1、 因式分解法解一元二次方程 及根与系数的关系 第6讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 因式分解法解一元二次方程 一元二次方程根与系数之间关系应用 利用根与系数之间的关系求字母的值及方程的解 4、根与系数之间关系的易错题 教学目标 1、掌握解一元如此方程的方法. 2、应用根与系数直接的关系解题. 教学重点 能熟练掌握求解一元二次方程的方法. 教学难点 根与系数之间的关系. 【教学建议教学建议】 因式分解法解一元二次方程是三种解法中最简单的一种方法，但是学习的过程是最难的，根与系数的 关系也是极为重要的一部分知识，因此在学习本讲之前要求学
2、生做好预习，上课认真听讲是十分有必要的. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 在这一部分知识的学习中，要求学生理解因式分解的做题方法，牢记跟与系数判别式的公式，认真细 心地多做练习是快速提升对这部分知识掌握程度的最好方法. 因式分解法解一元二次方程是十分便捷的一种解题方法，在学习的时候要注意比较三种解法的优劣， 找到最合适的解题方法. 在方程右边为 0 的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法 解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为 0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个 一次因式分别为 0，从而实现降次，得到两个一
3、元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能 是原方程的解.这种解法叫做因式分解法. 配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相 乘，另一边为 0，再分别使各一次因式等于 0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于 某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次. 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数 a b xx 21 ； 两根之积等于常数项与二次项系数的比. a c xx 21 ； 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到. 教学过程 考点 1 因式分解法解一元二次方程 二
4、、知识讲解 一、导入 考点 2 根与系数关系的判别式 类型一 用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程 解方程：2(x3)3x(x3) 【解析】解：2（x3）=3x（x3） 移项得：2（x3）3x（x3）=0 提取公因式 x3 得：（x3）（23x）=0 x3=0 或 23x=0 解得：x1=3， 2 2 x 3 . 【总结与反思】本题考查了因式分解法法的使用.移项后提取公因式 x3 后利用因式分解法求得一元二次 方程的解即可. 类型二 一元二次方程根与系数之间关系应用一元二次方程根与系数之间关系应用 已知一元二次方程 2 2310 xx 的两根为 12 ,x x ，则 21 11
5、 xx _ 【解析】-3 由题意得 x1+x2=1.5，x1x2=-0.5 所以 21 11 xx 21 21 xx xx =-3. 【总结与反思】 此题考察根与系数关系的判别式的应用. 类型三 利用根与系数之间的关系求字母的值及方程的解利用根与系数之间的关系求字母的值及方程的解 已知一元二次方程02 2 mxx. 三 、例题精析 例题 1 例题 1 例题 1 1 44 044 014)2( 2 m m m m mxx xx 21 21 2 （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，且33 21 xx，求 m 的值. 【解析】 （1） （2） 因33
6、21 xx 解得 2 1 , 2 3 21 xx 所以得 4 3 m 【总结与反思】此题考察了根与系数判别式的灵活运用. 1.三角形的两边长分别为 2 和 6，第三边是方程 2 x10 x+21=0的解，则第三边的长为【 】 （A）7 （B）3 （C）7 或 3 （D）无法确定 2.若一个一元二次方程的两个根分别是 RtABC 的两条直角边长，且 SABC=3，请写出一个符合题意的一元 二次方程 _ 3.孔明同学在解一元二次方程 x 23x+c=0 时，正确解得 x 1=1，x2=2，则 c 的值为 4.（1） 209y20y2=0； （2）x2-5x-6=0 答案与解析答案与解析 1.【答案
7、】C 【解析】由 2 x10 x+21=0因式分解得：（x3）（x7）=0，解得：x1=3，x2=7. 三角形的第三边是 2 x10 x+21=0的解，三角形的第三边为 3 或 7. 当三角形第三边为 3 时，2+36，不能构成三角形，舍去； 当三角形第三边为 7 时，三角形三边分别为 2，6，7，能构成三角形. 第三边的长为 7.故选 A. 2.【答案】x 2-5x+6=0（答案不唯一） 四 、课堂运用 基础 12 54 , 45 yy 【解析】一个一元二次方程的两个根分别是 RtABC 的两条直角边长，且 SABC=3， 一元二次方程的两个根的乘积为：32=6， 此方程可以为；x 25x+
8、6=0， 故答案为：x 25x+6=0（答案不唯一） 3.【答案】1、2 【解析】一元二次方程根与系数的关系： a b xx 21 ， a c xx 21 由题意得cxx 21 ，则2c 4. 【答案】（1） （2）x1=-1，x2=6 【解析】（1）04y55y4）（ （2）（x+1）（x-6）=0 1.已知方程042 2 mxx两根的绝对值相等，则 m= . 2.一个数平方的 2 倍等于这个数的 7 倍，求这个数 3.已知 21 xx，是一元二次方程0 2 nxmx的两个实数根，且 5 22 3)( 2 2 2 1 2 21 2 2 2 1 xx xxxx， ，求m和n的值. 答案与解析答
9、案与解析 1.1.【答案】见解析. 【解析】，则：，解：设方程两根为 21 xx 2 2 2121 xx m xx， 21 xx 2121 xxxx或 032 2 21 mxx时，当 032 2 m 21 xx 0 2121 xxxx时，当0 2 21 m xx0m 巩固 0320 2 mm时，当两根绝对值相等042 2 mxx。时，0m 12 7 0, 2 xx 2.【答案】见解析. 【解析】由题意可列方程为： 2 27xx 2 12 27 (27)0 7 0, 2 xx xx xx 3.【答案】见解析. 【解析】是一元二次方程，解： 21 xx的两根，0 2 nxmx nxxmxx 212
10、1 ， ，3)( 2 21 2 2 2 1 xxxx 3)(2)( 2 2121 2 21 xxxxxx 32)(2 2 nm 2 3 nm 2 3 nm 5 22 2 2 2 1 xx 5 )( 2)( 2 2 21 21 2 21 xx xxxx 5 2)( 2 2 2 n nm 2 542nnm 将代入，得：0325 2 nn0) 1)(35(nn 1 5 3 nn或 10 21 5 3 mn时，当； 2 1 1mn时，当04 nm 不符合题意，应舍去， 5 3 10 21 nm1 2 1 nm， 1.已知关于 x 的方程 22 2(43)20 xmxm ，根据下列条件， 分别求出 m
11、的值： 两根互为相反数； 两根互为倒数；有一根为零；有一根为 1. 答案与解析答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】0 21 xx，0 2 34 m ，解得 4 3 m； 1 21 xx，1 2 2 2 m ，解得2m； 当0 x时，02 2 m，解得2m； 当1x时，02)34(2 2 mm，解得. 31或m 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为 0，其次将方程的左边分解成两个一次因 式的积，再令两个一次因式分别为 0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数 a b xx 21 ； 两根之积等于常数项与
12、二次项系数的比. a c xx 21 ； 1.设 21,x x是方程0362 2 xx的两根，则 2 2 2 1 xx的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 2.如果 21 xx，是两个不相等实数，且满足12 1 2 1 xx，12 2 2 2 xx，那么 21 xx 等于（ ） （A）2 （B）2 （C） 1 （D）1 五 、课堂小结 六 、课后作业 拔高 基础 3.若关于x的方程01)2()2( 22 xmxm的两个根互为倒数，则m . 4.设关于x的方程06 2 kxx的两根是m和n，且2023 nm，则k值为 . 5.已知 12 ,x x是方程 2x 2-2x+1-3
13、m=0 的两个实数根，且 x 1x2+2（x1+x2）0，那么实数 m 的取值范围是 6. (1) 2x2+3x+1=0； (2) 2y2+y6=0； 答案与解析答案与解析 1.【答案】B 【解析】 21 xx，方程两根为解： 2 3 3 2121 xxxx， 21 2 21 2 2 2 1 2)(xxxxxx6 2 3 232 2.【答案】D 【解析】1212 2 2 21 2 1 xxxx， 12 2 21 xxxx可看作是方程， 的两根 1 21 xx 3.【答案】见解析 【解析】 12 xx解：设方程两根为 ， ，则： 2 1 2 2 2 21 2 21 m xx m m xx， 方程
14、两根互为倒数 1 2 1 2 21 m xx 12 2 m 3m 0)2(4)2(3 22 mmm时，当 0)2(4)2(3 22 mmm时，当 3m 4.【答案】见解析 【解析】是方程的两根、解：nm 15 63 m 12 1 ,1 2 xx 12 3 2, 2 yy 1212 1 3 2()2 10 2 m x xxx 5 3 m 2 ( 2)4 2 (1 3 )0m 1 6 m 6nm kmn 2023 nm 2-，得： 8m 8m 代入将8m ，得：2n，代入，将28nm，得：16)2(8k 043616kk时，当 16k 5.【答案】见解析 【解析】 方程有解， 6. 【答案】（1）
15、 （2） 【解析】（1）（2x+1）（x+1）=0 （2）（2y-3）（y+2）=0 1.设 21 xx，是方程0342 2 xx的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： ) 1)(1() 1 ( 21 xx、 21 11 )2( xx 、 2 1 1 2 ) 3( x x x x 、 121 2 1 2)4(xxxx、 2.关于的一元二次方程 x 2+2x+k+1=0 的实数解是 x 1和 x2. （1）求 k 的取值范围； （2）如果1- 2121 xxxx且k为整数，求k的值. 3.已知关于x的方程 22 (21)0 xmxm有两个实数根 12 ,x x，当 22 12 0 xx时，求m
16、的值 答案与解析答案与解析 巩固 22 (1 2 ) (1 2 )40mmm 1.【答案】见解析 【解析】是一元二次方程，解： 21 xx 的两根0342 2 xx 2 3 2 2121 xxxx， ) 1)(1() 1 ( 21 xx、1 2121 xxxx1 2 3 2 2 5 21 11 )2( xx 、 21 21 xx xx 2 3 2 3 4 2 1 1 2 ) 3( x x x x 、 21 2 2 2 1 xx xx 21 21 2 21 2)( xx xxxx 2 3 ) 2 3 (2)2( 2 ) 3 2 (7 2 3 34 3 14 121 2 1 2)4(xxxx、)2
17、( 211 xxx)22( 1 x0 1 x0 2.【答案】(1)k0;(2)-1 和 0. 【解析】（1）方程有实数根 =22-4k+1）0. 解得 k0. K 的取值范围是 k0. （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=-2, x1x2=k+1 x1+x2-x1x2=-2,+ k+1 由已知，得-2-（k+1）-1 解得 k-2 又由（1）k0 -2k0 k 为整数 k 的值为-1 和 0. 2.【答案】(见解析 【解析】 222 12121212121 2 ()()() ()40 xxxxxxxxxxx x 且 2 1212 1 2 ,xxm x xm 所以 11 24
18、m 或 22 (21)40mm 1 4 m 1 4 m 所以 又因为方程有解，所以 所以则 1.若果方程 22 2210 xkxkk的两个实数根 12 ,x x， 满足 22 12 4xx， 那么k的值为 6， 已知关于x 的一元二次方程02 2 1 2 22 kkxx (1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根. (2)设 1 x, 2 x是方程的根,且522 211 2 1 xxkxx ,求k的值. 答案与解析答案与解析 1.【答案】(1)证明见解析(2) 14k 【解析】 解：（1）已知关于 x 的一元二次方程 x 2-2kx+1 2 k 2-2=0， =（-2k） 2-4（1 2 k 2-2）=2k2+8， 2k 2+80 恒成立， 不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）x1、x2是方程的两个根， x1+x2=2k，x1x2= 2 1 k 2-2， x1 2-2kx 1+2x1x2=x1 2-（x 1+x2）x1+2x1x2=x1x2= 1 2 k 2-2=5， 解得 k=14 拔高 七 、教学反思
