1、1第 27讲 图形的对称命题点 近 8年的命题形式 考查方向轴对称2017(T24解)，2016( T13选)，2015( T3选)，2014( T25解)，2013( T19填)，2012(T9选)，2011( T9选)主要以选填题的形式、设计高 频 考 点折叠几何图形为背景，通过折叠特殊位置考查对角的求解.2017 年在函数图象背景下，通过轴对称变换形式，探究新的情景下的问题.轴对称图形与中心对称图形的识别2018(T3选)，2017( T5选)，2016( T3选)，2015( T5选)，2013( T3选)以图形直观的形式，考查对高 频 考 点轴对称图形与中心对称图形的理解与识别.20
2、17 年在原来图形的基础上，通过添加正方形，得到中心对称的新的呈现形式，2018 考查已知轴对称图形找其对称轴.命题点 1 轴对称1(2015河北 T33分)一张菱形纸片按图 1、图 2依次对折后，再按图 3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是(C)图 1 图 2 图 3A B C D命题点 2 轴对称图形与中心对称图形的识别2(2013河北 T32分)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)A B C D3(2016河北 T33分)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(A)A B C D4(2018河北 T33分)图中由“”和“”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直
3、线( C)Al 1 Bl 2 Cl 3 Dl 425(2015河北 T53分)图 1和图 2中所有的小正方形都全等，将图 1的正方形放在图 2中，的某一位置，使它与原来 7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( C)A B C D图 1 图 2 重难点 1 轴对称如图所示，在矩形纸片 ABCD中，E，G 为 AB边上两点，且 AEEGGB，F，H 为 CD边上两点，且DFFHHC.将纸片沿虚线 EF折叠，使点 A落在点 G上，点 D落在点 H上，然后再沿虚线 GH折叠，使 B落在点 E上，点 C落在点 F上叠完后，剪一个直径在 EF上的半圆，再展开，则展开后的图形为( B)A B C
4、 D【变式训练 1】 (2018嘉兴)将一张正方形纸片按步骤沿虚线对折两次，然后沿中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( A)方 法 指 导1对折实际上就是轴对称2解决剪纸问题的实质是按折叠的顺序反向作轴对称图形即可3还可以通过实际操作进行验证重难点 2 轴对称图形与中心对称图形的识别(2018无锡)下列图形中的五边形 ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有( D)3A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】 判断一个图形是否为轴对称图形的方法是：能否找到一条直线，使图形沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合【变式训练 2】 (2018广州)如图所示的五角星
5、是轴对称图形，它的对称轴共有( C)A1 条 B3 条 C5 条 D无数条【变式训练 3】 已知图中所有的小正方形都全等，若在图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是( B)方 法 指 导1边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；边数为偶数的正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形2两个正多边形的组合图形，边数都是奇数或一个是偶数，一个为奇数，可能是轴对称图形，但一定不是中心对称图形误认为边数为奇数的正多边形是中心对称图形，从而产生错误易 错 提 示重难点 3 与折叠有关的计算与证明(2017石家庄模拟)如图，在矩形 ABCD中，AB4，
6、BC6，点 E为 BC的中点，将ABE 沿 AE折叠，使点 B落在矩形内点 F处，连接 CF，则 CF的长为( D)A1.8 B2.4 C3.2 D3.6【思路点拨】 连接 BF，交 AE于点 H，由题意可得 BEEFCE，从而判定BFC 是直角三角形，由对称可得BF与 AE垂直，求 BF可以转化成求ABE 斜边上的高【变式训练 4】 (2018常德)如图，将矩形 ABCD沿 EF折叠，使点 B落在 AD边上的点 G处，点 C落在点 H处，已知DGH30，连接 BG，则AGB754【变式训练 5】 (2018重庆)如图，把三角形纸片折叠，使点 B，C 都与点 A重合，折痕分别为 DE，FG，得
7、到AGE30.若 AEEG2 cm，则ABC 的边 BC的长为(64 )cm.3 3方 法 指 导1折叠前后两个图形关于折痕对称2通过折叠，把分散的条件集中于同一个直角三角形，通过解直角三角形实现问题的求解3三角形一边上中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形4利用面积法求直角三角形斜边上高本题不易确定BFC 是直角三角形，从而找不到问题的突破口易 错 提 示重难点 4 最短路径问题(2018保定模拟)如图，在矩形 ABCD中，AB8，BC6，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD各边上，且AECG，BFDH，则四边形 EFGH周长的最小值为( C)A10 B4 C20 D83 7【思
8、路点拨】 由矩形性质及全等知识可得四边形 EFGH是平行四边形，因此求四边形 EFGH周长的最小值转化成求 EFFG 的最小值，而求 EFFG 的最小值可以转化成作点 E关于 CB的对称点 E与点 G之间的线段的长【变式训练 6】 (2018新疆)如图，点 P是边长为 1的菱形 ABCD对角线 AC上的一个动点，点 M，N 分别是AB，BC 边上的中点，则 MPPN 的最小值是( B)A. B1 C. D212 2【变式训练 7】 (2018秦皇岛海港区模拟)如图，在ABC 中，ABAC13，BC10，ADBC，BEAC，P 为 AD上一动点，则 PEPC 的最小值为 12013在几何图形中求
9、线段的最小值往往转化成两点之间线段最短或垂线段最短等来解决；具体方法是利方 法 指 导用轴对称，实现化折为直常见模型有：5将军饮马问题：一条直线上一动点与直线外两定点连接得到两条折线段和的最小值是先做一定点关于直线的对称点，再把对称点与另一定点连接得到线段的长即为所求1(2018河北模拟)下列图形中，是轴对称图形的是( C)2如图，点 N1，N 2，N 8将圆周八等分，连接 N1N2，N 1N8，N 4N5后，再连接一对相邻的点后，形成的图形不是轴对称图形，则连接的这条线段可能是( A)AN 2N3 BN 3N4 CN 5N6 DN 7N83如图，四边形 ABCD与四边形 FGHE关于一个点成
10、中心对称，则这个点是( A)AO 1 BO 2 CO 3 DO 44如图，将一张正方形纸片沿箭头所示的方向依次折叠后得到一个三角形，再将三角形纸片减去一个小等腰直角三角形和一个半圆后展开，得到的图形为( D)5(2018梧州)如图，在ABC 中，ABAC，C70，ABC与ABC 关于直线 EF对称，CAF10，连接 BB，则ABB的度数是( C)A30 B35 C40 D4566(2018烟台)对角线长分别为 6和 8的菱形 ABCD如图所示，点 O为对角线的交点，过点 O折叠菱形，使B，B两点重合，MN 是折痕若 BM1，则 CN的长为( D)A7 B6 C5 D47(2018滨州)如图，A
11、OB60，点 P是AOB 内的定点且 OP ，若点 M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点3O的动点，则PMN 周长的最小值是( D)A. B. C6 D3362 3328(2017济宁)实验探究：(1)如图 1，对折矩形纸片 ABCD，使 AD与 BC重合，得到折痕 EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 A落在EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN，MN.请你观察图 1，猜想MBN 的度数是多少，并证明你的结论；(2)将图 1中的三角形纸片 BMN剪下，如图 2，折叠该纸片，探究 MN与 BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论图 1 图 2解：(1)
12、猜想：MBN30.证明：连接 AN.直线 EF是 AB的垂直平分线，NANB.由折叠可知，BNAB，ABBNAN.ABN 是等边三角形ABN60.MBNABM ABN30.12(2)结论：MN BM.127折纸方案：如图 2，折叠BMN，使得点 N落在 BM上点 O处，折痕为 MP，连接 OP.证明：由折叠可知，MOPMNP，由(1)可知，MBN30，OMN60.MNOM，OMPNMP OMN30B，MOPMNP90.12BOPMOP90.又OPOP，MOPBOP( AAS)MOBO BM.MN BM.12 129 【分类讨论思想】小南利用几何画板画图，探索结论，他先画MAN90，在射线 AM
13、上取一点 B，在射线 AN上取一点 C，连接 BC，再作点 A关于直线 BC的对称点 D，连接 AD，BD，得到如图所示的图形，移动点 C，小南发现：当 ADBC 时，ABD90.请你继续探索：当 2ADBC 时，ABD 的度数是 30或 15010(2018自贡)如图，在ABC 中，ACBC2，AB1，将它沿 AB翻折得到ABD，则四边形 ADBC的形状是菱形，点 P，E，F 分别为线段 AB，AD，DB 的任意点，则 PEPF 的最小值是 15411如图，在矩形 ABCD中，AB6，BC8，点 E是射线 CB上的一个动点，把DCE 沿 DE折叠，点 C的对应点为C.(1)若点 C刚好落在对
14、角线 BD上时，BC4；(2)若点 C刚好落在线段 AB的垂直平分线上时，求 CE的长；(3)若点 C刚好落在线段 AD的垂直平分线上时，直接写出 CE的长解：(2)如图，连接 CC.8点 C在 AB的垂直平分线上，点 C在 DC的垂直平分线上CCDCDC，DCC 是等边三角形CDECDE CDC30.12DE2CE.设 CEx，则 DE2x，由勾股定理，得(2x) 2x 26 2.解得 x2 ，即 CE的长为 2 .3 3(3)CE的长为 93 或 93 .5 512如图所示，直线 l1与两坐标轴的交点坐标分别是 A(3，0)，B(0，4)，O 是平面直角坐标系原点(1)求直线 l1的函数解
15、析式；(2)若将 AO沿直线 AC折叠，使点 O落在斜边 AB上，且与 AD重合求点 C的坐标； 求直线 AC，直线 l1和 y轴所围图形的面积解：(1)设直线 l1的函数解析式为 ykxb.A(3，0)，B(0，4)在直线 l1上， 解得 3k b 0，b 4， ) k 43，b 4.)直线 l1的函数解析式为 y x4.43(2)A(3，0)，B(0，4)，OA3，OB4.AOB90，AB5.由折叠性质可得，ADAO3，CDCO，ADCAOC90.设 OCx，则 CDx，BC4x.ADC90，BDC90.9在 RtBDC 中，BDABAD532，CDx，BC4x，2 2x 2(4x) 2，解得 x .32C(0， )32由图可知，直线 AC，直线 l1和 y轴所围图形是ABC，S ABC BCOA (4 )3 ，12 12 32 154直线 AC，直线 l1和 y轴所围图形的面积为 .154
