1、1第 22 讲 特殊的平行四边形命题点 1 矩形的性质与判定1(2013河北 T123 分)如图，已知线段 AB，BC，ABC90.求作：矩形 ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：甲：(1)以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧；(2)以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧；(3)两弧在 BC 上方交于点D，连接 AD，CD，四边形 ABCD 即为所求(如图 1)乙：(1)连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M；(2)连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D，使MDMB，连接 AD，CD，四边形 ABCD 即为所求(如图 2)图 1 图 2对于两人的作业，下列说法正确的是(A)
2、A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对命题点 2 菱形的性质与判定2(2017河北 T93 分)求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O.求证：ACBD.以下是排乱的证明过程：又 BODO；AOBD，即 ACBD；四边形 ABCD 是菱形；ABAD.证明步骤正确的顺序是(B)A BC D3(2013河北 T113 分)如图，菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，MEAD, NFAB.若 NFNM2，ME3，则AN(B)A3 B4 C5 D64(2011河北 T143 分)如图，已知菱形 ABCD，其顶点 A，B
3、在数轴上对应的数分别为4 和 1，则 BC5命题点 3 正方形的性质与判定5(2011河北 T239 分)如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且CEBKAG.(1)求证：DEDG；DEDG；2(2)尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；(3)连接(2)中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；(4)当 时，请直接写出 的值CECB 1n S正 方 形 ABCDS正 方 形 DEFG解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，DCDA，DCE
4、DAG90.又CEAG，DCEDAG(SAS)DEDG，EDCGDA.又ADEEDC90，ADEGDA90，即GDE90.DEDG.(2)如图(3)猜想：四边形 CEFK 为平行四边形证明：设 CK，DE 相交于 M 点四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG.BKAG，KGABCD.四边形 CKGD 是平行四边形CKDGEF，CKDGEF.四边形 CEFK 为平行四边形(4) .S正 方 形 ABCDS正 方 形 DEFG n2n2 1命题点 4 矩形的分割与正方形的拼接6(2014河北 T82 分)如图，将长为 2，宽为 1 的矩形纸片分割成
5、 n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则n(A)A2 B3 C4 D57(2015河北 T162 分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)A甲、乙都可以 B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以 D甲可以、乙不可以命题点 5 特殊四边形之间的联系8(2016河北 T63 分)关于平行四边形 ABCD 的叙述，正确的是(C)A若 ABBC，则平行四边形 ABCD 是菱形3B若 ACBD，则平行四边形 ABCD 是正方形C若 ACBD，则平行四边形 ABCD 是矩形D若 ABAD，则平行四边形 ABCD 是正方形重难点 1 矩形的性
6、质与判定如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 上的点(1)若 AEBFCGDH.求证：四边形 EFGH 是矩形；(2)若 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点，且 DGAC，OF2，求矩形 ABCD 的面积【思路点拨】(1)在矩形 ABCD 对角线上有条件，同时还在四边形 EFGH 对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形 ABCD 的面积可转化成求 AC 与 DG 的积或转化成 AD 与 CD 的积【自主解答】解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，OAOBOCOD.AEBFCGDH，OEOFOGOH.四
7、边形 EFGH 是矩形(2)四边形 ABCD 是矩形，OAOBOCOD.OE OA，OF OB，OG OC，OH OD，OEOFOGOH.12 12 12 12四边形 EFGH 是矩形DGAC，OG2，OD4.DG2 .3又AC4OF8，S ADC ACDG8 .12 3S 矩形 ABCD2S ADC 16 .3【变式训练 1】如图，四边形 ABCD 是矩形， AH，BH，CN，DN 分别平分DAB，ABC，BCD，CDA.求证：四边形 MNGH 是矩形证明：四边形 ABCD 是矩形，DABABCBCDADC90.AH，BH，CN，DN 分别平分DAB，ABC，BCD，CDA，HABHBADC
8、NCDNMDAMAD 45.HMNAHBCND90.四边形 MNGH 是矩形方 法 指 导1判定矩形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找角或对角线上的特殊关系若角度易求，则证明一内角为 90即可；若对角线易找，则证明对角线相等即可2利用矩形的性质计算的一般思路：矩形四个内角均为直角，所以常借助勾股定理计算，又因为矩形对角线相等且互相平分，因此常把这一条件转化到同一个三角形中求解注：矩形可以看作两个全等的直角三角形以斜边为重合边拼接而成重难点 2 菱形的性质与判定在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.4(1)如图 1，若点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，
9、连接 EF，OE，OF，求证：四边形 AEOF 是菱形；图 1 图 2(2)如图 2，若 E，F 分别在射线 DB 和射线 BD 上，且 BEDF.求证：四边形 AECF 是菱形；若AEC60，AE6，ABBE，求 AB 的长【思路点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于可利用菱形的性质，转化到 RtABO 中进行求解【自主解答】解：(1)证明：点 E，F 分别为 AB，AD 的中点，AE AB，AF AD.12 12又四边形 ABCD 是菱形，ABAD，ACBD.E，F 是 AB，A
10、D 的中点，AEAFOFOE.四边形 AEOF 是菱形(2)证明：四边形 ABCD 是菱形，ODOB，OAOC，BDAC.BEDF，OBBEODDF，即 OEOF.四边形 AECF 是菱形四边形 AECF 是菱形，AECE，AOEF，AEOCEO.AEC60，AEO30.AE6，AO3.ABBE，BAEAEB30.ABOAEBBAE60.在 RtAOB 中，AB 2 .AOsin ABO 3sin60 3【变式训练 2】(2018淮安)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是(A)A20 B24 C40 D48【变式训练 3】如图，在ABCD 中，
11、添加一个条件 ABBC 或 ACBD 使平行四边形 ABCD 是菱形方 法 指 导1判定菱形的一般思路：首先判定该四边形是平行四边形，然后找边或对角线上的特殊关系，若边易找，则证明一组邻边相等即可；若对角线易找，则证明对角线互相垂直即可2利用菱形的性质计算的一般思路：菱形对角线互相垂直平分，所以常借助勾股定理计算，又因为菱形四条边都相等，因此常把这一条件转化同一个三角形中求解注：菱形可以看作两个全等的等腰三角形以底为重合边拼接在一起重难点 3 正方形的性质与判定5已知：在边长为 8 的正方形 ABCD 的各边上截取 AEBFCGDH.(1)如图 1，连接 AF，BG，CH，DE，依次相交于点
12、N，P，Q，M，求证：四边形 MNPQ 是正方形；(2)如图 2，若连接 EF，FG，GH，HE.求证：四边形 EFGH 是正方形；当四边形 EFGH 的面积为 50 cm2时，求 tanFEB 的值图 1 图 2【思路点拨】(1)先证明四边形 MNPQ 是矩形，再证明一组邻边相等；(2)先证明四边形 EFGH 是菱形，再证明它是矩形；利用勾股定理，求 BE，BF，再利用正切三角函数定义求值【自主解答】解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDDA，BADABCBCDCDA90.在ABF 和BCG 中， AB BC， ABC BCD，BF CG， )ABFBCG(SAS)BAFG
13、BC.BAFAFB90，GBCAFB90.BNF90.MNPBNF90.同理可得NPQPQM90.四边形 MNPQ 是矩形在ABN 和BCP 中， BAF CBG， ANB BPC，AB BC， )ABNBCP(AAS)ANBP.在AME 和BNF 中， BAF GBC， AME BNF，AE BF， )AMEBNF(AAS)AMBN.MNNP.四边形 MNPQ 是正方形(2)证明：四边形 ABCD 是正方形，ABCD90，ABBCCDDA.又AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG(SAS)EHFEGFGH，AEHBFE.四边形 EFGH 是菱形BEFBFE90，BEFA
14、EH90.HEF90.四边形 EFGH 是正方形四边形 EFGH 的面积为 50 cm2，EF 250 cm 2.设 BECFx cm，则 BF(8x)cm.在 RtBEF 中，由勾股定理，得 BE2BF 2EF 2，即 x2(8x) 250.解得 x11，x 27.当 BE1 cm 时，BF7 cm，tanFEB 7；BFBE当 BE7 cm 时，BF1 cm，tanFEB .BFBE 176tanFEB 的值为 或 7.17【变式训练 4】(2018唐山丰南区模拟)如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则BFC 为(B)A75B60C55D45【变
15、式训练 5】已知，在四边形 ABCD 中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)AACBD BABCDCADBC DBCCD方 法 指 导1证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形2在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起重难点 4 图形的剪拼(2017河北模拟)如图，在四边形 ABCD 中，BD90，ADCD，现把四边形经过某种操作，可以得到与它面积
16、相等的等腰直角三角形，如图，这个操作可以是(C)A沿 BD 剪开，并将BCD 绕点 D 逆时针旋转 90B沿 AC 剪开，并将ACD 绕点 C 逆时针旋转 90C沿 BD 剪开，并将BCD 绕点 D 顺时针旋转 90D沿 AC 剪开，并将ACD 绕点 C 顺时针旋转 90提示：如图，沿 BD 剪开，将BCD 绕点 D 顺时针旋转 90，由旋转性质可知，CD 与 AD 重合，BD 与 DE 重合，且EDB90，CEAD.又ABCADC90，BADC180.EADBAD180.E，A，B 在一条直线上EDB 是等腰直角三角形【变式训练 6】(2017河北模拟)在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人
17、进行如下操作：甲：如图 1，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2 倍的菱形；乙：如图 2，将矩形按图形所示分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，得到一个面积是原来矩形面积2 倍的矩形7图 1 图 2下列说法正确的是(A)A甲、乙都可以B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以D甲可以、乙不可以方 法 指 导1能否剪拼成功的标志是变化前后看面积是否保持不变2虽然位置发生变化，但只有相等的两边才能拼在一起能拼在一起必是相等边注：对一些常见的拼图要熟悉，如“勾股直方图”等1(2018上海)已知ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)A
18、AB BACCACBD DABBC2(2018十堰)菱形不具备的性质是(B)A四条边都相等 B对角线一定相等C是轴对称图形 D是中心对称图形3(2018保定竞秀区二模)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若 ABCD，则12(A)A90 B100 C110 D1204(2018广州)如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为(3，0)，(2，0)点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是(5，4)5(2018株洲)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交点 O，AC10，P，Q 分别为 AO，AD 的中点，则 PQ 的长度为 2.56(2018张家界)如图，在矩形 A
19、BCD 中，点 E 在 BC 上，AEAD，DFAE，垂足为 F.(1)求证：DFAB；(2)若FDC30，且 AB4，求 AD 的长8解：(1)证明：四边形 ABCD 为矩形，BADC90，ADBC.AEBDAF.又DFAE，DFA90.DFAB.在ADF 和EAB 中， FAD BEA， AFD B，AD EA， )ADFEAB(AAS)DFAB.(2)由(1)知ADFEAB，DFAB4.ADCDFA90，FDC30，ADF60，FAD30.AD2DF8.7(2018广西)如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F，且 BEDF.(1)求证：ABCD 是菱形；(2)若 A
20、B5，AC6，求ABCD 的面积解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，BD.AEBC，AFCD.AEBAFD90.在AEB 和AFD 中， B D，BE DF， AEB AFD， )AEBAFD(ASA)ABAD.四边形 ABCD 是菱形(2)连接 BD，交 AC 于点 O.四边形 ABCD 是菱形，AC6，ACBD，AOOC AC 63.12 12在 RtABO 中，由勾股定理，得 BO 4.AB2 AO2BD2BO8.9S ABCD ACBD24.128(2018遵义)如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E，F 分别在 AB，BC 上(AEBE)，且EOF90，OE
21、，DA 的延长线交于点 M，OF，AB 的延长线交于点 N，连接 MN.(1)求证：OMON；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，OAOB，DAOOBA45.OAMOBN135.EOFAOB90，AOMBON.OAMOBN(ASA)OMON.(2)过点 O 作 OHAD 于点 H.正方形 ABCD 的边长为 4，OHHA2.E 为 OM 的中点，A 为 HM 的中点HM4.OM 2 .22 42 5MN OM2 .2 109(2018唐山滦南县一模)将一个棱长为 1 的无盖正方体纸盒展开(如图 1)，沿虚线剪开
22、，用得到的 5 张纸片(其中 4 张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图 2)，则所拼得的正方形的边长为(C)A. B. C. D.32 3 5 610(2018镇江)如图，点 E，F，G 分别在菱形 ABCD 的边 AB，BC，AD 上，AE AB，CF CB，AG AD.已知13 13 13EFG 的面积等于 6，则菱形 ABCD 的面积等于 271011(2018台州)如图，在正方形 ABCD 中，AB3，点 E，F 分别在 CD，AD 上，CEDF，BE，CF 相交于点 G.若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 23，则BCG 的周长为 315提示：BCECDF
23、，BGC 为直角三角形，S BGC S 四边形 DEGF .3212(2017潍坊)边长为 6 的等边ABC 中，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，DEAB，EC2 .3(1)如图 1，将DEC 沿射线方向平移，得到DEC，边 DE与 AC 的交点为 M，边 CD与ACC的平分线交于点 N，当 CC多大时，四边形 MCND为菱形？并说明理由；(2)如图 2，将DEC 绕点 C 旋转(0360)，得到DEC，连接 AD，BE.边 DE的中点为 P.在旋转过程中，AD和 BE有怎样的数量关系？并说明理由；连接 AP，当 AP 最大时，求 AD的值(结果保留根号)图 1 图 2解：(1)当 CC
24、 时，四边形 MCND是菱形3理由：由平移的性质，得 CDCD，DEDE.ABC 是等边三角形，BACB60.ACC180ACB120.CN 是ACC的平分线，NCC ACC60.12DEAB，DECB60DEC.DECNCC.DECN.四边形 MCND是平行四边形MECMCE60，NCCNCC60，MCE和NCC都是等边三角形MCCE，NCCC.ECEC2 ，四边形 MCND是菱形311CNCM.CC EC .12 3(2)ADBE，理由：当 180时，由旋转的性质，得ACDBCE，由(1)知，ACBC，CDCE，ACDBCE(SAS)ADBE.当 180时，ADACCD，BEBCCE，AD
25、BE.综上，ADBE.连接 CP.在ACP 中，由三角形三边关系，得 APACCP，当点 A，C，P 三点共线时，AP 最大，如图CDCE，P 为 DE的中点，APDE，PD .CP3.3AP639.在 RtAPD中，由勾股定理，得 AD 2 .AP2 PD 2 2113数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指(D)AS 长方形 ABNNS 长方形 MNCDBS 长方形 EBMFS 长方形 AEFNCS 长方形 AEFNS 长方形 MNCDDS 长方形 EBMFS 长方形 NFGD
