1、 正方形的性质与判定 第3讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 正方形的性质 正方形中的旋转问题 正方形的性质与判定 教学目标 1、掌握正方形的性质与判定. 2、掌握正方形的旋转问题. 教学重点 能熟练掌握正方形的性质与判定. 教学难点 正方形综合题. 【教学建议教学建议】 正方形这种图形在生活中比较常见，并且在小学阶段已有涉及，在教学过程中，结合现实生活中的矩 形物体和复习回顾学过的矩形知识，将使学生对正方形的性质和判定有一个更深刻的认识. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 在这一部分知识的学习中，要重视学生
2、灵活运用所学知识点的能力培养. 在小学阶段的学习中我们已经学习过了正方形的性质和判定，在本讲中我们将会更加深入地学习正方 形，正方形在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质 性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角 线平分一组对角 有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 类型一 正方形的定义与性质 如图所示， 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O， 点 E 是 BC
3、上任意一点， EGBD于 G， EFAC 于 F， 若 AC=10， 则 EG+EF 的值为（ ） A10 B4 C8 D5 教学过程 考点 1 矩形的定义和性质 二、知识讲解 一、导入 考点 2 矩形的判定 三 、例题精析 例题 1 【解析】D 根据 ABCD 是正方形，求得BEG，CEF 是等腰直角三角形，即可求得结果. ABCD 是正方形，AC，BD 是对角线， OBC=OCB=45， EGBD，EFAC， BEG，CEF 是等腰直角三角形 CF=EF ACBD， EFOG 是矩形 EG=FO EF+EG=CF+FO=CO=5， 故选 D. 【总结与反思】本题考查了正方形的性质，等腰直角
4、三角形的性质. 类型二 正方形中的旋转问题正方形中的旋转问题 在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取FD 的中点 G，连接 EG、CG，如图（1）， 易证 EG=CG 且 EGCG （1）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90，如图（2），则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接 写出你的猜想 （2）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180，如图（3），则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写 出你的猜想，并加以证明 【解析】（1） EG=CG，EGCG （2）EG=CG，EGCG 例题 1 证明：延长 FE 交 D
5、C 延长线于 M，连 MG AEM=90，EBC=90，BCM=90， 四边形 BEMC 是矩形 BE=CM，EMC=90， 又BE=EF， EF=CM EMC=90，FG=DG， MG= 2 1 FD=FG BC=EM，BC=CD， EM=CD EF=CM， FM=DM， F=45 又 FG=DG， CMG= 2 1 EMC=45， F=GMC GFEGMC EG=CG，FGE=MGC FMC=90，MF=MD，FG=DG， MGFD， FGE+EGM=90， MGC+EGM=90， 即EGC=90， EGCG 【总结与反思】 此题是对正方形性质结合旋转的性质的考察，在正方形的题型中占有重要
6、的地位. 类型三 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMAD，PNCD，垂足 分别为 M，N （1）求证：ADB=CDB； （2）若ADC=90，求证：四边形 MPND 是正方形 【解析】 证明：（1）对角线 BD 平分ABC， ABD=CBD， 在ABD 和CBD 中， ABDCBD（SAS）， ADB=CDB； （2）PMAD，PNCD， PMD=PND=90， ADC=90， 四边形 MPND 是矩形， ADB=CDB， ADB=45 PM=MD， 四边形 MPND 是正方形 【总
7、结与反思】根据正方形的性质及判定定理即可顺利解答此题. 例题 1 1.如图 ，正方形 ABCD 的边长为 4，M 在 DC 上，且 DM=1，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为（ ） A3 B4 C5 D 24 2.如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一个动点（不与 B、D 重合），连结 AP，过点 B 作直线 AP 的 垂线，垂足为 H，连结 DH，若正方形的边长为 4，则线段 DH 长度的最小值是 3.如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 M、N 两点，连接 MN，交 AB 于点 D、C 是直线 MN 上任意一点，
8、连接 CA、CB，过点 D 作 DEAC 于点 E，DFBC 于点 F （1）求证： AEDBFD； （2）若 AB=2，当 CD 的值为 时，四边形 DECF 是正方形 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】四边形 ABCD 是正方形，点 B 与 D 关于直线 AC 对称， 连接 BD，BM 交 AC 于 N，连接 DN，N即为所求的点，则 BM 的长即为 DN+MN 的最小值， AC 是线段 BD 的垂直平分线，又 CM=CD-DM=4-1=3，在 RtBCM 中，BM= 22 CMBC=5， 四 、课堂运用 基础 故 DN+MN 的最小值是 5故选 C 2.【答案】252 【解析
9、】如图，取 AB 的中点 O，连接 OH、OD， 则 OH=AO= 1 2 AB=2， 在 RtAOD 中，OD= 2222 24OAAD=25， 根据三角形的三边关系，OH+DHOD， 当 O、D、H 三点共线时，DH 的长度最小， 最小值=ODOH=252 故答案是 252 3.【答案】见解析 【解析】 （1）证明：由作图知，MN 是线段 AB 的垂直平分线， C 是直线 MN 上任意一点，MN 交 AB 于点 D， CA=CB，AD=BD， A=B 在AED 与BFD 中， ， AEDBFD（AAS）； （2）解：若 AB=2，当 CD 的值为 1 时，四边形 DECF 是正方形理由如下
10、： AB=2， AD=BD=AB=1 CD=AD=BD=1，MNAB， ACD 与BCD 都是等腰直角三角形， ACD=BCD=45， ECF=ACD+BCD=90， DEC=DFC=90， 四边形 DECF 是矩形，CDE=9045=45， ECD=CDE=45， ED=CE， 矩形 DECF 是正方形 故答案为 1 1如图，将正方形 ABCD 沿 BE 对折，使点 A 落在对角线 BD 上的 A处，连接 AC，则BAC= 度 2如图，AB 是 CD 的垂直平分线，交 CD 于点 M，过点 M 作 MEA C，MFAD，垂足分别为 E、F （1）求证：CAB=DAB； （2）若CAD=90，
11、求证：四边形 AEMF 是正方形 巩固 3.猜想与证明： 如图 1 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF，使 B、C、G 三点在一条直线上，CE 在边 CD 上，连接 AF，若 M 为 AF 的中点，连接 DM、ME，试猜想 DM 与 ME 的关系，并证明你的结论 拓展与延伸： （1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF，其他条件不变，则 DM 和 ME 的关系为 （2） 如图 2 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF， 使点 F 在边 CD 上， 点 M 仍为 AF 的中点， 试证明 （1） 中的结论仍然成立 答案与解析答案与解析 1
12、.【答案】67.5. 【解析】由折叠的对称和正方形的性质，知ABEABE， BEA=67.50，ADE 是等腰直角三角形. 设 AE=AE=AD =x，则 ED=2x.设 CD=y，则 BD=2y. ED2xBD2y = 2= 2 A DxCDy ，. EDBD = A DCD . 又EDA=ADC=45 0，EDAADC.DAC=DEA=67.50450=112.50. BAC=1800112.50=67.50. 2.【答案】见解析 【解析】（1）证明：AB 是 CD 的垂直平分线， AC=AD， 又ABCD CAB=DAB（等腰三角形的三线合一）； （2）证明：MEA C，MFAD，CAD
13、=90， 即CAD=AEM=AFM=90， 四边形 AEMF 是矩形， 又CAB=DAB，MEA C，MFAD， ME=MF， 矩形 AEMF 是正方形 3.【答案】见解析 【解析】（1）如图 1，延长 EM 交 AD 于点 H， 四边形 ABCD 和 CEFG 是矩形， ADEF， EFM=HAM， 又FME=AMH，FM=AM， 在FME 和AMH 中， AMHFME AMFM HAMEFM FMEAMH（ASA） HM=EM， 在 RTHDE 中，HM=EM， DM=HM=ME， DM=ME， 故答案为：DM=ME （2）如图 2，连接 AE， 四边形 ABCD 和 ECGF 是正方形，
14、 FCE=45，FCA=45， AE 和 EC 在同一条直线上， 在 RTADF 中，AM=MF， DM=AM=MF， 在 RTAEF 中，AM=MF， AM=MF=ME， DM=ME 1.如图，将边长为 2 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 上，落点记为 E（不与点 C，D 重合），点 A 落在点 F 处，折痕 MN 交 AD 于点 M，交 BC 于点 N若 1 2 CE CD ，则 BN 的长是 ， AM BN 的值等于 ； 若 1CE CDn （2n，且为整数），则 AM BN 的值等于 （用含的式子表示） 2.结论: 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那
15、么这条直角边所对的锐角等于 30 如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2， PB= 3 ， PC=1求BPC 度数的大小和等边三角形 ABC 的边长 李明同学做了如图 2 所示的辅助线：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60，画出旋转后的图形，连接 PP，从 而问题得到解决你能说说其中的理由吗？ 请你参考李明同学的思路，解决下列问题： 如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA=5，BP=2，PC=1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边 长 拔高 答案与解析答案与解析 1.【答案】 5 4 ， 1 5 ， n nn 2 12 2 【解析】连接 BM，EM，B
16、E，由题设，得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称，即可到得 MN 垂直平 分 BE，则 BM=EM，BN=EN根据正方形的性质可得A=D=C=90，设 AB=BC=CD=DA=2，由 2 1 CD CE 可得 CE=DE=1，设 BN=x，则 NE=x，NC=2-x，在 RtCNE 中，根据勾股定理即可列方程求得 x 的值，从而得到 BN 的长， 在 RtABM 和在 RtDEM 中， 根据勾股定理可得 AM 2+AB2=BM2， DM2+DE2=EM2， 则 AM2+AB2=DM2+DE2 设 AM=y， 则 DM=2-y， 即可列方程求得 BN AM 的值；当四边形
17、 ABCD 为正方形时，连接 BE， 1CE CDn ，不妨令 CD=CB=n，则 CE=1， 设 BN=x，则 EN=x，EN 2=NC2+CE2，x2=（n-x）2+12，x= n n 2 1 2 ；作 MHBC 于 H，则 MH=BC，又点 B，E 关于 MN 对称， 则 MNBE， EBC+BNM=90； 而NMH+BNM=90， 故EBC=NMH， 则EBCNMH， 则 NH=EC=1， AM=BH=BN-NH= n nn n n 2 12 1 2 1 22 ，从而可以求得结果. 连接 BM，EM，BE 由题设，得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称 MN 垂直
18、平分 BE， BM=EM，BN=EN 四边形 ABCD 是正方形， A=D=C=90，设 AB=BC=CD=DA=2 2 1 CD CE ， CE=DE=1 设 BN=x，则 NE=x，NC=2-x 在 RtCNE 中，NE2=CN2+CE2 x 2=（2-x）2+12， 解得 4 5 x，即 4 5 BN 在 RtABM 和在 RtDEM 中，AM 2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2， AM2+AB2=DM2+DE2 设 AM=y，则 DM=2-y， y2+22=（2-y）2+12， 解得 4 1 y，即 4 1 AM 5 1 BN AM 当四边形 ABCD 为正方形时，连接 BE，
19、 1CE CDn ， 不妨令 CD=CB=n，则 CE=1，设 BN=x，则 EN=x，EN 2=NC2+CE2，x2=（n-x）2+12，x= n n 2 1 2 ； 作 MHBC 于 H，则 MH=BC， 又点 B，E 关于 MN 对称，则 MNBE，EBC+BNM=90； 而NMH+BNM=90，故EBC=NMH，则EBCNMH， NH=EC=1，AM=BH=BN-NH= n nn n n 2 12 1 2 1 22 则： n nn BN AM 2 12 2 2.【答案】见解析 【解析】（1）根据旋转得出 AP=CP=1，BP=BP=3，PBC=PBA，APB=BPC，求出ABP+ AB
20、P=60，得到等边BPP，推出 PP=，BPP=60，求出APP=90即可求出BPC；过点 B 作 BMAP，交 AP的延长线于点 M，由MPB=30，求出 BM= 2 3 ，PM= 2 3 ，根据勾股定理即可求出答 案； （2）求出BEP= 2 1 （18090）=45，根据勾股定理的逆定理求出APP=90，推出BPC= AEB=90+45=135；过点 B 作 BFAE，交 AE 的延长线于点 F，求出 FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可 求出 AB 试题解析：（1）ABC 是等边三角形， ABC=60， 将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60得出ABP， AP=CP=1，BP=BP
21、=3，PBC=PBA，APB=BPC， PBC+ABP=ABC=60， ABP+ABP=ABC=60， BPP是等边三角形， PP=3，BPP=60， AP=1，AP=2， AP2+PP2=AP2， APP=90， BPC=APB=90+60=150， 过点 B 作 BMAP，交 AP的延长线于点 M， MPB=30，BM= 2 3 ， 由勾股定理得：PM=1.5， AM=1+1.5=2.5， 由勾股定理得：AB= 22 AMBM = 7 ， （2）将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90得到AEB， 与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP= 2，BPC=AEB，ABE=PBC， EBP=
22、EBA+ABP=ABC=90， BEP= 2 1 （18090）=45， 由勾股定理得：EP=2， AE=1，AP=5，EP=2， AE2+PE2=AP2， AEP=90， BPC=AEB=90+45=135， 过点 B 作 BFAE，交 AE 的延长线于点 F； FEB=45， FE=BF=1， AF=2； 在 RtABF 中，由勾股定理，得 AB=5； BPC=135，正方形边长为 5 答：BPC 的度数是 135，正方形 ABCD 的边长是5 本节的重要内容：正方形的性质与判定. 有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 1.如图，将正方
23、形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角 三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有（ ） 图 图 图 图 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2.如图，已知线段 AB=10，AC=BD=2，点 P 是 CD 上一动点，分别以 AP、PB 为边向上、向下作正 方形 APEF 和 PHKB，设正方形对角线的交点分别为 O1、O2，当点 P 从点 C 运动到点 D 时，线段 O1O2 中点 G 的运动路径的长是_ 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 3.如图，在 Rt ABC 中，ACB=90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB
24、边上一点，过点 D 作 DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE （1）求证：CE=AD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若 D 为 AB 中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】 根据含 30角所对的直角边等于斜边一半， 然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于 30， 从而判断出答案 试题解析：设正方形的边长为 a， 在图中，CE=ED= 1 4 a，BC=DB=a， 故EBC=CEB30，故ECB，故不能满足它的一条直角边
25、等于斜边的一半 在图中，BC= 1 2 a，AC=AE=a， 故BAC=30， 从而可得CAD=EAD=30，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半 在图中，AC= 1 2 a，AB=a， 故ABC=DBC30，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半 在图中，AE= 1 4 a，AB=AD= 1 2 a， 故ABE=30，EAB=60， 从而可得BAC=DAC=60，ACB=30，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半 综上可得有 2 个满足条件 故选 C 2.【答案】3 2 【解析】 根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段 O1O2中点 G 的运动路 径的长 试题解析
26、：如图所示： 当 P 移动到 C 点以及 D 点时，得出 G 点移动路线是直线， 利用正方形的性质即线段 O1O2中点 G 的运动路径的长就是 O2O的长， 线段 AB=10，AC=BD=2，当 P 与 C 重合时，以 AP、PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB， AP=2，BP=8， 则 O1P=2，O2P=42， O2P=O2B=24， 当 P与 D 重合，则 PB=2，则 AP=8， OP=42，OP=2， HO=BO=2， O2O=23224 故答案为：23 3.【答案】见解析 【解析】（1）证明：DEBC， DFB=90， ACB=90， ACB=DFB， ACDE，
27、 MNAB，即 CEAD， 四边形 ADEC 是平行四边形， CE=AD； （2）解：四边形 BECD 是菱形， 理由是：D 为 AB 中点， AD=BD， CE=AD， BD=CE， BDCE， 四边形 BECD 是平行四边形， ACB=90，D 为 AB 中点， CD=BD， 四边形 BECD 是菱形； （3）当A=45时，四边形 BECD 是正方形，理由是： 解：ACB=90，A=45， ABC=A=45， AC=BC， D 为 BA 中点， CDAB， CDB=90， 四边形 BECD 是菱形， 四边形 BECD 是正方形， 即当A=45时，四边形 BECD 是正方形 巩固 1.四边形
28、 ABCD、AEFG 都是正方形，当正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图，连接 DG、BE，并延长 BE 交 DG 于点 H，且 BHDG 与 H若 AB=4，AE=时，则线段 BH 的长是 2.如图，正方形 ABCD 的边长是 2，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 3.在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BEDE，其中DE交直线AP于 点F （1）依题意补全图 1； （2）若20PAB，求 ADF 的度数； （3）如图 2，若45 90PAB ，用等式表示线段ABFEF
29、D， 之间的数量关系，并证明 答案与解析答案与解析 1.【答案】 5 58 【解析】 连结 GE 交 AD 于点 N，连结 DE，由于正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45，AF 与 EG 互相垂直平 分，且 AF 在 AD 上，由 AE=2可得到 AN=GN=1，所以 DN=41=3，然后根据勾股定理可计算出 DG=10， 则 BE=10，解着利用 SDEG= 2 1 GEND= 2 1 DGHE 可计算出 HE，所以 BH=BE+HE 解：连结 GE 交 AD 于点 N，连结 DE，如图， 正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45， AF 与 EG 互相垂直平分，且 AF 在 A
30、D 上， 2AE 10 314 1 22 GDDNDGDNGRt DN GNAN 中，在 由题间可得：AGDABE o 得到相当于逆时针旋转 09 5 103 10 6 2 1 2 1 10 HE HEDGNDGES BEDG DEG 5 108 5 108 10 5 103 故答案为： HEBEBH 2.【答案】2 【解析】过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F，交 AC 于 D，再过 D作 DPAD，由角平分线的性质可得出 D 是 D 关于 AE 的对称点，进而可知 DP即为 DQ+PQ 的最小值 作 D 关于 AE 的对称点 D，再过 D作 DPAD 于 P， DDAE， AFD=AF
31、D， AF=AF，DAE=CAE， DAFDAF， D是 D 关于 AE 的对称点，AD=AD=2， DP即为 DQ+PQ 的最小值， 四边形 ABCD 是正方形， DAD=45， AP=PD， 在 RtAPD中， PD2+AP2=AD2，AD2=4， AP=PD， 2PD2=AD2，即 2PD2=4， PD= 2，即 DQ+PQ 的最小值为2 考点：1.轴对称-最短路线问题；2.正方形的性质 2.【答案】见解析 【解析】（1）按照题意补全图形 应用轴对称的性质及正方形的性质、等腰三角形的性质解决问题 依照题意画出图形，然后应用轴对称的性质等进行解答 试题解析：（1）补全图形如图所示： （2）
32、 连接 AE 则PAB=PAE=20，AE=AB=AD ABCD 是正方形 BAD=90 EAD=130 ADF=25 （3） 连接 AE、BF、BD 由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，ABF=AEF=ADF BFD=BAD=90 BF2+FD2=BD2 EF2+FD2=2AB2 1.阅读下面材料： 小炎遇到这样一个问题： 如图1， 点E、 F分别在正方形ABCD的边BC， CD上， EAF=45， 连结EF， 则EF=BE+DF， 试说明理由 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、 旋转、平移的方法，最后发现线段 AB，AD
33、 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将 拔高 ABE 绕着点 A 逆时针旋转 90得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2） 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90点 E，F 分别在边 BC，CD 上，EAF=45若B，D 都不是直角，则当B 与D 满足_ 关系时，仍有 EF=BE+DF； （2）如图 4，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且DAE=45，若 BD=1， EC=2， 求 DE 的长 2如图甲，在ABC 中，ACB 为锐角点 D 为射线 BC 上一动
34、点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作 正方形 ADEF 解答下列问题： （1）如果 AB=AC，BAC=90 当点D在线段BC上时 （与点B不重合） ， 如图乙， 线段CF、 BD之间的位置关系为 ， 数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 ABAC，BAC90，点 D 在线段 BC 上运动 试探究：当ABC 满足一个什么条件时，CFBC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画 图不写作法） （3）若 AC4 2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求
35、线段 CP 长 的最大值 答案与解析答案与解析 1.【答案】（1）B+D=180（或互补）；（2） 5DE 【解析】（1）B+D=180（或互补） （2） AB=AC， 把ABD 绕 A 点逆时针旋转 90至ACG，可使 AB 与 AC 重合 B=ACG, BD=CG, AD=AG ABC 中，BAC=90， ACB+ACG=ACB+B=90 即ECG=90 EC 2+CG2=EG2 在AEG 与AED 中, EAG=EAC+CAG=EAC+BAD=90-EAD=45=EAD 又AD=AG，AE=AE， AEGAED DE=EG 又CG=BD, BD 2+EC2=DE2 5DE 1.【答案】见
36、解析 【解析】（1）CF 与 BD 位置关系是垂直、数量关系是相等； 当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD=AF ，DAF=90 BAC=90，DAF=BAC ， DAB=FAC， 又 AB=AC ，DABFAC ， CF=BD ACF=ABD BAC=90， AB=AC ，ABC=45，ACF=45， BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD CPCD DQAQ 44 CPx x （2）画图正确 当BCA=45时，CFBD（如图丁） 理由是：过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G，AC=AG 可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即 CFBD （3）当具备BCA=45时， 过点 A 作 AQBC 交 BC 的延长线于点 Q，（如图戊） DE 与 CF 交于点 P 时， 此时点 D 位于线段 CQ 上， BCA=45，可求出 AQ= CQ=4设 CD=x ， DQ=4x， 容易说明AQDDCP， 2 2 1 (2)1 44 x CPxx 0 x3 当 x=2 时，CP 有最大值 1 七 、教学反思