1、 第 1 页 / 共 18 页 考点考点 15 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 1、理解向量的加法、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理 . 了解向量的线性 运算性质及其几何意义 2、了解平面向量的基本定理及其意义 . 3、 理解平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算; 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件 平面向量的线性运用是平面向量模块中比较重要的知识点， 用一组基底可以表示其它的向 量，这也是为下一节平面向量的数量积的基础，因此平面向量的线性运算是这几年江苏高考常 考的知识点。在其它地区的高考中也经常考查到 1、 平面向量的基本概念
2、及其线性运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现 在解答题的某一步骤 . 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,重点在于对三 点共线及基底向量等相关知识的运用 . 2、 平面向量的基本定理及其坐标运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现 在解答题的某一步骤 . 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,借助基向量考 查交点位置或借助向量的坐标考查共线等问题 1、 【2020 年江苏卷】在ABC中，43=90ABACBAC，D在边 BC上，延长 AD到 P，使得 AP=9， 若 3 () 2 PAmPBm PC （m 为常数） ，则 CD 的长度是_
3、考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 18 页 【答案】 18 5 【解析】 ,A D P三点共线， 可设0PAPD， 3 2 PAmPBm PC ， 3 2 PDmPBm PC ，即 3 2 m m PDPBPC ， 若0m且 3 2 m ，则,B D C三点共线， 3 2 1 m m ，即 3 2 ， 9AP，3AD， 4AB ,3AC ,90BAC， 5BC ， 设CDx，CDA，则5BDx ，BDA. 根据余弦定理可得 222 cos 26 ADCDACx AD CD ， 2 222 57 cos 26
4、5 xADBDAB AD BDx ， coscos0 ， 2 57 0 66 5 xx x ，解得 18 5 x ， CD的长度为 18 5 . 当0m时， 3 2 PAPC，,C D重合，此时CD的长度为0， 当 3 2 m 时， 3 2 PAPB，,B D重合，此时12PA ，不合题意，舍去. 故答案为：0或 18 5 . 2、 【2018 年高考全国 I 卷理数】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB 第 3 页 / 共 18 页 A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】A 【解析】根据向量的运算法
5、则，可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 11131 24444 BABAACBAAC，所以 31 44 EBABAC. 故选 A. 3、 【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的 圆上.若APABAD，则的最大值为 A3 B22 C5 D2 【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系. 设0,1 ,0,0 ,2,0 ,2,1 ,ABCDP x y， 易得圆的半径 2 5 r ，即圆 C 的方程是 2 2 4 2 5 xy， 第 4 页 / 共 18 页 ,1 ,0, 1
6、 ,2,0APx yABAD，若满足APABAD， 则 2 1 x y ，,1 2 x y ，所以1 2 x y， 设1 2 x zy，即10 2 x yz ，点,P x y在圆 2 2 4 2 5 xy上， 所以圆心(2 0),到直线10 2 x yz 的距离dr，即 22 15 1 4 z ，解得13z， 所以z的最大值是 3，即的最大值是 3，故选 A 4、 【2019 年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为 1，当每个(1,2,3,4,5,6) i i取遍时， 123456 |ABBCCDDAACBD的最小值是_；最大值是_ 【答案】0；2 5. 【解析】以, AB AD分别为 x
7、轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图. 则(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1),(1,1),( 1,1)ABBCCDDAACBD , 令 22 12345613562456 yABBCCDDAACBD0 0. 又因为(1,2,3,4,5,6) i i可取遍1， 所以当 134562 1,1 时，有最小值 min 0y. 因为 135 和 245 的取值不相关， 6 1或 6 1 ， 第 5 页 / 共 18 页 所以当 135 和 245 分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当 125634 1,1 时，有最大值 22 max 24202 5y . 故答案为 0；2 5. 5、【
8、2018 年高考全国 III 卷理数】 已知向量 = 1,2a，= 2, 2b，= 1,c 若2ca + b， 则_ 【答案】 1 2 6、 【2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 1，1， 2，OA与OC 的夹角为，且tan=7，OB与OC的夹角为 45 若OC mOA nOB ( ,)m nR，则 mn_ 【答案】3 【解析】由tan7可得 7 2 sin 10 ， 2 cos 10 ，根据向量的分解， 易得 cos45cos2 sin45sin0 nm nm ，即 22 2 210 27 2 0 210 nm nm ，即 510 570 nm nm
9、 ，即得 57 , 44 mn， 所以3mn 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 18 页 题型一：平面向量基本定理题型一：平面向量基本定理 1、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知1OAOB，3OC ，OC OB ， OA ， 30OC 若OC xOAyOB，x y（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设 (1,0)A ， 13 (,) 22 B ， 33 ( ,) 22 C， 则 3313 ( ,)(1,0)(,) 2222 OCxy， 所以 13 22 33 22 xy y ，解得2x，1y ， 所以3xy， 故选：C
10、 2、（2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中） 设 D为ABC所在平面内一点， 若 3BCCD ， 则下列关系中正确的是（ ） A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC 第 7 页 / 共 18 页 C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 【答案】A 【解析】 3BCCD ACAB=3(AD uuu v AC)； AD uuu v = 4 3 AC 1 3 AB. 故选 A. 3、 （2020 河南高三期末（文） ）如图，在等腰直角ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近 点B） ，过E作AD的垂线，垂足为F，则AF （ ） A 3
11、1 55 ABAC B 21 55 ABAC C 48 1515 ABAC D 84 1515 ABAC 【答案】D 【解析】设6BC ，则3 2,2ABACBDDEEC， 22 2cos 4 ADAEBDBABD BA10， 10 1044 cos 2 105 DAE ， 所以 4 5 AFAF ADAE ，所以 4 5 AFAD. 因为 11 33 ADABBCABACAB 21 33 ABAC， 所以 42184 5331515 AFABACABAC . 故选：D 4、 （2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（六)数学（理)试题）如图，在平行四边形ABCD中，点EF、 满足2,2BE
12、EC CFFD，EF与AC交于点G，设AG GC ，则（ ） 第 8 页 / 共 18 页 A 9 7 B 7 4 C 7 2 D 9 2 【答案】C 【解析】 设H是BC上除E点外的令一个三等分点， 连接FH， 连接BD交AC于O， 则/BDFH.在三角形CFH 中，,CG FG是两条中线的交点，故G是三角形CFH的重心，结合 2 3 CHCF BHDF 可知 2 4.5 CG CO ，由 于O是AC中点，故 22 4.5 29 CG AC .所以 7 2 AG CG ，由此可知 7 2 ，故选 C. 5 、 （ 2020 届 北 京 市 海 淀 区 高 三 上 学 期 期 中 数 学 试
13、题 ） 在 四 边 形ABCD中 ，/ABCD， 设 (,)ACABADR .若 3 2 ，则= CD AB （ ） A 1 3 B 1 2 C1 D2 【答案】B 【解析】如图所示， 过C作/CEAD，又/CDAB 四边形AECD是平行四边形 ACAEAD ， 又 ,ACABADR 1, AEAB， 第 9 页 / 共 18 页 又 31 22 ,，则 1 = 2 CDAE AB AB 故选：B 6、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，E 为 BC 边上一点，且 3BCEC ，F 为 AE 的中点，则（ ） A 1
14、2 BCABAD B 11 33 AFABAD C 21 33 BFABAD D 12 63 CFABAD 【答案】ABC 【解析】 ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC， 由向量加法的三角形法则得 BCBAADDC 1 2 ABADAB 1 2 ABAD ，A 对； 3BCEC ， 2 3 BEBC 12 33 ABAD ， AE ABBE 12 33 ABABAD 22 33 ABAD， 又 F 为 AE 的中点， 1 2 AFAE 11 33 ABAD，B 对； BF BAAF 11 33 ABABAD 21 33 ABAD ，C 对； CF CBBFBFBC 21 33 ABAD
15、1 2 ABAD 12 63 ABAD ，D 错； 故选：ABC 7、 （2020 届江苏省南通市海门中学高三上学期 10 月检测）在ABC中，已知 D 是BC边的中点，E 是线 第 10 页 / 共 18 页 段AD的中点若BEABAC，则的值为_. 【答案】 1 2 ； 【解析】由题意， 1113 22 1 244 BEBAAEABADABABACABAC ， BEABAC 311 442 故答案为： 1 2 8、(2019 无锡期末）在四边形 ABCD 中，已知 AB a2b，BC 4ab，CD 5a3b，其中，a，b 是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是_ 【答案】7. 【解析
16、】梯形因为AD AB BC CD (a2b)4ab(5a3b)8a2b 所以，AD 2BC ， 即 ADBC，且|AD|BC|，所以，四边形 ABCD 是梯形 9、 (2019 苏北四市、 苏中三市三调） 如图， 正六边形ABCDEF中， 若ADACAE（，R） ， 则 的值为 【答案】 4 3 第 11 页 / 共 18 页 【解析】：建系（坐标法）以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AE 所在的直线为 y 轴， 设六边形边长为 2，(0,0)A,(2,0)B，(3, 3)C，(2,2 3)D,(0,2 3)E 由ADACAE得：(2,2 3)= (3, 3)(0,2 3)， 2 = 2=3
17、 3 2 2 3= 3 +2 3 = 3 故 4 + = 3 . 题型二：平面向量的坐标运算题型二：平面向量的坐标运算 1、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知向量(3, 4)OA ，(6, 3)OB ，(2 ,1)OCm m若 ABOC，则实数m的值为（ ） A 1 5 B 3 5 - C3 D 1 7 【答案】C 【解析】 因为 /ABOC，所以 3,1 / 2 ,1m m,3 ( 1)23.mmm 选 C. 2、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量(1,1),a ( 1,3),b (2,1)c ，且() /abc， 则（ ） A3 B-3 C 1 7 D 1 7
18、 【答案】C 【解析】 由题意(1,1 3 )ab，() /abc，2(1 3 )1 ，解得 1 7 故选：C. 3、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知向量 (1,2)a ，(2, )bx，ab与b平行，则实数 x 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】 解：由已知(3,2)abx，又()/ /abb， 第 12 页 / 共 18 页 32(2)xx ，解得：4a， 故选：D. 4、 （2020 届山东省济宁市高三上期末）已知 A,B,C 为不共线的三点,则“ABACABAC”是“ABC 为直角三角形”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条
19、件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若ABACABAC，两边平方得到 2222 22ABACAB ACABACAB AC uu u ruuu ruu u r uuu ruu u ruuu ruu u r uuu r ， 0AB AC ，即AB AC 故ABC为直角三角形，充分性； 若ABC为直角三角形，当B或C为直角时，ABACABAC，不必要； 故选：A 5、 （2020 届山东省滨州市高三上期末）已知向量,2ax，2,by，2, 4c ，且 /a c，bc ， 则ab( ) A3 B 10 C 11 D2 3 【答案】B 【解析】 因为向量,2ax，2,by，2, 4c ，且
20、 /a c，bc ， 所以 440 440 x y ，解得： 1 1 x y ，即1,2a ，2,1b r ， 所以( 3,1)ab ，因此 2 2 3110ab. 故选：B. 6、 （2020 届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）设向量1,ak，2,3bk ，若 /a b，则实数k 的值为_. 【答案】1 第 13 页 / 共 18 页 【解析】向量1,ak，2,3bk ，且 /a b rr ，则32kk ，解得1k . 因此，实数k的值为1. 故答案为：1. 题型三、平面向量基本定理及线性运算综合运用题型三、平面向量基本定理及线性运算综合运用 1、（2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）
21、 如图， 在 ABC中， 点 ,D E是线段BC上两个动点， 且AD AE xAByAC，则 14 xy 的最小值为（ ） A 3 2 B2 C 5 2 D 9 2 【答案】D 【解析】如图可知 x，y 均为正，设 =m,ADABnAC AEABAC， :, ,B D E C共线， 1,1mn， ()()ADAExAByACmABnAC， 则2xymn， 141 1414149 ()5(52) 2222 yxyx xy xyxyxyxy ， 则 14 xy 的最小值为 9 2 ，故选 D. 2、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，D，E分别是AC、A
22、B 上的两点，且AE EB ， 2ADDC uuu ruuu r ，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ） A1 AB CE B 0OEOC C 3 2 OAOBOC DED在BC方向上的投影为 7 6 第 14 页 / 共 18 页 【答案】BCD 【解析】由题 E 为 AB 中点，则CEAB， 以 E 为原点，EA，EC 分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以， 1 2 3 (0,0),(1,0),( 1,0),(0, 3),( ,) 33 EABCD， 设 12 3 (0, ),(0, 3),(1, ),(,) 33 OyyBOy DOy ，BODO，所以
23、 2 31 33 yy ，解得： 3 2 y ，即 O 是 CE 中点， 0OEOC ，所以选项 B 正确； 3 2 2 OAOBOCOEOCOE，所以选项 C 正确； 因为CEAB， 0AB CE ，所以选项 A 错误； 1 2 3 ( ,) 33 ED ，(1, 3)BC ， ED在BC方向上的投影为 1 2 7 3 26 BC BC ED ，所以选项 D 正确. 故选：BCD 3、 （2020 浙江温州中月高考模拟） 如图， 在等腰三角形ABC中， 已知1ABAC，120A ，EF、 分别是边ABAC、上的点， 且,AEAB AFAC,其中,0,1 且41， 若线段EFBC、的 中点分别
24、为MN、，则MN的最小值是_. 第 15 页 / 共 18 页 【答案】 7 7 【解析】 根据题意,连接,AM AN,如下图所示: 在等腰三角形ABC中,已知1ABAC,120A 则由向量数量积运算可知 1 cos1 1 cos120 2 AB ACABACA 线段EFBC、的中点分别为MN、则 11 22 AMAEAFABAC 1 2 ANABAC 由向量减法的线性运算可得 1111 2222 MNANAMABAC 所以 2 21111 2222 MNABAC 22 2211111111 2 22222222 ABACAB AC 22 111111111 2 222222222 因为41,
25、代入化简可得 2 2 2 21312111 424477 MN 因为,0,1 所以当 1 7 时, 2 MN 取得最小值 1 7 第 16 页 / 共 18 页 因而 min 17 77 MN 故答案为: 7 7 4、 （2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考（四)数学（理)试题）在ABC中，已知 9AB AC uu u r uuu r ， sincossinBAC，6 ABC S，P为线段AB上的一点，且 CACB CPxy CACB ，则 11 xy 的最小值 为（ ） A 72 3 12 B 73 2 12 C 72 6 12 D 74 3 12 【答案】D 【解析】ABC中设A
26、Bc，BCa，ACb sincossinBAC， sin()sincosACCA ， 即sincossincossincosACCACA， sincos0AC， sin0A，cos090CC ， 9AB AC ，6 ABC S， cos9bcA， 1 sin6 2 bcA ， 4 tan 3 A，根据直角三角形可得 4 sin 5 A ， 3 cos 5 A，15bc 5c ，3b，4a， 以AC所在的直线为 x 轴，以BC所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得(0,0)C，(3,0)A， (0,4)B ，P 为 第 17 页 / 共 18 页 直线AB上的一点， 则存在实数使得(1)(3 ,
27、44 )(01)CPCACB, 设1 CA e CA ，2 CB e CB ，则 12 | | 1ee， 1 (1,0)e ， 2 (0,1)e , ( ,0)(0, )( , ) | CACB CPxyxyx y CACB , 3x ， 44y 则4312xy, 111111347+4 3 (43 )7 121212 yx xy xyxyxy , 故所求的最小值为 74 3 12 , 故选：D. 5、 (2019 泰州期末） 已知点 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上一点， 且满足PA PB2PD0， PAPB PC 0，则 _ 【答案】3 4 思路分析 由于题中出现了四个向量，因此可以
28、考虑消去PC 或PD，再根据平面向量基本定理，即可求得 和 的值 解法 1(转化法) 如图，因为PA PB2PD0，所以PAPB2(PCCD )0，即PA PB2(PCBA ) 0，即PA PB2(PCPAPB)0，所以，3PAPB2PC0，即3 2PA 1 2PB PC0，所以 3 2， 1 2， 3 4. 解法 2(基底法) 因为1 2PA 1 2PB PD0，PAPBPC0，两式相减得 1 2 PA 1 2 PB DC 1 2 PA 1 2 PB PBPA0，所以 1 21， 1 21， 3 2 1 2 3 4. 解法 3(几何法) 取 AB 中点 E，则PA PB2PE2PD，所以PDEP，即 P 为 DE 中点，延长 CP 第 18 页 / 共 18 页 交 BA 延长线于点 F，易知：A，E 为 BF 的三等分点，且 P 为 CF 中点 由PA 1 3PB 2 3PF 1 3PB 2 3PC ，得3 2PA 1 2PB PC0，所以 3 4.
