【BSD版秋季课程初三数学】第3讲:正方形的性质与判定_教案

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1、 正方形的性质与判定 第3讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 正方形的性质 正方形中的旋转问题 正方形的性质与判定 教学目标 1、掌握正方形的性质与判定. 2、掌握正方形的旋转问题. 教学重点 能熟练掌握正方形的性质与判定. 教学难点 正方形综合题. 【教学建议教学建议】 正方形这种图形在生活中比较常见,并且在小学阶段已有涉及,在教学过程中,结合现实生活中的矩 形物体和复习回顾学过的矩形知识,将使学生对正方形的性质和判定有一个更深刻的认识. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 在这一部分知识的学习中,要重视学生

2、灵活运用所学知识点的能力培养. 在小学阶段的学习中我们已经学习过了正方形的性质和判定,在本讲中我们将会更加深入地学习正方 形,正方形在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置. 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,故正方形具有矩形、菱形的性质 性质:正方形的四个角都是直角,四条边相等正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角 线平分一组对角 有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 类型一 正方形的定义与性质 如图所示, 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O, 点 E 是 BC

3、上任意一点, EGBD于 G, EFAC 于 F, 若 AC=10, 则 EG+EF 的值为( ) A10 B4 C8 D5 教学过程 考点 1 矩形的定义和性质 二、知识讲解 一、导入 考点 2 矩形的判定 三 、例题精析 例题 1 【解析】D 根据 ABCD 是正方形,求得BEG,CEF 是等腰直角三角形,即可求得结果. ABCD 是正方形,AC,BD 是对角线, OBC=OCB=45, EGBD,EFAC, BEG,CEF 是等腰直角三角形 CF=EF ACBD, EFOG 是矩形 EG=FO EF+EG=CF+FO=CO=5, 故选 D. 【总结与反思】本题考查了正方形的性质,等腰直角

4、三角形的性质. 类型二 正方形中的旋转问题正方形中的旋转问题 在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E,作 EFAB 交 BD 于点 F,取FD 的中点 G,连接 EG、CG,如图(1), 易证 EG=CG 且 EGCG (1)将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90,如图(2),则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接 写出你的猜想 (2)将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180,如图(3),则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系?请写 出你的猜想,并加以证明 【解析】(1) EG=CG,EGCG (2)EG=CG,EGCG 例题 1 证明:延长 FE 交 D

5、C 延长线于 M,连 MG AEM=90,EBC=90,BCM=90, 四边形 BEMC 是矩形 BE=CM,EMC=90, 又BE=EF, EF=CM EMC=90,FG=DG, MG= 2 1 FD=FG BC=EM,BC=CD, EM=CD EF=CM, FM=DM, F=45 又 FG=DG, CMG= 2 1 EMC=45, F=GMC GFEGMC EG=CG,FGE=MGC FMC=90,MF=MD,FG=DG, MGFD, FGE+EGM=90, MGC+EGM=90, 即EGC=90, EGCG 【总结与反思】 此题是对正方形性质结合旋转的性质的考察,在正方形的题型中占有重要

6、的地位. 类型三 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分ABC,P 是 BD 上一点,过点 P 作 PMAD,PNCD,垂足 分别为 M,N (1)求证:ADB=CDB; (2)若ADC=90,求证:四边形 MPND 是正方形 【解析】 证明:(1)对角线 BD 平分ABC, ABD=CBD, 在ABD 和CBD 中, ABDCBD(SAS), ADB=CDB; (2)PMAD,PNCD, PMD=PND=90, ADC=90, 四边形 MPND 是矩形, ADB=CDB, ADB=45 PM=MD, 四边形 MPND 是正方形 【总

7、结与反思】根据正方形的性质及判定定理即可顺利解答此题. 例题 1 1.如图 ,正方形 ABCD 的边长为 4,M 在 DC 上,且 DM=1,N 是 AC 上一动点,则 DN+MN 的最小值为( ) A3 B4 C5 D 24 2.如图,点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一个动点(不与 B、D 重合),连结 AP,过点 B 作直线 AP 的 垂线,垂足为 H,连结 DH,若正方形的边长为 4,则线段 DH 长度的最小值是 3.如图,分别以线段 AB 的两个端点为圆心,大于 AB 的长为半径作弧,两弧交于 M、N 两点,连接 MN,交 AB 于点 D、C 是直线 MN 上任意一点,

8、连接 CA、CB,过点 D 作 DEAC 于点 E,DFBC 于点 F (1)求证: AEDBFD; (2)若 AB=2,当 CD 的值为 时,四边形 DECF 是正方形 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】四边形 ABCD 是正方形,点 B 与 D 关于直线 AC 对称, 连接 BD,BM 交 AC 于 N,连接 DN,N即为所求的点,则 BM 的长即为 DN+MN 的最小值, AC 是线段 BD 的垂直平分线,又 CM=CD-DM=4-1=3,在 RtBCM 中,BM= 22 CMBC=5, 四 、课堂运用 基础 故 DN+MN 的最小值是 5故选 C 2.【答案】252 【解析

9、】如图,取 AB 的中点 O,连接 OH、OD, 则 OH=AO= 1 2 AB=2, 在 RtAOD 中,OD= 2222 24OAAD=25, 根据三角形的三边关系,OH+DHOD, 当 O、D、H 三点共线时,DH 的长度最小, 最小值=ODOH=252 故答案是 252 3.【答案】见解析 【解析】 (1)证明:由作图知,MN 是线段 AB 的垂直平分线, C 是直线 MN 上任意一点,MN 交 AB 于点 D, CA=CB,AD=BD, A=B 在AED 与BFD 中, , AEDBFD(AAS); (2)解:若 AB=2,当 CD 的值为 1 时,四边形 DECF 是正方形理由如下

10、: AB=2, AD=BD=AB=1 CD=AD=BD=1,MNAB, ACD 与BCD 都是等腰直角三角形, ACD=BCD=45, ECF=ACD+BCD=90, DEC=DFC=90, 四边形 DECF 是矩形,CDE=9045=45, ECD=CDE=45, ED=CE, 矩形 DECF 是正方形 故答案为 1 1如图,将正方形 ABCD 沿 BE 对折,使点 A 落在对角线 BD 上的 A处,连接 AC,则BAC= 度 2如图,AB 是 CD 的垂直平分线,交 CD 于点 M,过点 M 作 MEA C,MFAD,垂足分别为 E、F (1)求证:CAB=DAB; (2)若CAD=90,

11、求证:四边形 AEMF 是正方形 巩固 3.猜想与证明: 如图 1 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF,使 B、C、G 三点在一条直线上,CE 在边 CD 上,连接 AF,若 M 为 AF 的中点,连接 DM、ME,试猜想 DM 与 ME 的关系,并证明你的结论 拓展与延伸: (1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF,其他条件不变,则 DM 和 ME 的关系为 (2) 如图 2 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF, 使点 F 在边 CD 上, 点 M 仍为 AF 的中点, 试证明 (1) 中的结论仍然成立 答案与解析答案与解析 1

12、.【答案】67.5. 【解析】由折叠的对称和正方形的性质,知ABEABE, BEA=67.50,ADE 是等腰直角三角形. 设 AE=AE=AD =x,则 ED=2x.设 CD=y,则 BD=2y. ED2xBD2y = 2= 2 A DxCDy ,. EDBD = A DCD . 又EDA=ADC=45 0,EDAADC.DAC=DEA=67.50450=112.50. BAC=1800112.50=67.50. 2.【答案】见解析 【解析】(1)证明:AB 是 CD 的垂直平分线, AC=AD, 又ABCD CAB=DAB(等腰三角形的三线合一); (2)证明:MEA C,MFAD,CAD

13、=90, 即CAD=AEM=AFM=90, 四边形 AEMF 是矩形, 又CAB=DAB,MEA C,MFAD, ME=MF, 矩形 AEMF 是正方形 3.【答案】见解析 【解析】(1)如图 1,延长 EM 交 AD 于点 H, 四边形 ABCD 和 CEFG 是矩形, ADEF, EFM=HAM, 又FME=AMH,FM=AM, 在FME 和AMH 中, AMHFME AMFM HAMEFM FMEAMH(ASA) HM=EM, 在 RTHDE 中,HM=EM, DM=HM=ME, DM=ME, 故答案为:DM=ME (2)如图 2,连接 AE, 四边形 ABCD 和 ECGF 是正方形,

14、 FCE=45,FCA=45, AE 和 EC 在同一条直线上, 在 RTADF 中,AM=MF, DM=AM=MF, 在 RTAEF 中,AM=MF, AM=MF=ME, DM=ME 1.如图,将边长为 2 的正方形纸片 ABCD 折叠,使点 B 落在 CD 上,落点记为 E(不与点 C,D 重合),点 A 落在点 F 处,折痕 MN 交 AD 于点 M,交 BC 于点 N若 1 2 CE CD ,则 BN 的长是 , AM BN 的值等于 ; 若 1CE CDn (2n,且为整数),则 AM BN 的值等于 (用含的式子表示) 2.结论: 在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那

15、么这条直角边所对的锐角等于 30 如图 1,在等边三角形 ABC 内有一点 P,且 PA=2, PB= 3 , PC=1求BPC 度数的大小和等边三角形 ABC 的边长 李明同学做了如图 2 所示的辅助线:将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60,画出旋转后的图形,连接 PP,从 而问题得到解决你能说说其中的理由吗? 请你参考李明同学的思路,解决下列问题: 如图 3,在正方形 ABCD 内有一点 P,且 PA=5,BP=2,PC=1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边 长 拔高 答案与解析答案与解析 1.【答案】 5 4 , 1 5 , n nn 2 12 2 【解析】连接 BM,EM,B

16、E,由题设,得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称,即可到得 MN 垂直平 分 BE,则 BM=EM,BN=EN根据正方形的性质可得A=D=C=90,设 AB=BC=CD=DA=2,由 2 1 CD CE 可得 CE=DE=1,设 BN=x,则 NE=x,NC=2-x,在 RtCNE 中,根据勾股定理即可列方程求得 x 的值,从而得到 BN 的长, 在 RtABM 和在 RtDEM 中, 根据勾股定理可得 AM 2+AB2=BM2, DM2+DE2=EM2, 则 AM2+AB2=DM2+DE2 设 AM=y, 则 DM=2-y, 即可列方程求得 BN AM 的值;当四边形

17、 ABCD 为正方形时,连接 BE, 1CE CDn ,不妨令 CD=CB=n,则 CE=1, 设 BN=x,则 EN=x,EN 2=NC2+CE2,x2=(n-x)2+12,x= n n 2 1 2 ;作 MHBC 于 H,则 MH=BC,又点 B,E 关于 MN 对称, 则 MNBE, EBC+BNM=90; 而NMH+BNM=90, 故EBC=NMH, 则EBCNMH, 则 NH=EC=1, AM=BH=BN-NH= n nn n n 2 12 1 2 1 22 ,从而可以求得结果. 连接 BM,EM,BE 由题设,得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称 MN 垂直

18、平分 BE, BM=EM,BN=EN 四边形 ABCD 是正方形, A=D=C=90,设 AB=BC=CD=DA=2 2 1 CD CE , CE=DE=1 设 BN=x,则 NE=x,NC=2-x 在 RtCNE 中,NE2=CN2+CE2 x 2=(2-x)2+12, 解得 4 5 x,即 4 5 BN 在 RtABM 和在 RtDEM 中,AM 2+AB2=BM2,DM2+DE2=EM2, AM2+AB2=DM2+DE2 设 AM=y,则 DM=2-y, y2+22=(2-y)2+12, 解得 4 1 y,即 4 1 AM 5 1 BN AM 当四边形 ABCD 为正方形时,连接 BE,

19、 1CE CDn , 不妨令 CD=CB=n,则 CE=1,设 BN=x,则 EN=x,EN 2=NC2+CE2,x2=(n-x)2+12,x= n n 2 1 2 ; 作 MHBC 于 H,则 MH=BC, 又点 B,E 关于 MN 对称,则 MNBE,EBC+BNM=90; 而NMH+BNM=90,故EBC=NMH,则EBCNMH, NH=EC=1,AM=BH=BN-NH= n nn n n 2 12 1 2 1 22 则: n nn BN AM 2 12 2 2.【答案】见解析 【解析】(1)根据旋转得出 AP=CP=1,BP=BP=3,PBC=PBA,APB=BPC,求出ABP+ AB

20、P=60,得到等边BPP,推出 PP=,BPP=60,求出APP=90即可求出BPC;过点 B 作 BMAP,交 AP的延长线于点 M,由MPB=30,求出 BM= 2 3 ,PM= 2 3 ,根据勾股定理即可求出答 案; (2)求出BEP= 2 1 (18090)=45,根据勾股定理的逆定理求出APP=90,推出BPC= AEB=90+45=135;过点 B 作 BFAE,交 AE 的延长线于点 F,求出 FE=BF=1,AF=2,关键勾股定理即可 求出 AB 试题解析:(1)ABC 是等边三角形, ABC=60, 将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60得出ABP, AP=CP=1,BP=BP

21、=3,PBC=PBA,APB=BPC, PBC+ABP=ABC=60, ABP+ABP=ABC=60, BPP是等边三角形, PP=3,BPP=60, AP=1,AP=2, AP2+PP2=AP2, APP=90, BPC=APB=90+60=150, 过点 B 作 BMAP,交 AP的延长线于点 M, MPB=30,BM= 2 3 , 由勾股定理得:PM=1.5, AM=1+1.5=2.5, 由勾股定理得:AB= 22 AMBM = 7 , (2)将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90得到AEB, 与(1)类似:可得:AE=PC=1,BE=BP= 2,BPC=AEB,ABE=PBC, EBP=

22、EBA+ABP=ABC=90, BEP= 2 1 (18090)=45, 由勾股定理得:EP=2, AE=1,AP=5,EP=2, AE2+PE2=AP2, AEP=90, BPC=AEB=90+45=135, 过点 B 作 BFAE,交 AE 的延长线于点 F; FEB=45, FE=BF=1, AF=2; 在 RtABF 中,由勾股定理,得 AB=5; BPC=135,正方形边长为 5 答:BPC 的度数是 135,正方形 ABCD 的边长是5 本节的重要内容:正方形的性质与判定. 有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 1.如图,将正方

23、形对折后展开(图是连续两次对折后再展开),再按图示方法折叠,能够得到一个直角 三角形(阴影部分),且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有( ) 图 图 图 图 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2.如图,已知线段 AB=10,AC=BD=2,点 P 是 CD 上一动点,分别以 AP、PB 为边向上、向下作正 方形 APEF 和 PHKB,设正方形对角线的交点分别为 O1、O2,当点 P 从点 C 运动到点 D 时,线段 O1O2 中点 G 的运动路径的长是_ 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 3.如图,在 Rt ABC 中,ACB=90,过点 C 的直线 MNAB,D 为 AB

24、边上一点,过点 D 作 DEBC,交直线 MN 于 E,垂足为 F,连接 CD、BE (1)求证:CE=AD; (2)当 D 在 AB 中点时,四边形 BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由; (3)若 D 为 AB 中点,则当A 的大小满足什么条件时,四边形 BECD 是正方形?请说明你的理由 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】 根据含 30角所对的直角边等于斜边一半, 然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于 30, 从而判断出答案 试题解析:设正方形的边长为 a, 在图中,CE=ED= 1 4 a,BC=DB=a, 故EBC=CEB30,故ECB,故不能满足它的一条直角边

25、等于斜边的一半 在图中,BC= 1 2 a,AC=AE=a, 故BAC=30, 从而可得CAD=EAD=30,故能满足它的一条直角边等于斜边的一半 在图中,AC= 1 2 a,AB=a, 故ABC=DBC30,故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半 在图中,AE= 1 4 a,AB=AD= 1 2 a, 故ABE=30,EAB=60, 从而可得BAC=DAC=60,ACB=30,故能满足它的一条直角边等于斜边的一半 综上可得有 2 个满足条件 故选 C 2.【答案】3 2 【解析】 根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长,进而得出线段 O1O2中点 G 的运动路 径的长 试题解析

26、:如图所示: 当 P 移动到 C 点以及 D 点时,得出 G 点移动路线是直线, 利用正方形的性质即线段 O1O2中点 G 的运动路径的长就是 O2O的长, 线段 AB=10,AC=BD=2,当 P 与 C 重合时,以 AP、PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB, AP=2,BP=8, 则 O1P=2,O2P=42, O2P=O2B=24, 当 P与 D 重合,则 PB=2,则 AP=8, OP=42,OP=2, HO=BO=2, O2O=23224 故答案为:23 3.【答案】见解析 【解析】(1)证明:DEBC, DFB=90, ACB=90, ACB=DFB, ACDE,

27、 MNAB,即 CEAD, 四边形 ADEC 是平行四边形, CE=AD; (2)解:四边形 BECD 是菱形, 理由是:D 为 AB 中点, AD=BD, CE=AD, BD=CE, BDCE, 四边形 BECD 是平行四边形, ACB=90,D 为 AB 中点, CD=BD, 四边形 BECD 是菱形; (3)当A=45时,四边形 BECD 是正方形,理由是: 解:ACB=90,A=45, ABC=A=45, AC=BC, D 为 BA 中点, CDAB, CDB=90, 四边形 BECD 是菱形, 四边形 BECD 是正方形, 即当A=45时,四边形 BECD 是正方形 巩固 1.四边形

28、 ABCD、AEFG 都是正方形,当正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45时,如图,连接 DG、BE,并延长 BE 交 DG 于点 H,且 BHDG 与 H若 AB=4,AE=时,则线段 BH 的长是 2.如图,正方形 ABCD 的边长是 2,DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点,则 DQ+PQ 的最小值为 3.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BEDE,其中DE交直线AP于 点F (1)依题意补全图 1; (2)若20PAB,求 ADF 的度数; (3)如图 2,若45 90PAB ,用等式表示线段ABFEF

29、D, 之间的数量关系,并证明 答案与解析答案与解析 1.【答案】 5 58 【解析】 连结 GE 交 AD 于点 N,连结 DE,由于正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45,AF 与 EG 互相垂直平 分,且 AF 在 AD 上,由 AE=2可得到 AN=GN=1,所以 DN=41=3,然后根据勾股定理可计算出 DG=10, 则 BE=10,解着利用 SDEG= 2 1 GEND= 2 1 DGHE 可计算出 HE,所以 BH=BE+HE 解:连结 GE 交 AD 于点 N,连结 DE,如图, 正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45, AF 与 EG 互相垂直平分,且 AF 在 A

30、D 上, 2AE 10 314 1 22 GDDNDGDNGRt DN GNAN 中,在 由题间可得:AGDABE o 得到相当于逆时针旋转 09 5 103 10 6 2 1 2 1 10 HE HEDGNDGES BEDG DEG 5 108 5 108 10 5 103 故答案为: HEBEBH 2.【答案】2 【解析】过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F,交 AC 于 D,再过 D作 DPAD,由角平分线的性质可得出 D 是 D 关于 AE 的对称点,进而可知 DP即为 DQ+PQ 的最小值 作 D 关于 AE 的对称点 D,再过 D作 DPAD 于 P, DDAE, AFD=AF

31、D, AF=AF,DAE=CAE, DAFDAF, D是 D 关于 AE 的对称点,AD=AD=2, DP即为 DQ+PQ 的最小值, 四边形 ABCD 是正方形, DAD=45, AP=PD, 在 RtAPD中, PD2+AP2=AD2,AD2=4, AP=PD, 2PD2=AD2,即 2PD2=4, PD= 2,即 DQ+PQ 的最小值为2 考点:1.轴对称-最短路线问题;2.正方形的性质 2.【答案】见解析 【解析】(1)按照题意补全图形 应用轴对称的性质及正方形的性质、等腰三角形的性质解决问题 依照题意画出图形,然后应用轴对称的性质等进行解答 试题解析:(1)补全图形如图所示: (2)

32、 连接 AE 则PAB=PAE=20,AE=AB=AD ABCD 是正方形 BAD=90 EAD=130 ADF=25 (3) 连接 AE、BF、BD 由轴对称的性质可得:EF=BF,AE=AB=AD,ABF=AEF=ADF BFD=BAD=90 BF2+FD2=BD2 EF2+FD2=2AB2 1.阅读下面材料: 小炎遇到这样一个问题: 如图1, 点E、 F分别在正方形ABCD的边BC, CD上, EAF=45, 连结EF, 则EF=BE+DF, 试说明理由 小炎是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、 旋转、平移的方法,最后发现线段 AB,AD

33、 是共点并且相等的,于是找到解决问题的方法她的方法是将 拔高 ABE 绕着点 A 逆时针旋转 90得到ADG,再利用全等的知识解决了这个问题(如图 2) 参考小炎同学思考问题的方法,解决下列问题: (1)如图 3,四边形 ABCD 中,AB=AD,BAD=90点 E,F 分别在边 BC,CD 上,EAF=45若B,D 都不是直角,则当B 与D 满足_ 关系时,仍有 EF=BE+DF; (2)如图 4,在ABC 中,BAC=90,AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上,且DAE=45,若 BD=1, EC=2, 求 DE 的长 2如图甲,在ABC 中,ACB 为锐角点 D 为射线 BC 上一动

34、点,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作 正方形 ADEF 解答下列问题: (1)如果 AB=AC,BAC=90 当点D在线段BC上时 (与点B不重合) , 如图乙, 线段CF、 BD之间的位置关系为 , 数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果 ABAC,BAC90,点 D 在线段 BC 上运动 试探究:当ABC 满足一个什么条件时,CFBC(点 C、F 重合除外)?画出相应图形,并说明理由(画 图不写作法) (3)若 AC4 2,BC=3,在(2)的条件下,设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P,求

35、线段 CP 长 的最大值 答案与解析答案与解析 1.【答案】(1)B+D=180(或互补);(2) 5DE 【解析】(1)B+D=180(或互补) (2) AB=AC, 把ABD 绕 A 点逆时针旋转 90至ACG,可使 AB 与 AC 重合 B=ACG, BD=CG, AD=AG ABC 中,BAC=90, ACB+ACG=ACB+B=90 即ECG=90 EC 2+CG2=EG2 在AEG 与AED 中, EAG=EAC+CAG=EAC+BAD=90-EAD=45=EAD 又AD=AG,AE=AE, AEGAED DE=EG 又CG=BD, BD 2+EC2=DE2 5DE 1.【答案】见

36、解析 【解析】(1)CF 与 BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD=AF ,DAF=90 BAC=90,DAF=BAC , DAB=FAC, 又 AB=AC ,DABFAC , CF=BD ACF=ABD BAC=90, AB=AC ,ABC=45,ACF=45, BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD CPCD DQAQ 44 CPx x (2)画图正确 当BCA=45时,CFBD(如图丁) 理由是:过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G,AC=AG 可证:GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即 CFBD (3)当具备BCA=45时, 过点 A 作 AQBC 交 BC 的延长线于点 Q,(如图戊) DE 与 CF 交于点 P 时, 此时点 D 位于线段 CQ 上, BCA=45,可求出 AQ= CQ=4设 CD=x , DQ=4x, 容易说明AQDDCP, 2 2 1 (2)1 44 x CPxx 0 x3 当 x=2 时,CP 有最大值 1 七 、教学反思

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