角形 【考点导引】 1.理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30 ，45 ，60 )的三角函数值，并会进行计算 2掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形 3利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题. 【难点突破】 1. 在直角三角形中，由于 sinA= 斜边 的对边A ；cosA= 斜边 的邻边A ； tanA= 的邻边 的对边 A A ，若已知直角三角形两边的长，可根据勾股定理求出第三边，再利用这个关系可求出该 直角三角形任意一个锐角的正弦、余弦和正切；若已知一锐角的三角函数值与一边长，可根据锐角三角函 数定义、勾股定理、设“K”求该直角三角形
2、的其余两边 2. 利用三角函数解决实际问题的步骤是： (1) 审题，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为数学问 题(2)认真答案题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题，对于非基本的题型可通过解方程(组)来转 化为基本类型，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩 形(3) 根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形(4)按照题目中已知数的精确度进行 近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位对非直角三角形 的求解，可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形解决，这种方法
3、叫“化斜为直”法通常以特殊角为一锐 角，构造直角三角形若条件中含有线段的比或锐角三角函数值，也可以设未知数，列方程求解 【解题策略】 (1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角 函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理若原题没有图形，可以画出 示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解 (2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为 直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某 一种情况
4、【典例精析】 2 类型一：锐角三角函数的定义 【例 1】 （2019浙江金华3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，已知 AB=m，BAC=，则下列 结论错误的是（ ） A. BDC= B. BC=m tan C. AO= D. BD= 【答案】 C 【解析】解：A.矩形 ABCD， AB=DC，ABC=DCB=90 ，又BC=CB， ABCDCB（SAS） ，BDC=BAC=， 故正确，A 不符合题意； B.矩形 ABCD，ABC=90 ，在 RtABC 中， BAC=，AB=m，tan= ，BC=ABtan=mtan，故正确，B 不符合题意； C.矩形 ABCD，ABC=90 ，
5、在 RtABC 中，BAC=，AB=m， cos= ，AC= = ，AO= AC= 故错误，C 符合题意； D.矩形 ABCD，AC=BD，由 C 知 AC= = ，BD=AC= ， 故正确，D 不符合题意； 故答案为：C. 类型二：特殊角的三角函数值 【例 2】 （2019湖南怀化4 分）已知 为锐角，且 sin，则（ ） A30 B45 C60 D90 【答案】根据特殊角的三角函数值解答 【解答】解： 为锐角，且 sin， 30 故选：A 类型三：解直角三角形 【例 3】 （2019山东省德州市 4 分）如图，一架长为 6 米的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时测得 3 ABO7
6、0 ，如果梯子的底端 B 外移到 D，则梯子顶端 A 下移到 C，这时又测得CDO50 ，那么 AC 的长度约为 1.02 米 （sin700.94，sin500.77，cos700.34，cos500.64） 【答案】1.02 【解答】解：由题意可得： ABO70 ，AB6m， sin70 AO AB 6 AO 0.94， 解得：AO5.64（m） ， CDO50 ，DC6m， sin50 6 CO 0.77， 解得：CO4.62（m） ， 则 AC5.644.621.02（m） ， 答：AC 的长度约为 1.02 米 故答案为：1.02 类型四：解直角三角形在实际中的应用 【例 4】 （2
7、019江苏宿迁10 分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌 共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中 AB、CD 都与地面 l 平行，车轮半径为 32cm， BCD64 ，BC60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15cm （1）求坐垫 E 到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒适小明的腿长约为 80cm， 现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E，求 EE的长 （ 结 果 精 确 到0.1cm ， 参 考 数 据 ： sin640.90 ， cos640.44 ， tan642.05
8、） 4 【答案】 （1）99.5cm； （2）3.9cm 【解答】解： （1）如图 1，过点 E 作 EMCD 于点 M， 由题意知BCM64 、ECBC+BE60+1575cm， EMECsinBCM75sin6467.5（cm） ， 则单车车座 E 到地面的高度为 67.5+3299.5（cm） ； （2）如图 2 所示，过点 E作 EHCD 于点 H， 由题意知 EH80 0.864， 则 EC sin E H ECH 64 sin64 71，1， EECECE7571.13.9（cm） 【真题检测】 1. （2019山东威海3 分）如图，一个人从山脚下的 A 点出发，沿山坡小路 AB
9、走到山顶 B 点已知坡角 5 为 20 ，山高 BC2 千米用科学计算器计算小路 AB 的长度，下列按键顺序正确的是（ ） A B C D 【答案】A 【解答】解：在ABC 中，sinAsin20 BC AB ， AB sin20 BC 2 sin20 ， 按键顺序为：2 sin20 故选：A 2. 2019 湖北宜昌 3 分）如图，在 5 4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在这 些小正方形的顶点上，则 sinBAC 的值为（ ） A 4 3 B 3 4 C 3 5 D 4 5 【答案】D 【解答】解：如图，过 C 作 CDAB 于 D，则ADC90 ， AC 2
10、2 ADCD 22 345 sinBAC 4 5 故选：D 6 3. （2019广东省广州市3 分）如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m，斜坡的倾斜角是 BAC，若 tanBAC 2 5 ，则此斜坡的水平距离 AC 为（ ） A75m B50m C30m D12m 【答案】A 【解答】解：BCA90 ，tanBAC 2 5 ，BC30m， tanBAC 2 5 = BC AC = 30 AC ， 解得，AC75， 故选：A 4. （2019浙江衢州4 分）如图，人字梯 AB，AC 的长都为 2 米。当 a=50 时，人字梯顶端高地面的高度 AD 是_米（结果精确到 0
11、.1m。参考依据：sin500.77，cos500.64，tan501.19） 【答案】 1.5 【解析】【解答】解：在 RtADC 中， AC=2，ACD=50 ， sin50 = ， AD=ACsin50=20.771.5. 故答案为：1.5. 5. （2 019 江苏盐城 3 分）如图，在ABC 中，BC 26 ，C45 ，AB 2 AC，则 AC 的长为 7 _. 【答案】2 【解析】过 A 作 ADBC 于 D 点，设 AC=x2，则 AB=x2 ，因为C=45 ，所以 AD=AC=x，则由勾股 定理得 BD=xADAB3 22 ，因为 AB=26 ，所以 AB= 263 xx,则
12、x=2.则 AC=2. 6. （2019甘肃3 分）在ABC 中C90 ，tanA，则 cosB 【答案】 【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解 在 RtABC 中，C90 ，tanA， 设 ax，b3x，则 c2x， cosB 故答案为： 7. （2019湖南衡阳3 分）已知圆的半径是 6，则圆内接正三角形的边长是 63 【答案】63 【解答】解：如图，圆半径为 6，求 AB 长 AOB360 3120 连接 OA，OB，作 OCAB 于点 C， OAOB， AB2AC，AOC60 ， ACOA sin60 6 3 2 33， AB2AC63， 故答案为：63 8 8. （2019浙
13、江湖州4 分）有一种落地晾衣架如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整 晾衣杆的高度图 2 是支撑杆的平面示意图，AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角BOD若 AO85cm，BODO65cm问：当 74 时，较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为 120 cm （参 考数据：sin370.6，cos370.8，sin530.8，cos530.6 ） 【答案】120 【解答】解：过 O 作 OEBD，过 A 作 AFBD，可得 OEAF， BODO， OE 平分BOD， BOE 1 2 BOD 1 2 74 37 ， FABBOE37 ， 在 RtABF 中，
14、AB85+65150cm， hAFABcosFAB150 0.8120cm， 故答案为：120 9 9.（2019浙江金华6 分）计算：|-3|-2tan60 + +( )-1 【答案】6 【解析】 解：原式=3-2 +2 +3=6. 10. （2019 湖南益阳 8 分）计算：4sin60 +（2019）0（ 1 2 ） 1+|2 3| 【答案】431 【解答】解：原式4 3 2 +12+23431 11. （2019湖北十堰7 分）如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD3m，坝高 AEDF6m，坡角 45 ，30 ，求 BC 的长 【答案】BC 的长（9+63）m 【解答】解：过 A
15、点作 AEBC 于点 E，过 D 作 DFBC 于点 F， 则四边形 AEFD 是矩形，有 AEDF6，ADEF3， 坡角 45 ，30 ， BEAE6，CF3DF63， BCBE+EF+CF6+3+639+63， BC（9+63）m， 10 答：BC 的长（9+63）m 12. （2019甘肃省庆阳市8 分）图是放置在水平面上的台灯，图是其侧面示意图（台灯底座高度忽略 不计） ，其中灯臂 AC40cm，灯罩 CD30cm，灯臂与底座构成的CAB60 CD 可以绕点 C 上下调节 一定的角度使用发现：当 CD 与水平线所成的角为 30 时，台灯光线最佳现测得点 D 到桌面的距离为 49.6cm请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：3取 1.73） 【答案】最佳 【解答】解：如图，作 CEAB 于 E，DHAB 于 H，CFDH 于 F CEHCFHFHE90 ， 四边形 CEHF 是矩形， CEFH， 在 RtACE 中，AC40cm，A60 ， CEACsin6034.6（cm） ， FHCE34.6（cm） DH49.6cm， DFDHFH49.634.615（cm） ， 在 RtCDF 中，sinDCF DF CD 15 30 1 2 ， DCF30 ， 11 此时台灯光线为最佳
