1、 第 1 页 / 共 13 页 第第 31 讲：平面向量的数量积讲：平面向量的数量积 一、课程标准 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图所示，作 OA a， OBb，则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角，记作
2、a，b (2)范围：夹角 的范围是0， 当 0 时，两向量 a，b 共线且同向； 当 2时，两向量 a，b 相互垂直，记作 ab； 当 时，两向量 a，b 共线但反向 2平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b， 我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)， 记作a b， 即a b|a|b| cos ，其中 是 a 与 b 的夹角 规定：零向量与任一向量的数量积为零 3平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设 是 a，b 的夹角，则|b|cos 叫做向量 b 在向量 a 的方向上的投影，|a|cos 叫做向量 a 在向量 b 的 方向上的投影 (2
3、)a b 的几何意义 第 2 页 / 共 13 页 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 4向量数量积的运算律 (1)交换律：a bb a. (2)数乘结合律：(a) b(a b)a (b) (3)分配律：(ab) ca cb c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a b) c 不一定等于 a (b c)，这 是由于(a b) c 表示一个与 c 共线的向量，a (b c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线 5平面向量数量积的性质 设 a，b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量， 是 a 与 e 的夹角，则
4、(1)e aa e|a|cos . (2)aba b0. (3)当 a 与 b 同向时，a b|a|b|；当 a 与 b 反向时，a b|a|b|. 特别地，a a|a|2或|a| a a. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. 6平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 为 a 与 b 的夹角，则 (1)|a| x21y21； (2)a bx1x2y1y2； (3)abx1x2y1y20;_ (4)cos x1x2y1y2 x21y21 x22y22. 三、自主热身、归纳总结 1、已知直角坐标平面内，OA (1，8)，OB (
5、4，1)，OC (1，3)，则ABC 是_( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 BC (5，2)，AC (2，5)，| | BC | AC 29且AC BC 0，BCAC 且 BCAC， ABC 是等腰直角三角形故选 D. 2、已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin 17 3 ，则 b (2ab)等于( ) A.2 B.1 C.6 D.18 第 3 页 / 共 13 页 【答案】 D 【解析】由题意知 cosa，bsin 17 3 sin 6 3 sin 3 3 2 ， 所以 a b
6、|a|b|cosa，b1 2 3 3 2 3， b (2ab)2a bb218. 3、已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c 满足(ac)b，c(ab)，则 c( ) A. 7 9， 7 3 B 7 3， 7 9 C. 7 3， 7 9 D. 7 9， 7 3 【答案】 D 【解析】设 c(m，n)， 则 ac(1m,2n)，ab(3，1)， 因为(ac)b，则有3(1m)2(2n)， 即 3m2n7，又 c(ab)，则有 3mn0， 联立 3m2n7， 3mn0. 解得 m7 9， n7 3. 所以 c 7 9， 7 3 . 4、(2019 贵州省适应性考试)如图，在直角梯形 ABC
7、D 中，AB4，CD2，ABCD，ABAD，E 是 BC 的中点，则 AB ( AC AE)( ) A8 B12 C16 D20 【答案】 D 【解析】法一：设 AB a， ADb，则 a b0，a216， AC AD DCb1 2a， AE 1 2( AC AB) 1 2 b1 2aa 3 4a 1 2b，所以 AB ( AC AE)a b1 2a 3 4a 1 2b a 5 4a 3 2b 5 4a 23 2a b 5 4a 220， 第 4 页 / 共 13 页 故选 D. 法二：以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设 ADt(t0)，则 B(4,0)，C(2，t)，E 3
8、，1 2t ， 所以 AB ( AC AE)(4,0) 2，t 3，1 2t (4,0) 5，3 2t 20，故选 D. 6、在ABCD 中，|AB |8，|AD |6，N 为 DC 的中点，BM 2MC ，则AM NM 等于( ) A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 AM NM (AB BM ) (NC CM ) AB 2 3AD 1 2AB 1 3AD 1 2AB 22 9AD 21 2 8 22 9 6 224. 7、已知两个单位向量 a，b 满足|ab| 3|b|，则 a 与 b 的夹角为_ 【答案】 3 【解析】设 a 与 b 的夹角为 ，a，b 是
9、单位向量，|ab| 3|b|，|ab|2( 3)2，a2b22a b3， 2cos 1，即 cos 1 2，又 0， 3. 8、已知|a|4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120 . (1)计算：|ab|，|4a2b|； (2)当 k 为何值时，(a2b)(kab) 【解析】由已知得，a b4 8 1 2 16. (1)|ab|2a22a bb2162 (16)6448，|ab|4 3. |4a2b|216a216a b4b216 1616 (16)4 64768，|4a2b|16 3. (2)(a2b)(kab)，(a2b) (kab)0， ka2(2k1)a b2b20， 即 16k16
10、(2k1)2 640，k7. 当 k7 时，(a2b)(kab) 四、例题选讲 考点一 平面向量的数量积的运算 例 1、(1)已知非零向量 a，b 满足 a b0，|a|3，且 a 与 ab 的夹角为 4，则|b|( ) 第 5 页 / 共 13 页 A6 B3 2 C2 2 D3 (2)已知向量 a，b 为单位向量，且 a b1 2，向量 c 与 ab 共线，则|ac|的最小值为( ) A1 B1 2 C.3 4 D. 3 2 【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)a b0，|a|3，a (ab)a2a b|a|ab|cos 4，|ab|3 2，将|ab|3 2两边平 方可得，a22
11、a bb218，解得|b|3，故选 D. (2)向量 c 与 ab 共线，可设 ct(ab)(tR)， ac(t1)atb， (ac)2(t1)2a22t(t1) a bt2b2， 向量 a， b 为单位向量， 且 a b1 2， (ac)2(t1)2t(t1)t2t2t13 4， |ac| 3 2 ，|ac|的最小值为 3 2 ，故选 D. 变式 1、 （2020 届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b满足3a ，2b ，4ab，则ab _. 【答案】10 【解析】 由已知：3a ，2b ，4ab， 所以 2 2 4ab， 展开得到 22 216aa bb ， 所以23a b， 所以 2
12、 22 210abaa bb ， 所以 10ab ； 故答案为：10 变式 2、 如图， 在平行四边形 ABCD 中， E 为 DC 的中点， AE 与 BD 交于点 M， AB 2， AD1， 且MA MB 1 6，则AB AD _. 第 6 页 / 共 13 页 【答案】3 4 【解析】 AM 2 3AE 2 3(AD 1 2AB ) 2 3AD AB ，MB 2 3DB 2 3(AB AD ), AM MB (2 3AD 1 3AB ) 2 3(AB AD )1 6，AB AD 3 4. 变式 3、 在ABC 中，已知 AB1，AC2，A60 ，若点 P 满足AP AB AC ，且BP
13、CP1，则实 数 的值为 【答案】1 或1 4 【解析】 AP AB AC BP APAB AC ，BP CPAC (AP AC )AC AP AC2(1) AC 2AB AC 4(1)1，故 1 或1 4. 方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a| a a及(a b)2|a|2 2a b|b|2，把向量的模的运算转 化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义. 2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求 解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解. 考点二、 平面向量的夹角问
14、题 例 2、 （2020 届山东省德州市高三上期末）已知向量a，b满足1a ，2b ， 313abab ， 则a与b的夹角为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】C 【解析】 22 32313ababaa bb ，即2 1113a b ，得 1a b ， 则 1 cos 2 a b a b ，0Q， 2 3 . 故选：C. 变式 1、(2019 湖北恩施 2 月质检)已知平面向量 a，b 满足(a2b)(3ab)，且|a|1 2|b|，则向量 a 与 b 的 夹角为( ) 第 7 页 / 共 13 页 A. 3 B 2 C.2 3 D.3 4 【答案】C 【解析】设 a 与
15、b 的夹角为 . 因为|a|1 2|b|，所以|b|2|a|. 因为(a2b)(3ab)，所以(a2b) (3ab)3a25a b2b23|a|25|a|b|cos 2|b|23|a|2 5|a| 2|a|cos 2(2|a|)25|a|210|a|2cos 0，解得 cos 1 2.又 0，所以 2 3 .故选 C. 变式 2、(1)已知向量 a 与 b 的夹角为 30 ，且|a|1，|2ab|1，则|b|_ . (2)2017 山东高考已知 e1，e2是互相垂直的单位向量，若 3e1e2与 e1e2的夹角为 60 ，则实数 的值是_. 【答案】 （1） 3. （2） 3 3 【解析】 (1
16、) |2ab|1，|2ab|24a24a bb21，44|b|cos 30 b21，整理得|b|22 3|b| 3(|b| 3)20，解得|b| 3. (2)( 3e1e2) (e1e2) 3e21 3e1 e2e1 e2e22 3，| 3e1e2| （ 3e1e2）23e212 3e1 e2e222， |e1e2| （e1e2）2 e212e1 e22e22 12， 32 12 cos60 12，解得： 3 3 . 变式 3、 （2019 春泉州期末）ABC中，ABc，BCa，CAb，在下列命题中，是真命题的有( ) A若0a b ，则ABC为锐角三角形 B若0a b 则ABC为直角三角形
17、C若a bc b，则ABC为等腰三角形 D若() ()0acbabc，则ABC为直角三角形 【答案】BCD 【解析】如图所示，ABC中，ABc，BCa，CAb， 第 8 页 / 共 13 页 若0a b ，则BCA是钝角，ABC是钝角三角形，A错误； 若0a b ，则BCCA，ABC为直角三角形，B正确； 若a bc b，()0b ac，()0CA BCAB， ()0CA BCBA，取AC中点D，则CA BD，所以BABC，即ABC为等腰三角形，C正确， 若() ()0acbabc，则 22 ()acb，即 222 2bcab c，即 222 cos 2| bca A b c ， 由余弦定理可
18、得：coscosAA ，即cos0A ，即 2 A ，即ABC为直角三角形，即D正确， 综合可得： 真命题的有BCD， 变式 4、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,327,abab且则向量a与向量b 夹角的大小是_. 【答案】 6 【解析】 由27ab得 22 3 |44|71 44 37 2 aa bba ba b 3 3 2 cos,. 2613 a ba b 变式 5、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a、b,满足ab,2abb,则a与b的 夹角为_. 【答案】120 【解析】设a与b的夹角为，由题意ab,2abb,， 第 9 页 / 共 13
19、页 可得 2 (2)2cos0abba bb，所以 1 cos 2 ， 再由0180可得，120， 故答案是120. 方法总结：求向量的夹角，有两种方法： (1)定义法：当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角 ，需求出 a b 及|a|，|b|或得出它们之间的关系， 由 cos a b |a|b|求得 (2)公式法：若已知 a(x1，y1)与 b(x2，y2)，则 cosa，b x1x2y1y2 x21y21 x22y22， a，b0， 考点三、平面向量中的垂直 例 1、(1)已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 ( ) A4 B3 C2 D1 (2)已知向
20、量 AB 与 AC的夹角为 120 ，且| AB|3，| AC|2.若 AP AB AC，且 AP BC，则 实数 的值为_ 【答案】 (1)B (2) 7 12 【解析】(1)(mn)(mn)，(mn) (mn)m2n2(1)21(2)240，解得 3.故选 B. (2)由 AP BC，知 APBC0，即 APBC( AB AC) ( AC AB)(1) ABAC AB2 AC 2(1) 3 2 1 2 940，解得 7 12. 变式 1、 （2019 秋南通期末）在ABC中，(2,3)AB ，(1, )ACk，若ABC是直角三角形，则k的值可以 是() A1 B 11 3 C 313 2
21、D 313 2 【答案】BCD 【解析】ABC中，(2,3)AB ，(1, )ACk， 当90A时，0AB AC ， 第 10 页 / 共 13 页 即2 130k ，解得 2 3 k ； 当90B时，( 1,3)BCACABk ，且0AB BC ； 即2 ( 1)3 (3)0k ，解得 11 3 k ； 当90C时，0AC BC ， 即1(3)0k k ，整理得 2 310kk ，解得 313 2 k 或 313 2 k ； 综上知，k的取值为 2 3 或 11 3 或 313 2 变式 2、(2019 黑龙江省齐齐哈尔市一中模拟)已知向量| OA |3，| OB|2，OCm OAn OB，
22、若 OA与 OB 的夹角为 60 ，且 OC AB，则实数m n的值为( ) A.1 6 B.1 4 C6 D4 【答案】A 【解析】向量| OA |3，| OB|2，OCm OAn OB，OA与 OB的夹角为 60 ， OAOB3 2 cos 60 3， AB OC( OB OA) (m OAn OB) (mn) OA OBm| OA|2n | OB|2 3(mn)9m4n6mn0， m n 1 6，故选 A. 变式 3、2018 连云港期中已知向量 a(1，2sin)，b(sin( 3)，1)，R. (1)若 ab，求 tan 的值； (2)若 ab，且 (0， 2)，求 的值 【解】 (
23、1)依题意，得：a b0，即 sin( 3)2sin0，展开，得： sincos 3cossin 32sin0， 第 11 页 / 共 13 页 化简，得：5 2sin 3 2 cos0，解得：tan 3 5 (2)ab，2sinsin( 3)1，展开得： 2sin(sincos 3cossin 3)1， 即：2sin22 3sincos2， 即：1cos2 3sin22， 化为：sin(2 6) 1 2，(0， 2)，2 6 ( 6， 5 6 )，2 6 6，解得： 6. 方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹
24、角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运 算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可。 (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】B 【解析】 因为()abb， 所以 2 () ab ba bb=0， 所以 2 a bb， 所以cos= 2 2 |1 2|2 a bb abb ， 所以a 与 b 的夹角为 3 ，故选 B 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向
25、量的摸，在利用向量夹角公式求出夹 角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 2、 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB BC = A3 B2 C2 D3 第 12 页 / 共 13 页 【答案】C 【 解 析 】 由(1,3)BCACABt， 22 1(3)1BCt， 得3t ， 则(1, 0 )BC ， (2,3) (1,0)2 1 3 02AB BC 故选 C 3、 【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量a，b满足| |1a ，1 a b，则 (2)aab A4 B3 C2 D0 【答案】B 【解析】因为 22 222
26、|12 13 aabaa ba,所以选 B. 4、 【2018 年高考浙江卷】已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 3 ，向量 b 满足 b24e b+3=0，则|ab|的最小值是 A31 B3+1 C2 D2 3 【答案】A 【解析】设 = (,), = (1,0), = (,)，则由 , = 3得 = | | | |cos 3 , = 1 2 2+ 2, = 3， 由 b24e b+3=0 得2+ 2 4 + 3 = 0,( 2)2+ 2= 1,因此|ab|的最小值为圆心(2,0)到直线 = 3的距离 2 3 = 3 2 减去半径 1，为3 1.选
27、A. 5、 【2018 年高考天津卷理数】如图，在平面四边形 ABCD 中，,120 ,ABBC ADCDBAD 1,ABAD若点 E为边 CD上的动点，则AE BE的最小值为 A 21 16 B 3 2 第 13 页 / 共 13 页 C 25 16 D3 【答案】A 【解析】 连接 AD,取 AD 中点为 O,可知 ABD 为等腰三角形， 而 ,ABBC ADCD ， 所以 BCD 为 等边三角形， 3BD . 设 01DEtDCt AE BE 223 2 ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE = 2 33 3 22 tt 01t 所以当 1 4 t 时，上式取最大值 21 16 ，故选 A. 6、 （2019 春济南期末）对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是( ) A若/ /ab且/ /bc，则/ /ac B()ab ca cb c C若a ba c，且0a ，则bc D()(a b ca b)c 【答案】ACD 【解析】解：/ /ab且/ /bc，当b为零向量时，则a与c不一定共线，即A错误， 由向量乘法的分配律可得：()ab ca cb c，即B正确， 因为a ba c，则()0a bc，又0a ，则bc或()abc，即C错误， 取, ,a b c为非零向量，且a与b垂直，b与c不垂直，则()0a b c ，()0a b c ，即D错误，
