1、 第 1 页 / 共 15 页 第第 29 讲：平面向量的概念与线性运算讲：平面向量的概念与线性运算 一、课程标准 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示 2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义 3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 向量的有关概念 (1)零向量：长度为 0 的向量叫零向量，其方向是不确定的 (2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我们规定零向量与任一向量平行 (3)单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量 (4)相
2、等向量：长度相等且方向相同的向量 (5)相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量叫做 a 的相反向量 2. 向量的线性运算 (1)向量加法满足交换律 abba，结合律(ab)ca(bc) 向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则 (2)向量的数乘：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下： |a|a|； 当 0 时，a 与 a 方向相同； 当 | |b ab； C. ab| | a | |b ； D. | |a 0a0 【答案】A 【解析】 项向量相等除了模相等还要求方向相同；B 项向量不能比大小；C 项正确；D 项 a0.故选 C. 方法总结：向量有关概念的
3、关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线 考点 2 向量的线性运算 例 1、(1)(2019 安徽合肥二模)在ABC 中， BD 1 3 BC ，若 ABa， ACb，则 AD( ) A.2 3a 1 3b B1 3a 2 3b C.1 3a 2 3b D.2 3a 1 3b (2)(一题多解)(2020 广东一模)已知A， B， C三点不共线， 且点O满足16 OA 12 OB3 OC0， 则(
4、 ) A. OA 12 AB3 AC B OA 12 AB3 AC C. OA 12 AB3 AC D. OA 12 AB3 AC 【答案】(1)A (2)A 【解析】 (1) AB a， ACb， BD1 3 BC ， 第 6 页 / 共 15 页 AD AB1 3( AC AB)， AD 2 3 AB 1 3 AC 2 3a 1 3b.故选 A. (2)法一： 对于 A. OA 12 AB3 AC12( OB OA)3( OC OA)12 OB3 OC15 OA， 整理， 可得 16 OA 12 OB3 OC0，这与题干中条件相符合，故选 A. 法二：已知 A，B，C 三点不共线，且点 O
5、 满足 16 OA 12 OB3 OC0，所以 16 OA12 OB0， 所以 OA 12 AB3 AC，故选 A. 变式 1、 （山西平遥中学 2019 届期末）在ABC 中， AB c，ACb，若点 D 满足 BD2 DC，则 AD等 于( ) A.2 3b 1 3c B.5 3c 2 3b C.2 3b 1 3c D1 3b 2 3c 【答案】A 【解析】 BD 2 DC， AD AB BD2 DC2( AC AD)， 3 AD 2 AC AB， AD 2 3 AC 1 3 AB 2 3b 1 3c. 变式 2、 (2019 衡水中学五调)如图所示， 在正方形 ABCD 中， E 为 B
6、C 的中点， F 为 AE 的中点， 则DF ( ) A. 1 2AB 3 4AD B .1 2AB 2 3AD C1 3AB 1 2AD D .1 2AB 3 4AD 【答案】D 【解析】DF AF AD ，AE ABBE. 第 7 页 / 共 15 页 E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中点， AF 1 2AE ，BE1 2BC ， DF AF AD 1 2AE AD 1 2(AB BE)AD 1 2AB 1 4BC AD ， 又BC AD ，DF 1 2AB 3 4AD .故选 D. 变式 3、(1)如图(1)所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，A
7、B a，AC b，则 AD (用 a，b 表示) 图(1) 图(2) (2)如图(2)，D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则AD BE CF_. 【答案】 （1）b1 2a.（2）0 【解析】 (1)连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且CD 1 2AB 1 2a，AD AC CD b1 2a. (2)由题意知： AD FE ，BEDF ，CF ED ，而FE ED DF 0，AD BE CF0. 变式 4、 （2019 无锡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是( ) AAB ADAC BACCDDOOA CABACCDAD D
8、0ACBADA 【答案】BC 第 8 页 / 共 15 页 【解析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，ABADAC，A正确； ACCDDOAO，B错误； ABACCDABADAC，C错误；0ACBADABCDA，D正确 故选：BC 变式 5、（2019 宿迁期末） 如图所示， 四边形ABCD为梯形， 其中/ /ABCD，2ABCD，M，N分别为AB， CD的中点，则下列结论正确的是( ) A 1 2 ACADAB B 11 22 MCACBC C 1 4 MNADAB D 1 2 BCADAB 【答案】ABD 【解析】因为四边形ABCD为梯形，其中/ /ABCD，2ABCD，M
9、，N分别为AB，CD的中点， 1 2 ACADDCADAB；A对 CM为ACB的中线； 11 22 CMCACB 11 22 MCACBC；B对 11 22 BCACABADABABADAB；的、D对 111111111 ()() 222222244 MNMCCNACBCDCADABADABABADAB；C错； 方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平 行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 考点 3 共线定理的应用 例 3、如图，在ABO 中，OC 1 4OA ，OD 1 2OB ，AD 与 BC 相交于点 M，设O
10、A a，OB b.试用 a 和 b 表示OM . 第 9 页 / 共 15 页 【解析】 设OM manb，则AM OM OA manba(m1)anb.AD OD OA 1 2OB OA a 1 2b.又A、M、D 三点共线， AM 与AD 共线存在实数 t，使得AM tAD ，即(m1)anbt(a1 2b) (m1)anbta1 2tb. m1t， nt 2， 消去 t 得，m12n，即 m2n1.又CM OM OC manb1 4a(m 1 4)anb，CB OB OC b1 4a 1 4ab.又C、M、B 三点共线，CM 与CB 共线 存在实数 t1，使得CM t1CB ，(m1 4
11、)anbt1( 1 4ab)， m1 4 1 4t1， nt1， 消去 t1得，4mn1 .由得 m1 7，n 3 7，OM 1 7a 3 7b. 变式 1、(2019 河南郑州第一次质量预测)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使 等式 x2OA xOB BC 0 成立的实数 x 的取值集合为( ) A.0 B. C.1 D.0，1 【答案】C 【解析】 方法一 若要 x2OA xOB BC 0 成立，BC必须与 x2OA xOB 共线，由于OA OB BA 与BC共线，所 以OA 和OB 的系数必须互为相反数，则 x2x，解得 x0 或 x1，而当 x
12、0 时，BC 0，此时 B，C 两 点重合，不合题意，舍去.故 x1. 方法二 BC OC OB ，x2OA xOB OC OB 0，即OC x2OA (x1)OB ，A，B，C 三点 共线， x2(x1)1，即 x2x0，解得 x0 或 x1.当 x0 时，x2OA xOB BC 0，此时 B，C 两 点重合，不合题意，舍去.故 x1. 第 10 页 / 共 15 页 变式 2、 （2019 秋清远期末）等边三角形ABC中，BDDC，2ECAE，AD与BE交于F，则下列结论 正确的是( ) A 1 () 2 ADABAC B 21 33 BEBCBA C 1 2 AFAD D 11 23 B
13、FBABC 【答案】AC 【解析】如图， BDDC，D为BC的中点， 1 () 2 ADABAC，A正确； 2ECAE， 11 () 33 AEACBCBA， 112 () 333 BEBAAEBABCBABCBA，B错误； 设 3 2222 AFADABACABAE ，且B，F，E三点共线， 3 1 22 ，解得 1 2 ， 1 2 AFAD，C正确； 111111 () 224224 BFBAAFBAADBABDBABABCBABABC，D错误 故选：AC 变式 3、如图，在平行四边形 OADB 中，设OA a，OB b，BM 1 3BC ，CN 1 3CD ，试用 a，b 表示OM ，O
14、N 及MN . 第 11 页 / 共 15 页 【解析】 由题意知，在平行四边形 OADB 中，BM 1 3BC 1 6BA 1 6(OA OB )1 6(ab) 1 6a 1 6b，则OM OB BM b1 6a 1 6b 1 6a 5 6b. ON 2 3OD 2 3(OA OB )2 3(ab) 2 3a 2 3b，MN ON OM 2 3(ab) 1 6a 5 6b 1 2a 1 6b. 变式 4、设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1) AB ab， BC2a8b， CD3(ab)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 【解析】(1)证明
15、： AB ab， BC2a8b， CD3(ab)， BD BC CD2a8b3(ab)5(ab)5 AB， AB ， BD共线，又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线 (2)kab 与 akb 共线， 存在实数 ，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， k0， k10. k210.k 1. 方法总结：利用共线向量定理解题的方法 (1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量 共线且有公共点时，才能得出三点共线即 A，B，
16、C 三点共线 AB ， AC共线 (3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0. (4) OA OB OC (， 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1. 五、优化提升与真题演练 第 12 页 / 共 15 页 1、(多选)设 a，b 是不共线的两个平面向量，已知 PQ asin b，其中 (0,2)，QR2ab.若 P，Q， R 三点共线，则角 的值可以为( ) A. 6 B5 6 C.7 6 D.11 6 【答案】CD 【解析】因为 a，b 是不共线的两个平面向量，所以 2ab0.即 QR 0，因为 P，Q，R 三点共线，所以 PQ 与 QR 共线，所以存在实数 ，使 PQ QR，所以
17、 asin b2ab，所以 12， sin ， 解得 sin 1 2.又 (0,2)，故 可为 7 6 或11 6 . 2、 （2019 秋连云港期末）已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则( ) AABDC BDADCDB CABADBD D 1 () 2 OBDABA 【答案】AB 【解析】平行四边形ABCD中，ABDC且/ /ABCD，结合向量相等定义可知，ABDC，故A正确； 由向量加法 平行四边形法则可得，DADCDB，故B正确； 结合向量减法的平行四边形法则可得，ABADDB，故C错误； 结合向量加法的平行四边形法则可知， 1 () 2 AODABAOA，故D错误 故选：AB
18、3、 （2019 秋宿迁期末）如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是( ) 第 13 页 / 共 15 页 A0OAOCOB B() ()0OAAFEFDC C()()OA AF BCOA AF BC D| |OFODFAODCB 【答案】BC 【解析】解：对于A，2OAOCOBOAABOBOB，故选项A错误； 对于B，() ()() ()0OAAFEFDCOAOEEFEOEA OF，故选项B正确； 对于C，由平面向量公式可知，()()OA AF BCOA AF BC，故选项C正确； 对于D，| | |OFODOFFEOE，| | | |FAODCBFAOAODFOODF
19、D， 显然| |OEFD， 故选项D错误 故选：BC 4、设两个非零向量 a 与 b 不共线，若 a 与 b 的起点相同，且 a，tb，1 3(ab)的终点在同一条直线上，则实 数 t 的值为_ 【答案】1 2 【解析】 a，tb，1 3(ab)三个向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 的起点相同， atb 与 a1 3(ab)共线，即 atb 与 2 3a 1 3b 共线， 存在实数 ，使 atb 2 3a 1 3b ， 12 3， t1 3， 解得 3 2，t 1 2. 5、 【2018 年高考全国 I 卷理数】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB 第 14 页 /
20、 共 15 页 A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 11131 24444 BABAACBAAC，所以 31 44 EBABAC. 故选 A. 6、 【江苏卷】在ABC中，43=90ABACBAC，D 在边 BC上，延长 AD到 P，使得 AP=9，若 3 () 2 PAmPBm PC（m 为常数） ，则 CD的长度是_ 【答案】 18 5 【解析】 ,A D P三点共线， 可设0PAPD， 3 2 PAmPBm PC
21、， 3 2 PDmPBm PC ，即 3 2 m m PDPBPC ， 若0m且 3 2 m ，则,B D C三点共线， 第 15 页 / 共 15 页 3 2 1 m m ，即 3 2 ， 9AP，3AD， 4AB ,3AC ,90BAC， 5BC ， 设CDx，CDA，则5BDx ，BDA. 根据余弦定理可得 222 cos 26 ADCDACx AD CD ， 2 222 57 cos 26 5 xADBDAB AD BDx ， coscos0 ， 2 57 0 66 5 xx x ，解得 18 5 x ， CD的长度为 18 5 . 当0m时， 3 2 PAPC，,C D重合，此时CD的长度为0， 当 3 2 m 时， 3 2 PAPB，,B D重合，此时12PA ，不合题意，舍去. 故答案为：0或 18 5 .
