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考点15 平面向量的线性运算(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

1、 第 1 页 / 共 18 页 考点考点 15 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 1、理解向量的加法、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理 . 了解向量的线性 运算性质及其几何意义 2、了解平面向量的基本定理及其意义 . 3、 理解平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算; 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件 平面向量的线性运用是平面向量模块中比较重要的知识点, 用一组基底可以表示其它的向 量,这也是为下一节平面向量的数量积的基础,因此平面向量的线性运算是这几年江苏高考常 考的知识点。在其它地区的高考中也经常考查到 1、 平面向量的基本概念

2、及其线性运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现 在解答题的某一步骤 . 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,重点在于对三 点共线及基底向量等相关知识的运用 . 2、 平面向量的基本定理及其坐标运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现 在解答题的某一步骤 . 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,借助基向量考 查交点位置或借助向量的坐标考查共线等问题 1、 【2020 年江苏卷】在ABC中,43=90ABACBAC,D在边 BC上,延长 AD到 P,使得 AP=9, 若 3 () 2 PAmPBm PC (m 为常数) ,则 CD 的长度是_

3、考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 18 页 【答案】 18 5 【解析】 ,A D P三点共线, 可设0PAPD, 3 2 PAmPBm PC , 3 2 PDmPBm PC ,即 3 2 m m PDPBPC , 若0m且 3 2 m ,则,B D C三点共线, 3 2 1 m m ,即 3 2 , 9AP,3AD, 4AB ,3AC ,90BAC, 5BC , 设CDx,CDA,则5BDx ,BDA. 根据余弦定理可得 222 cos 26 ADCDACx AD CD , 2 222 57 cos 26

4、5 xADBDAB AD BDx , coscos0 , 2 57 0 66 5 xx x ,解得 18 5 x , CD的长度为 18 5 . 当0m时, 3 2 PAPC,,C D重合,此时CD的长度为0, 当 3 2 m 时, 3 2 PAPB,,B D重合,此时12PA ,不合题意,舍去. 故答案为:0或 18 5 . 2、 【2018 年高考全国 I 卷理数】在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB 第 3 页 / 共 18 页 A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】A 【解析】根据向量的运算法

5、则,可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 11131 24444 BABAACBAAC,所以 31 44 EBABAC. 故选 A. 3、 【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的 圆上.若APABAD,则的最大值为 A3 B22 C5 D2 【答案】A 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系. 设0,1 ,0,0 ,2,0 ,2,1 ,ABCDP x y, 易得圆的半径 2 5 r ,即圆 C 的方程是 2 2 4 2 5 xy, 第 4 页 / 共 18 页 ,1 ,0, 1

6、 ,2,0APx yABAD,若满足APABAD, 则 2 1 x y ,,1 2 x y ,所以1 2 x y, 设1 2 x zy,即10 2 x yz ,点,P x y在圆 2 2 4 2 5 xy上, 所以圆心(2 0),到直线10 2 x yz 的距离dr,即 22 15 1 4 z ,解得13z, 所以z的最大值是 3,即的最大值是 3,故选 A 4、 【2019 年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为 1,当每个(1,2,3,4,5,6) i i取遍时, 123456 |ABBCCDDAACBD的最小值是_;最大值是_ 【答案】0;2 5. 【解析】以, AB AD分别为 x

7、轴、y 轴建立平面直角坐标系,如图. 则(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1),(1,1),( 1,1)ABBCCDDAACBD , 令 22 12345613562456 yABBCCDDAACBD0 0. 又因为(1,2,3,4,5,6) i i可取遍1, 所以当 134562 1,1 时,有最小值 min 0y. 因为 135 和 245 的取值不相关, 6 1或 6 1 , 第 5 页 / 共 18 页 所以当 135 和 245 分别取得最大值时,y 有最大值, 所以当 125634 1,1 时,有最大值 22 max 24202 5y . 故答案为 0;2 5. 5、【

8、2018 年高考全国 III 卷理数】 已知向量 = 1,2a,= 2, 2b,= 1,c 若2ca + b, 则_ 【答案】 1 2 6、 【2017 年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为 1,1, 2,OA与OC 的夹角为,且tan=7,OB与OC的夹角为 45 若OC mOA nOB ( ,)m nR,则 mn_ 【答案】3 【解析】由tan7可得 7 2 sin 10 , 2 cos 10 ,根据向量的分解, 易得 cos45cos2 sin45sin0 nm nm ,即 22 2 210 27 2 0 210 nm nm ,即 510 570 nm nm

9、 ,即得 57 , 44 mn, 所以3mn 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 18 页 题型一:平面向量基本定理题型一:平面向量基本定理 1、 (2020 届山东省潍坊市高三上期中)如图,已知1OAOB,3OC ,OC OB , OA , 30OC 若OC xOAyOB,x y( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】建立如图所以坐标系,根据条件不妨设 (1,0)A , 13 (,) 22 B , 33 ( ,) 22 C, 则 3313 ( ,)(1,0)(,) 2222 OCxy, 所以 13 22 33 22 xy y ,解得2x,1y , 所以3xy, 故选:C

10、 2、(2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中) 设 D为ABC所在平面内一点, 若 3BCCD , 则下列关系中正确的是( ) A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC 第 7 页 / 共 18 页 C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 【答案】A 【解析】 3BCCD ACAB=3(AD uuu v AC); AD uuu v = 4 3 AC 1 3 AB. 故选 A. 3、 (2020 河南高三期末(文) )如图,在等腰直角ABC中,D,E分别为斜边BC的三等分点(D靠近 点B) ,过E作AD的垂线,垂足为F,则AF ( ) A 3

11、1 55 ABAC B 21 55 ABAC C 48 1515 ABAC D 84 1515 ABAC 【答案】D 【解析】设6BC ,则3 2,2ABACBDDEEC, 22 2cos 4 ADAEBDBABD BA10, 10 1044 cos 2 105 DAE , 所以 4 5 AFAF ADAE ,所以 4 5 AFAD. 因为 11 33 ADABBCABACAB 21 33 ABAC, 所以 42184 5331515 AFABACABAC . 故选:D 4、 (2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考(六)数学(理)试题)如图,在平行四边形ABCD中,点EF、 满足2,2BE

12、EC CFFD,EF与AC交于点G,设AG GC ,则( ) 第 8 页 / 共 18 页 A 9 7 B 7 4 C 7 2 D 9 2 【答案】C 【解析】 设H是BC上除E点外的令一个三等分点, 连接FH, 连接BD交AC于O, 则/BDFH.在三角形CFH 中,,CG FG是两条中线的交点,故G是三角形CFH的重心,结合 2 3 CHCF BHDF 可知 2 4.5 CG CO ,由 于O是AC中点,故 22 4.5 29 CG AC .所以 7 2 AG CG ,由此可知 7 2 ,故选 C. 5 、 ( 2020 届 北 京 市 海 淀 区 高 三 上 学 期 期 中 数 学 试

13、题 ) 在 四 边 形ABCD中 ,/ABCD, 设 (,)ACABADR .若 3 2 ,则= CD AB ( ) A 1 3 B 1 2 C1 D2 【答案】B 【解析】如图所示, 过C作/CEAD,又/CDAB 四边形AECD是平行四边形 ACAEAD , 又 ,ACABADR 1, AEAB, 第 9 页 / 共 18 页 又 31 22 ,,则 1 = 2 CDAE AB AB 故选:B 6、 (2020 届山东省泰安市高三上期末)如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,ABAD,AB=2AD=2DC,E 为 BC 边上一点,且 3BCEC ,F 为 AE 的中点,则( ) A 1

14、2 BCABAD B 11 33 AFABAD C 21 33 BFABAD D 12 63 CFABAD 【答案】ABC 【解析】 ABCD,ABAD,AB=2AD=2DC, 由向量加法的三角形法则得 BCBAADDC 1 2 ABADAB 1 2 ABAD ,A 对; 3BCEC , 2 3 BEBC 12 33 ABAD , AE ABBE 12 33 ABABAD 22 33 ABAD, 又 F 为 AE 的中点, 1 2 AFAE 11 33 ABAD,B 对; BF BAAF 11 33 ABABAD 21 33 ABAD ,C 对; CF CBBFBFBC 21 33 ABAD

15、1 2 ABAD 12 63 ABAD ,D 错; 故选:ABC 7、 (2020 届江苏省南通市海门中学高三上学期 10 月检测)在ABC中,已知 D 是BC边的中点,E 是线 第 10 页 / 共 18 页 段AD的中点若BEABAC,则的值为_. 【答案】 1 2 ; 【解析】由题意, 1113 22 1 244 BEBAAEABADABABACABAC , BEABAC 311 442 故答案为: 1 2 8、(2019 无锡期末)在四边形 ABCD 中,已知 AB a2b,BC 4ab,CD 5a3b,其中,a,b 是不共线的向量,则四边形 ABCD 的形状是_ 【答案】7. 【解析

16、】梯形因为AD AB BC CD (a2b)4ab(5a3b)8a2b 所以,AD 2BC , 即 ADBC,且|AD|BC|,所以,四边形 ABCD 是梯形 9、 (2019 苏北四市、 苏中三市三调) 如图, 正六边形ABCDEF中, 若ADACAE(,R) , 则 的值为 【答案】 4 3 第 11 页 / 共 18 页 【解析】:建系(坐标法)以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AE 所在的直线为 y 轴, 设六边形边长为 2,(0,0)A,(2,0)B,(3, 3)C,(2,2 3)D,(0,2 3)E 由ADACAE得:(2,2 3)= (3, 3)(0,2 3), 2 = 2=3

17、 3 2 2 3= 3 +2 3 = 3 故 4 + = 3 . 题型二:平面向量的坐标运算题型二:平面向量的坐标运算 1、 (2020 届山东省泰安市高三上期末)已知向量(3, 4)OA ,(6, 3)OB ,(2 ,1)OCm m若 ABOC,则实数m的值为( ) A 1 5 B 3 5 - C3 D 1 7 【答案】C 【解析】 因为 /ABOC,所以 3,1 / 2 ,1m m,3 ( 1)23.mmm 选 C. 2、 (2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知向量(1,1),a ( 1,3),b (2,1)c ,且() /abc, 则( ) A3 B-3 C 1 7 D 1 7

18、 【答案】C 【解析】 由题意(1,1 3 )ab,() /abc,2(1 3 )1 ,解得 1 7 故选:C. 3、 (2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知向量 (1,2)a ,(2, )bx,ab与b平行,则实数 x 的值为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】 解:由已知(3,2)abx,又()/ /abb, 第 12 页 / 共 18 页 32(2)xx ,解得:4a, 故选:D. 4、 (2020 届山东省济宁市高三上期末)已知 A,B,C 为不共线的三点,则“ABACABAC”是“ABC 为直角三角形”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条

19、件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若ABACABAC,两边平方得到 2222 22ABACAB ACABACAB AC uu u ruuu ruu u r uuu ruu u ruuu ruu u r uuu r , 0AB AC ,即AB AC 故ABC为直角三角形,充分性; 若ABC为直角三角形,当B或C为直角时,ABACABAC,不必要; 故选:A 5、 (2020 届山东省滨州市高三上期末)已知向量,2ax,2,by,2, 4c ,且 /a c,bc , 则ab( ) A3 B 10 C 11 D2 3 【答案】B 【解析】 因为向量,2ax,2,by,2, 4c ,且

20、 /a c,bc , 所以 440 440 x y ,解得: 1 1 x y ,即1,2a ,2,1b r , 所以( 3,1)ab ,因此 2 2 3110ab. 故选:B. 6、 (2020 届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟)设向量1,ak,2,3bk ,若 /a b,则实数k 的值为_. 【答案】1 第 13 页 / 共 18 页 【解析】向量1,ak,2,3bk ,且 /a b rr ,则32kk ,解得1k . 因此,实数k的值为1. 故答案为:1. 题型三、平面向量基本定理及线性运算综合运用题型三、平面向量基本定理及线性运算综合运用 1、(2020 届山东省枣庄市高三上学期统考)

21、 如图, 在 ABC中, 点 ,D E是线段BC上两个动点, 且AD AE xAByAC,则 14 xy 的最小值为( ) A 3 2 B2 C 5 2 D 9 2 【答案】D 【解析】如图可知 x,y 均为正,设 =m,ADABnAC AEABAC, :, ,B D E C共线, 1,1mn, ()()ADAExAByACmABnAC, 则2xymn, 141 1414149 ()5(52) 2222 yxyx xy xyxyxyxy , 则 14 xy 的最小值为 9 2 ,故选 D. 2、 (2020 届山东省九校高三上学期联考)已知ABC是边长为 2 的等边三角形,D,E分别是AC、A

22、B 上的两点,且AE EB , 2ADDC uuu ruuu r ,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是( ) A1 AB CE B 0OEOC C 3 2 OAOBOC DED在BC方向上的投影为 7 6 第 14 页 / 共 18 页 【答案】BCD 【解析】由题 E 为 AB 中点,则CEAB, 以 E 为原点,EA,EC 分别为 x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示: 所以, 1 2 3 (0,0),(1,0),( 1,0),(0, 3),( ,) 33 EABCD, 设 12 3 (0, ),(0, 3),(1, ),(,) 33 OyyBOy DOy ,BODO,所以

23、 2 31 33 yy ,解得: 3 2 y ,即 O 是 CE 中点, 0OEOC ,所以选项 B 正确; 3 2 2 OAOBOCOEOCOE,所以选项 C 正确; 因为CEAB, 0AB CE ,所以选项 A 错误; 1 2 3 ( ,) 33 ED ,(1, 3)BC , ED在BC方向上的投影为 1 2 7 3 26 BC BC ED ,所以选项 D 正确. 故选:BCD 3、 (2020 浙江温州中月高考模拟) 如图, 在等腰三角形ABC中, 已知1ABAC,120A ,EF、 分别是边ABAC、上的点, 且,AEAB AFAC,其中,0,1 且41, 若线段EFBC、的 中点分别

24、为MN、,则MN的最小值是_. 第 15 页 / 共 18 页 【答案】 7 7 【解析】 根据题意,连接,AM AN,如下图所示: 在等腰三角形ABC中,已知1ABAC,120A 则由向量数量积运算可知 1 cos1 1 cos120 2 AB ACABACA 线段EFBC、的中点分别为MN、则 11 22 AMAEAFABAC 1 2 ANABAC 由向量减法的线性运算可得 1111 2222 MNANAMABAC 所以 2 21111 2222 MNABAC 22 2211111111 2 22222222 ABACAB AC 22 111111111 2 222222222 因为41,

25、代入化简可得 2 2 2 21312111 424477 MN 因为,0,1 所以当 1 7 时, 2 MN 取得最小值 1 7 第 16 页 / 共 18 页 因而 min 17 77 MN 故答案为: 7 7 4、 (2020 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(四)数学(理)试题)在ABC中,已知 9AB AC uu u r uuu r , sincossinBAC,6 ABC S,P为线段AB上的一点,且 CACB CPxy CACB ,则 11 xy 的最小值 为( ) A 72 3 12 B 73 2 12 C 72 6 12 D 74 3 12 【答案】D 【解析】ABC中设A

26、Bc,BCa,ACb sincossinBAC, sin()sincosACCA , 即sincossincossincosACCACA, sincos0AC, sin0A,cos090CC , 9AB AC ,6 ABC S, cos9bcA, 1 sin6 2 bcA , 4 tan 3 A,根据直角三角形可得 4 sin 5 A , 3 cos 5 A,15bc 5c ,3b,4a, 以AC所在的直线为 x 轴,以BC所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得(0,0)C,(3,0)A, (0,4)B ,P 为 第 17 页 / 共 18 页 直线AB上的一点, 则存在实数使得(1)(3 ,

27、44 )(01)CPCACB, 设1 CA e CA ,2 CB e CB ,则 12 | | 1ee, 1 (1,0)e , 2 (0,1)e , ( ,0)(0, )( , ) | CACB CPxyxyx y CACB , 3x , 44y 则4312xy, 111111347+4 3 (43 )7 121212 yx xy xyxyxy , 故所求的最小值为 74 3 12 , 故选:D. 5、 (2019 泰州期末) 已知点 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上一点, 且满足PA PB2PD0, PAPB PC 0,则 _ 【答案】3 4 思路分析 由于题中出现了四个向量,因此可以

28、考虑消去PC 或PD,再根据平面向量基本定理,即可求得 和 的值 解法 1(转化法) 如图,因为PA PB2PD0,所以PAPB2(PCCD )0,即PA PB2(PCBA ) 0,即PA PB2(PCPAPB)0,所以,3PAPB2PC0,即3 2PA 1 2PB PC0,所以 3 2, 1 2, 3 4. 解法 2(基底法) 因为1 2PA 1 2PB PD0,PAPBPC0,两式相减得 1 2 PA 1 2 PB DC 1 2 PA 1 2 PB PBPA0,所以 1 21, 1 21, 3 2 1 2 3 4. 解法 3(几何法) 取 AB 中点 E,则PA PB2PE2PD,所以PDEP,即 P 为 DE 中点,延长 CP 第 18 页 / 共 18 页 交 BA 延长线于点 F,易知:A,E 为 BF 的三等分点,且 P 为 CF 中点 由PA 1 3PB 2 3PF 1 3PB 2 3PC ,得3 2PA 1 2PB PC0,所以 3 4.