1、 第 1 页 / 共 21 页 考点考点 16 平面向量数量积及应用平面向量数量积及应用 1. 了解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算;能利用数量积表示两个向量夹角的 余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直 . 3. 了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具 平面向量的数量积作为主要的考点,是高考中的必考点,考查题型中填空题、解答题都有涉 及,分值在 20 分左右,难度低、中档题为主 . 向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐 标这三个基本方面,有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算 . 在研究向量时,一般有两 个途径:一是建立
2、直角坐标系用坐标研究向量间的问题;二是用基底向量来研究 . 与向量数量 积有关的最值问题或求参数的取值范围,可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究,也可 以考虑其几何意义,从几何角度来研究 向量数量积是江苏高考必考题型，在复习是一定要注意向量数量积的两种形式：一是坐标 形式，常用的方法是建立坐标系。二是模的形式，常采取的方式是向量的转化 1、 【2020 年山东卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范用是（ ） A. ()2,6 B. ( 6,2) C. ( 2,4) D. ( 4,6) 【答案】A 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高
3、考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 21 页 【解析】 AB的模为 2，根据正六边形的特征， 可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是( 1,3)， 结合向量数量积的定义式， 可知AP AB 等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积， 所以AP AB 的取值范围是()2,6， 故选：A. 2、 【2020 年全国 3 卷】.已知向量 a，b 满足| 5a ，| | 6b ，6a b ，则cos ,=a ab （ ） A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 【答案】D 【解析】5a ，6b ， 6a b ， 2 2 56
4、19aabaa b . 2 22 2252 6367ababaa bb ， 因此， 1919 cos, 5 735 aab a ab aab . 故选：D. 3、 【2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】B 【解析】 因为()abb， 所以 2 () ab ba bb=0， 所以 2 a bb， 所以cos= 2 2 |1 2|2 a bb abb ， 第 3 页 / 共 21 页 所以 a 与 b 的夹角为 3 ，故选 B 4、 【2019 年高考全国 II 卷理数】已
5、知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB BC = A3 B2 C2 D3 【答案】C 【 解 析 】 由(1,3)BCACABt， 22 1(3)1BCt， 得3t ， 则(1, 0 )BC ， (2,3) (1,0)2 1 3 02AB BC 故选 C 5、 【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量a，b满足| |1a ，1 a b，则 (2)aab A4 B3 C2 D0 【答案】B 【解析】因为 22 222|12 13 aabaa ba所以选 B. 6、 （2018 年高考浙江卷）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 3 ，
6、向量 b 满足 b24eb+3=0，则|ab|的最小值是 A31 B3+1 C2 D2 3 【答案】A 【解析】 设， 则由得， 由 b24eb+3=0 得因此|ab|的最小值为圆心到直线 的距离 2 3 = 3 2 减去半径 1，为选 A. 7、 【2018 年高考天津卷理数】如图，在平面四边形 ABCD 中， ,120 ,ABBC ADCDBAD1,ABAD若点 E为边 CD上的动点，则AE BE的最小值为 第 4 页 / 共 21 页 A 21 16 B 3 2 C 25 16 D3 【答案】A 【解析】 连接 AD,取 AD 中点为 O,可知 ABD 为等腰三角形， 而 ,ABBC A
7、DCD ， 所以 BCD 为 等边三角形， 3BD . 设 01DEtDCt AE BE 223 2 ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE = 2 33 3 22 tt 01t 所以当 1 4 t 时，上式取最大值 21 16 ，故选 A. 8、 【2020 年天津卷】.如图，在四边形ABCD中，60 ,3BAB ，6BC ，且 3 , 2 ADBCAD AB ，则实数的值为_，若,M N是线段BC上的动点，且| 1MN ， 则DM DN 的最小值为_ 【答案】 (1). 1 6 (2). 13 2 【解析】 ADBC ，/AD BC，180120BADB， cos120A
8、B ADBC ABBCAB 第 5 页 / 共 21 页 13 639 22 ， 解得 1 6 ， 以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy， 66,0BCC，, 3,60ABABC，A的坐标为 3 3 3 , 22 A , 又 1 6 ADBC,则 5 3 3 , 22 D ，设,0M x，则1,0N x（其中05x） ， 53 3 , 22 DMx ， 33 3 , 22 DNx ， 2 2 2 533 32113 42 22222 DM DNxxxxx ， 所以，当2x时，DM DN 取得最小值13 2 . 故答案为： 1 6 ； 13 2 . 9、 【2
9、020 年浙江卷】设 1 e， 2 e为单位向量，满足 21 |22|ee， 12 aee， 12 3bee，设a，b的夹 角为，则 2 cos的最小值为_ 【答案】 28 29 第 6 页 / 共 21 页 【解析】 12 |2|2ee u ru r Q， 12 4412e e u r u r ， 12 3 4 e e u r ur ， 22 2 1212 22 121212 (44)4(1)() cos (22)(106)53 e ee ea b e ee ee e ab u r uru r urr r u r uru r uru r ur rr 12 424228 (1)(1) 3 33
10、29 53 53 4 e e u r ur . 故答案为： 28 29 . 10、 【2020 年北京卷】 .已知正方形ABCD的边长为 2， 点 P满足 1 () 2 APABAC， 则|PD _； PB PD_ 【答案】 (1). 5 (2). 1 【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D， 111 2,02,22,1 222 APABAC， 则点2,1P，2,1PD ，0, 1PB ， 因此， 2 2 215PD ，021 ( 1)1PB PD . 故答案为：5；1. 第 7 页 / 共 21
11、页 11、 【2020 年全国 1 卷】14.设, a b为单位向量，且| 1ab，则|ab_. 【答案】3 【解析】因为, a b为单位向量，所以1ab rr 所以 222 2221ababaa bba b 解得：2 1a b 所以 222 23ababaa bb 故答案为：3 12、 【2020 年全国 2 卷】.已知单位向量a ,b 的夹角为 45，k a b 与a 垂直，则 k=_. 【答案】 2 2 【解析】由题意可得： 2 1 1 cos45 2 a b ， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k aba ， 即： 2 2 0 2 kaa bk ，解得： 2 2 k . 故答案为： 2
12、 2 13、 【2019 年高考全国 III 卷理数】已知 a，b 为单位向量，且 a b=0，若25cab，则 cos,a c_. 【答案】 2 3 【解析】因为25cab，0 a b， 所以 2 25 a caa b2 ， 222 | |4| |4 55|9 caa bb，所以| | 3c ， 第 8 页 / 共 21 页 所以cos,a c 22 1 33 a c a c 14、【2019 年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点 E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE_ 【答案】1 【解析】 建立如图所示的直角坐标系， DAB=30，2
13、3,5,ABAD则(2 3,0)B， 5 3 5 (, ) 22 D . 因为ADBC，30BAD，所以30ABE， 因为AEBE，所以30BAE， 所以直线BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3) 3 yx， 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx . 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得3x ，1y ， 所以( 3, 1)E. 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE . 15、 【2019 年高考江苏卷】如图，在ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于 点O.若 6AB ACAO EC ，则
14、AB AC 的值是_ 第 9 页 / 共 21 页 【答案】3. 【解析】 如图， 过点 D 作 DF/CE， 交 AB 于点 F， 由 BE=2EA， D 为 BC 的中点， 知 BF=FE=EA,AO=OD 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE， 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC ， 得 2213 , 22 ABAC即3,ABAC故3 AB AC 题型一、数量积中的夹角 1、 （2020 届山东省德州市高三上期末）已知向量a，b满足1a ，2b ， 3
15、 13abab ，则a 与b的夹角为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】C 二年模拟试题二年模拟试题 第 10 页 / 共 21 页 【解析】 22 32313ababaa bb ，即2 1113a b ，得 1a b ， 则 1 cos 2 a b a b ，0Q， 2 3 . 故选：C. 2、 （北京市顺义区牛栏山第一中学 2019-2020 学年高三上学期期中数学试题）若1,1a r ，()3,1= r b，则 a与b的夹角为（ ） A15 B30 C45 D60 【答案】A 【解析】设a与b的夹角为，则 3162 coscos(4530 )cos15 4|2 2 a
16、 b a b ， 即15. 故选：A. 3、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,327,abab且则向量a与向量b夹角 的大小是_. 【答案】 6 【解析】由27ab得 22 3 |44|71 44 37 2 aa bba ba b 3 3 2 cos,. 2613 a ba b 4、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a、b,满足ab,2abb,则a与b的夹角 为_. 【答案】120 【解析】设a与b的夹角为，由题意ab,2abb,， 可得 2 (2)2cos0abba bb，所以 1 cos 2 ， 再由0180可得，120， 第 11 页 / 共 2
17、1 页 故答案是120. 5、 （2020 届山东省烟台市高三上期末） 已知向量a,b满足| | 1a ，| |2b ，()aab，则a与b夹 角的大小是_ 【答案】 3 4 【解析】由()aab得，()0aab，即 2 0aa b rr r ， 据此可得： 2 cos,a ba ba ba ， 12 cos, 212 a b ， 又a与b的夹角的取值范围为0, ，故a与b的夹角为 3 4 . 题型二、数量积中的模 1、 （2020 届北京市陈经纶学校高三上学开学）已知平面向量的夹角为则 （ ） A2 B C D 【答案】D 【解析】 ，故选 D. 2、 （2020 浙江高三）已知224 0a
18、ba b ，则a的取值范围是（ ） A0，1 B 1 1 2 ， C1，2 D0，2 【答案】D 【解析】设 2mab ，则2m ， 2 224 0bmaa ba ma ， （ 1 4 am）2 2 1 2 aa 2 1 16 mm2 2 1 16 m |m|2m 24，所以可得： 2 1 82 m ， 配方可得 222 11119 2()4 28482 mamm， 第 12 页 / 共 21 页 所以 11 3 42 2 am ， 又 111 | 444 amamam 则a 0，2 故选：D 3、（2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟） 已知a，b ，c是平面内三个单位向量， 若ab， 则
19、 232acab c 的最小值（ ） A29 B293 2 C 192 3 D5 【答案】A 【解析】设,cx y，1,0a ，0,1b ，则 22 1xy，从而 2222 23221232xyxy rrrrr acabc 22 2222 34132xyxyxxy 222 222 2325229xyxy ，等号可取到 故选：A 4、 （2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知向量a、b满足1ab，2ab，则ab的 取值范围为_. 【答案】2, 5 【解析】1ab，2ab， 22 21aa bb ， 22 24aa bb ， 22 25ab ，则 2 22 25abab，则5ab. 又a
20、bab，2ab，25ab . 故答案为：2, 5 . 5、（2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟） 设平面向量a ，b满足12a，23b， 则a ba b 的取值范围是_. 【答案】4,2 13 第 13 页 / 共 21 页 【解析】 设tabab， |()| |2 | 4tababababb 222 22 2taba bab 22 222()a bab abab2 ab ab 当abab时， 2 2 ab abab 2 22 2()abab 22 222 max 4()4(23 )4 13tab，所以 max 2 13t， 综上所述，abab的取值范围是4,2 13. 故答案为：4,2
21、 13. 6、（2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初） 已知平面向量a ，b满足1a ，42a bab ， 则ab 的取值范围是_. 【答案】1,3 【解析】 设(1,0),( , )abx y，由42a bab ， 得 22 42 (1)xxy整理得 22 1 43 xy ， 22 (1)abxy表示椭圆上的动点( , )P x y 到定点( 1,0)F （左焦点）的距离， 当P点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为1,3， 所以ab取值范围是1,3. 故答案为:1,3. 7、 （2020 届山东实验中学高三上期中）已知向量, a b满足3a ，2b ，4ab，则 ab_. 【答案】10
22、 【解析】 第 14 页 / 共 21 页 由已知：3a ，2b ，4ab，所以 2 2 4ab，展开得到 22 216aa bb ，所以23a b， 所以 2 22 210abaa bb， 所以 10ab ； 故答案为：10 8、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知向量a，b满足21ab，且1a a b，则ab rr 的取值范围为_. 【答案】 131131 , 22 【解析】 由|2| 1ab， 得 22 441aa bb， 又()1a ab， 得 2 1aa b， 由得 22 1 (5) 8 ab ， 2 1 ( 3) 8 a bb ， 且|a ba b， 即 22 11
23、(3)(5) | 88 bbb， 42 9349 0bb ， 2 174 13174 13 99 b 剟， 所以 2222222 11911 ()2(5)( 3) 8488 abaa bbbbbb ， 所以 2 142 13911142 13 4884 b 剟， 所以|ab的取值范围是 131 2 ， 131 2 故答案为： 131 2 ， 131 2 9、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面向量1,2 ,2,abm （1）若ab，求2ab； 第 15 页 / 共 21 页 （2）若0m，求a b 与ab夹角的余弦值. 【答案】 （1）25ab（2） 65 65 【解析】 因为
24、ab，1,2 ,2,abm 所以 0a b ，即220m 解得1m 所以 21,24,23,4ab 22 2345ab （2） 若0m，则2,0b 所以 (1,2)ab rr ， -( 3,2)a b r r 5,ab rr ，-13a b r r ， 3 41a b 所以 165 cos 65513 - a b ab a b r r rr r r 题型三、数量积的运用 1、 （北京海淀区一零一中学 2019-2020 学年度上学期高三开学考数学试题）已知菱形 ABCD 的边长为 1， B=60 ，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，则AF DE 的值为_. 【答案】 3 8 【解析】因
25、为 1 2 DEDAAEADAB ， 1 2 AFABBFABAD，且 18060120BAD， 所以 2211131 22242 AF DEADABABADADAB ADAB 33 1 1 cos120 48 . 故答案为： 3 8 . 2、 （2020 届江苏省七市第二次调研考试）图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它 第 16 页 / 共 21 页 是由一串直角三角形演化而成的（如图（2） ） ，其中 1122378 1OAA AA AA A，则 6778 A AA A的 值是_. 【答案】 42 7 【解析】如图，过点 6 A作 78 A A的平行线交 7 OA
26、于点B，那么向量 67 A A和 78 A A夹角为 76 BA A， 78 90OA A， 67 90A BA， 7766 AOAAAB， 112 1OAAA，且 12 OA A是直角三角 形， 2 2OA，同理得 67 6,7OAOA， 6778 cos,A A A A 6 67 7 6 sin 7 A O A A O A O ， 6778 642 1 1 77 A AA A . 故答案为： 42 7 3、 （2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O.已知ACBC，ACBC，ADBD，且O是AC的中点，若2AD ABCD CB，则
27、AC BD uuu r uu u r 的值为_. 第 17 页 / 共 21 页 【答案】3 【解析】如图，, ,A B C D四点共圆，AB为圆的直径. 设 1 2 OAOCBCt，所以 2 25ABtOBt， ，由相交弦定理得 5 t OD ， 在直角AOD中，由勾股定理得 2 5 t AD ， 在COD中，由余弦定理得 2 2 5 t CD . 因为 2AD ABCD CB ， 所以 22 2 2 2 cos2 cos(180)2 55 tt tDABtDAB， 又 1 cos 10 AD DAB AB ,所以 5 2 t . 所以 2 1212 5 =(2 ) ( 5) cos(180
28、)3 55 45 t AC BDttt o uuu r uuu r ggg . 故答案为：3 4、 （2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）在ABC中，已知,3 3 AAB ，若D为 BC中点，且 7 2 AD ，则AC AD _. 第 18 页 / 共 21 页 【答案】 65 4 . 【解析】 2ABACAD 2 222 29349ABACABAB ACACACAC， 解得5AC uuu r ， 21111 3 525 2222 65 4 AC ADACABACAB ACAC ， 故答案为： 65 4 . 题型四、数量积中的综合运用 1、 （2020 届浙江省之江教育评价
29、联盟高三第二次联考）已知C，D是以AB为直径的圆O上的动点，且 4AB ，则AC BD 的最大值是（ ） A2 B4 5 4 3 C2 2 D4 3 4 【答案】A 【解析】如图，以圆心O为原点，直径AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则( 2 0)(2 0)AB ，设 1122 ()(2222)CcossinDcossin， 1122 AC2cos2,2sin,BD2cos2,2sin， 1 AC BD2cos2 (2cos , 2)4sin ,sin 12121 44441coscossin sincos 2 2 111 4cos416sin4 cos1 11 4 2 cos14
30、cos1 ， 设 1 cos1,0, 2tt ，则 2 2 2 AC BD4t4 2t4 t2 2 2 剟， 即AC BD 的最大值是 2. 故选：A. 第 19 页 / 共 21 页 2、 （2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知腰长为2的等腰直角ABC中，M为斜边AB的中点， 点P为该平面内一动点，若2PC ，则 4PA PBPC PM的最小值 _ 【答案】48 32 2 【解析】 如图建立平面直角坐标系，P 2cos 2sinA22B22M 02， 42cos2 2sin22cos2 2sin24PA PBPC PM ， 2 2cos 2sin2cos 2sin216sin 32
31、2sin32 ， 当 sin1时，得到最小值为48 32 2 ，故选48 32 2 3、 （江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年 3 月线上考试）如图，已知AC8，B 为 AC 的中点，分 别以 AB， AC 为直径在 AC 的同侧作半圆， M， N 分别为两半圆上的动点(不含端点 A， B，C)， 且B M B N， 则AM CN 的最大值为_ 【答案】4 第 20 页 / 共 21 页 【解析】以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系， 可得A 0,0，B 4,0，C 8,0， 以 AB 为直径的半圆方程为 22 (x2)y4(x0,y0)， 以
32、 AC 为直径的半圆方程为 22 (x4)y16(x0,y0)， 设M 22cos,2sin，N 44cos,4sin，0， BMBN，可得 BM BN22cos,2sin4cos,4sin0 ， 即有8cos8 coscossinsin0， 即为coscoscossinsin， 即有coscos ， 又0，可得，即2， 则 AM CN22cos,2sin44cos,4sin 8 8cos8cos8 coscossinsin 2 8 8cos 16cos16cos 16cos 2 1 16(cos)4 2 ， 可得 1 cos0 2 ，即 3 ， 2 3 时，AM CN 的最大值为 4 故答案
33、为 4 4、 （江苏省南通市西亭高级中学 2019-2020 学年高三下学期学情调研） 在斜三角形ABC中， 6 3 ACAB， D是BC中点，E在边AB上，2AEBE，AD与CE交与点O.若AB AC AO EC ，则_. 第 21 页 / 共 21 页 【答案】 15 2 【解析】如下图所示，过点D作/DF CE交AB于点F，则点F为BE的中点， 2AEBE，F为BE的中点，所以24AEBEEF， 4 5 AE AF ， /CE DF， 4 5 AOAE ADAF ， 4412 5525 AOADABACABAC， 2 3 ECACAEACAB， 所以， 22212 3232 5315 AO ECABACACABACABAB AC 22222 32 15315 ABABAB ACAB AC ， 由 2 15 AB ACAO ECAB AC，解得 15 2 .故答案为：15 2 .
