1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 31 讲：平面向量的数量积讲：平面向量的数量积 一、课程标准 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图所示，作 OA a， OBb，则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a
2、，b (2)范围：夹角 的范围是0， 当 0 时，两向量 a，b 共线且同向； 当 2时，两向量 a，b 相互垂直，记作 ab； 当 时，两向量 a，b 共线但反向 2平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b， 我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)， 记作a b， 即a b|a|b| cos ，其中 是 a 与 b 的夹角 规定：零向量与任一向量的数量积为零 3平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设 是 a，b 的夹角，则|b|cos 叫做向量 b 在向量 a 的方向上的投影，|a|cos 叫做向量 a 在向量 b 的 方向上的投影 (2)
3、a b 的几何意义 第 2 页 / 共 7 页 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 4向量数量积的运算律 (1)交换律：a bb a. (2)数乘结合律：(a) b(a b)a (b) (3)分配律：(ab) ca cb c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a b) c 不一定等于 a (b c)，这 是由于(a b) c 表示一个与 c 共线的向量，a (b c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线 5平面向量数量积的性质 设 a，b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量， 是 a 与 e 的夹角，则 (1
4、)e aa e|a|cos . (2)aba b0. (3)当 a 与 b 同向时，a b|a|b|；当 a 与 b 反向时，a b|a|b|. 特别地，a a|a|2或|a| a a. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. 6平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 为 a 与 b 的夹角，则 (1)|a| x21y21； (2)a bx1x2y1y2； (3)abx1x2y1y20;_ (4)cos x1x2y1y2 x21y21 x22y22. 三、自主热身、归纳总结 1、已知直角坐标平面内，OA (1，8)，OB (4，
5、1)，OC (1，3)，则ABC 是_( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 2、已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin 17 3 ，则 b (2ab)等于( ) A.2 B.1 C.6 D.18 3、已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c 满足(ac)b，c(ab)，则 c( ) A. 7 9， 7 3 B 7 3， 7 9 C. 7 3， 7 9 D. 7 9， 7 3 第 3 页 / 共 7 页 4、(2019 贵州省适应性考试)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB4，CD2，ABCD，ABA
6、D，E 是 BC 的中点，则 AB ( AC AE)( ) A8 B12 C16 D20 6、在ABCD 中，|AB |8，|AD |6，N 为 DC 的中点，BM 2MC ，则AM NM 等于( ) A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 7、已知两个单位向量 a，b 满足|ab| 3|b|，则 a 与 b 的夹角为_ 8、已知|a|4，|b|8，a 与 b 的夹角是 120 . (1)计算：|ab|，|4a2b|； (2)当 k 为何值时，(a2b)(kab) 四、例题选讲 考点一 平面向量的数量积的运算 例 1、(1)已知非零向量 a，b 满足 a b0，|a|3，且 a 与 a
7、b 的夹角为 4，则|b|( ) A6 B3 2 C2 2 D3 (2)已知向量 a，b 为单位向量，且 a b1 2，向量 c 与 ab 共线，则|ac|的最小值为( ) A1 B1 2 C.3 4 D. 3 2 变式 1、 （2020 届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b满足3a ，2b ，4ab，则ab 第 4 页 / 共 7 页 _. 变式 2、 如图， 在平行四边形 ABCD 中， E 为 DC 的中点， AE 与 BD 交于点 M， AB 2， AD1， 且MA MB 1 6，则AB AD _. 变式 3、 在ABC 中，已知 AB1，AC2，A60 ，若点 P 满足AP A
8、B AC ，且BP CP1，则实 数 的值为 方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a| a a及(a b)2|a|2 2a b|b|2，把向量的模的运算转 化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义. 2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求 解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解. 考点二、 平面向量的夹角问题 例 2、 （2020 届山东省德州市高三上期末）已知向量a，b满足1a ，2b ， 313abab ， 则a与b的夹角为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D
9、5 6 变式 1、(2019 湖北恩施 2 月质检)已知平面向量 a，b 满足(a2b)(3ab)，且|a|1 2|b|，则向量 a 与 b 的 夹角为( ) A. 3 B 2 C.2 3 D.3 4 变式 2、(1)已知向量 a 与 b 的夹角为 30 ，且|a|1，|2ab|1，则|b|_ . 第 5 页 / 共 7 页 (2)2017 山东高考已知 e1，e2是互相垂直的单位向量，若 3e1e2与 e1e2的夹角为 60 ，则实数 的值是_. 变式 3、 （2019 春泉州期末）ABC中，ABc，BCa，CAb，在下列命题中，是真命题的有( ) A若0a b ，则ABC为锐角三角形 B若
10、0a b 则ABC为直角三角形 C若a bc b，则ABC为等腰三角形 D若() ()0acbabc，则ABC为直角三角形 变式 4、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|1,327,abab且则向量a与向量b 夹角的大小是_. 变式 5、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a、b,满足ab,2abb,则a与b的 夹角为_. 方法总结：求向量的夹角，有两种方法： (1)定义法：当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角 ，需求出 a b 及|a|，|b|或得出它们之间的关系， 由 cos a b |a|b|求得 (2)公式法：若已知 a(x1，y1)与
11、b(x2，y2)，则 cosa，b x1x2y1y2 x21y21 x22y22， a，b0， 考点三、平面向量中的垂直 例 1、(1)已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则 ( ) A4 B3 C2 D1 (2)已知向量 AB 与 AC的夹角为 120 ，且| AB|3，| AC|2.若 AP AB AC，且 AP BC，则 实数 的值为_ 变式 1、 （2019 秋南通期末）在ABC中，(2,3)AB ，(1, )ACk，若ABC是直角三角形，则k的值可以 是() 第 6 页 / 共 7 页 A1 B 11 3 C 313 2 D 313 2 变式 2、(2019 黑
12、龙江省齐齐哈尔市一中模拟)已知向量| OA |3，| OB|2，OCm OAn OB，若 OA与 OB 的夹角为 60 ，且 OC AB，则实数m n的值为( ) A.1 6 B.1 4 C6 D4 变式 3、2018 连云港期中已知向量 a(1，2sin)，b(sin( 3)，1)，R. (1)若 ab，求 tan 的值； (2)若 ab，且 (0， 2)，求 的值 方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运 算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可。 (2
13、)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 2、 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB BC = 第 7 页 / 共 7 页 A3 B2 C2 D3 3、 【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量a，b满足| |1a ，1 a b，则 (2)aab A4 B3 C2 D0 4、 【2018 年高考浙江卷】已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 3 ，向量 b 满足 b24e b+3=0，则|ab|的最小值是 A31 B3+1 C2 D2 3 5、 【2018 年高考天津卷理数】如图，在平面四边形 ABCD 中，,120 ,ABBC ADCDBAD 1,ABAD若点 E为边 CD上的动点，则AE BE的最小值为 A 21 16 B 3 2 C 25 16 D3 6、 （2019 春济南期末）对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是( ) A若/ /ab且/ /bc，则/ /ac B()ab ca cb c C若a ba c，且0a ，则bc D()(a b ca b)c
