1、第第 2 课时课时 排列的应用排列的应用 学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列， 能应用排列数公 式解决简单的实际问题 1排列数公式 Am nn(n1)(n2)(nm1)(n，mN，mn) n！ nm！. Annn(n1)(n2)2 1n！(叫做 n 的阶乘)另外，我们规定 0！1. 2应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 类型一 无限制条件的排列问题 例 1 (1)有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进行研究， 每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)有 5 个不同的科研小课题，高二(6)班
2、的 3 个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题， 共有多少种不同的报名方法？ 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 解 (1)从 5 个不同的课题中选出 3 个，由兴趣小组进行研究，对应于从 5 个不同元素中取出 3 个元素的一个排列，因此不同的安排方法有 A3554360(种) (2)由题意知 3 个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题 由于每个兴趣小组都有 5 种不同的选择，且 3 个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步 乘法计数原理得共有 555125(种)报名方法 反思与感悟 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原 理求其
3、方法种数排列的概念很清楚，要从“n 个不同的元素中取出 m 个元素”即在排列 问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取 跟踪训练 1 (1)有 7 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同 的送法？ (2)有 7 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 解 (1)从 7 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，相当于从 7 个元素中任取 3 个元素的一个排 列，所以共有 A37765210(种)不同的送法 (2)从 7 种不同的书中买 3
4、 本书，这 3 本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有 777343(种)不同的送法 类型二 排队问题 命题角度 1 元素“相邻”与“不相邻”问题 例 2 3 名男生，4 名女生，这 7 个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法 (1)男、女各站在一起； (2)男生必须排在一起； (3)男生不能排在一起； (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把 3 名男生进行全排列，有 A33种排法， 女生必须站在一起，即把 4 名女生进行全排列，有 A44种排法， 全体男生、女生各看作一个
5、元素全排列有 A22种排法， 由分步乘法计数原理知，共有 A33 A44 A22288(种)排法 (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列， 故有 A33 A55720(种)不同的排法 (3)(不相邻问题插空法)先排女生有 A44种排法，把 3 名男生安排在 4 名女生隔成的 5 个空中， 有 A35种排法，故有 A44 A351 440(种)不同的排法 (4)先排男生有 A33种排法让女生插空，有 A33A44144(种)不同的排法 反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则元素相 邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元
6、素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排 列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将 不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素 跟踪训练 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求 分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？ (1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； (2)2 个唱歌节目互不相邻； (3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 解 (1)先排唱歌节目有 A22种排法，再排其他节目有 A66种排法，所以共有
7、A22 A661 440(种) 排法 (2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A66种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2 个排唱 歌节目，有 A27种插入方法，所以共有 A66 A2730 240(种)排法 (3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素， 与 3 个曲艺节目排列共 A44种排法， 再将 3 个舞蹈节 目插入，共有 A35种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A22种排法，故所求排法共 有 A44 A35 A222 880(种)排法 命题角度 2 定序问题 例 3 7 人站成一排 (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ (2)甲
8、、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ 考点 排列的应用 题点 定序问题 解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有A 7 7 A222 520(种)不同的排法 (2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排 列种数的 1 A33. 故有A 7 7 A33840(种)不同的排法 反思与感悟 这类问题的解法是采用分类法n 个不同元素的全排列有 Ann种排法，m 个不同 元素的全排列有 Am m种排法因此 A n n种排法中，关于 m 个元素的不同分法有 A m m类，而且每一 分类的排法数是一样的当这 m 个
9、元素顺序确定时，共有A n n Am m种排法 跟踪训练 3 将 A， B， C， D， E 这 5 个字母排成一列， 要求 A， B， C 在排列中的顺序为“A， B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则这样的排列有_种(用数字作答) 考点 排列的应用 题点 定序问题 答案 40 解析 5 个不同元素中部分元素 A， B， C 的排列顺序已定， 这种问题有以下两种常用的解法 方法一 (整体法) 5 个元素无约束条件的全排列有 A55种， 由于字母 A， B，C 的排列顺序为“A， B， C”或“C， B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有A
10、5 5 A33 240(种) 方法二 (插空法) 若字母 A，B，C 的排列顺序为“A，B，C”，这时形成 4 个空当，分两类将字母 D，E 插入 第 1 类，若字母 D，E 相邻，则有 A14 A22种排法； 第 2 类，若字母 D，E 不相邻，则有 A24种排法 所以有 A14 A22A2420(种)不同的排列方法 同理，若字母 A，B，C 的排列顺序为“C，B，A”，也有 20 种不同的排列方法 因此，满足条件的排列有 202040(种) 命题角度 3 元素“在”与“不在”问题 例 4 从包括甲、乙两名同学在内的 7 名同学中选出 5 名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排
11、法有多少种？ (2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，乙不在末位的排法有多少种？ 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 解 (1)方法一 把同学作为研究对象 第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他 6 名同学中选出 5 名放在 5 个位置上，有 A56种排 法 第二类：含有甲，甲不在首位：先从 4 个位置中选出 1 个放甲，再从甲以外的 6 名同学中选 出 4 名排在没有甲的位置上，有 A46种排法根据分步乘法计数原理，含有甲时共有 4A46种 排法 由分类加法计数原理，可知共有 A564A462 160(
12、种)排法 方法二 把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的 6 名同学中选 1 名排在首位，有 A16种方法 第二步，从占据首位以外的 6 名同学中选 4 名排在除首位以外的其他 4 个位置上，有 A46种方 法 由分步乘法计数原理，可得共有 A16 A462 160(种)排法 方法三 (间接法) 即先不考虑限制条件，从 7 名同学中选出 5 名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有 A57种；甲在首位的情况有 A46种，所以符合要求 的排法有 A57A462 160(种) (2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置 第一步，从甲以外的 6 名同学中选 2 名
13、排在首末 2 个位置上，有 A26种方法 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法 根据分步乘法计数原理，有 A26 A351 800(种)方法 (3)把位置作为研究对象 第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A25种方法 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法 根据分步乘法计数原理，共有 A25 A351 200(种)方法 (4)用间接法 总的可能情况是 A57种，减去甲在首位的 A46种，再减去乙在末位的 A46种注意到甲在首位同 时乙在末位的情况被减去了两次， 所以
14、还需补回一次A35种， 所以共有A572A46A351 860(种) 排法 反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入 手，原则是谁特殊谁优先 (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置 入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置 特别提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底不能一会考虑元素，一 会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误 跟踪训练 4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果 第一节不排体育，最后一节不
15、排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？ 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 解 6 门课总的排法是 A66，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有 A55种排法；数学排 在最后一节，有 A55种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这 种情况有 A44种排法因此符合条件的排法有 A662A55A44504(种) 类型三 数字排列问题 例 5 用 0,1,2,3,4 五个数字： (1)可组成多少个五位数？ (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ (3)可组成多少个无重复数字且是 3 的倍数的三位数？ (4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ (5)在没
16、有重复数字的五位数中，比 42 130 小的数有几个？按从小到大排列，则第 61 个数是 多少？ (6)可以组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的五位数？ 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 解 (1)各数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理可知，可组成 455552 500(个)五位数 (2)方法一 考虑特殊位置“万位”，从 1,2,3,4 中任选一个填入万位，共有 4 种填法，其余 4 个数字作全排列，有 A44种排法，故共有 A14 A4496(个)符合条件的五位数 方法二 先考虑特殊元素“0”，先排 0，从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入，有 A14种填法， 然后将其
17、余 4 个数字在剩余 4 个位置上全排列， 有 A44种排法， 故共有 A14 A4496(个) 符合条件的五位数 (3)构成 3 的倍数的三位数，各数位上数字之和是 3 的倍数，将 0,1,2,3,4 按除以 3 的余数分成 3 类，按照取 0 和不取 0 分类：取 0，从 1 和 4 中取一个数，再取 2 进行排列，先填百位有 A12种填法，其余任意排有 A22种排法，故有 2A12A22个；不取 0，则必取 3，从 1 和 4 中任取一 数，再取 2，然后进行全排列，故有 2A33种排法所以共有 2A12A222A3381220(个)符合 条件的三位数 (4)考虑特殊位置个位和万位，先填
18、个位，从 1,3 中选一个填入个位，有 A12种填法，然后从剩 余 3 个非 0 数中选一个填入万位，有 A13种填法，最后将包含 0 在内的剩余 3 个数在中间三个 位置上全排列，排列数为 A33，故共有 A12 A13 A3336(个)符合条件的五位数 (5)按分类加法计数原理，当万位数字为 1,2,3 时均可以，共有 A13 A44个数当万位数字为 4， 千位数字为 0,1 时均满足，共有 A12 A33个数，当万位数字为 4，千位数字为 2，百位数字为 0,1 时均满足， 共有(A12 A221)个数， 所以比 42 130 小的数有 A13 A44A12 A33A12 A22187(
19、个) 万 位是 1,2 的各有 A44个数，万位是 3，千位是 0,1 的各有 A33个数，所以共有 2A442A3360(个) 数，故第 61 个数为 32 014. (6)运用排除法，先将 1,3 在奇数位上排列，有 A23种排法，再将其余 3 个偶数在剩余 3 个位置 上全排列，有 A33种排法，而其中 1,3 在个位和百位上，0 在万位上的排法不合题意，有 A22 A22 种排法所以符合条件的五位数共有 A23A33A22A2232(个) 反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入 手分析， 找出解题的思路 常见附加条件有： (1)首位不能为 0.
20、(2)有无重复数字 (3)奇偶数 (4) 某数的倍数(5)大于(或小于)某数 跟踪训练 5 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)能被 5 整除的五位数； (2)能被 3 整除的五位数； (3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则 240 135 是第几项 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 解 (1)个位上的数字必须是 0 或 5.个位上是 0， 有 A45个； 个位上是 5， 若不含 0， 则有 A44个； 若含 0，但 0 不作首位，则 0 的位置有 A13种排法，其余各位有 A34种排法，故共有 A45A44 A13A34216(个)
21、能被 5 整除的五位数 (2)能被 3 整除的条件是各位数字之和能被 3 整除，则 5 个数可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5两 种情况，能够组成的五位数分别有 A55个和 A14A44个 故能被 3 整除的五位数有 A55A14A44216(个) (3)由于是六位数， 首位数字不能为 0， 首位数字为 1 有 A55个数， 首位数字为 2， 万位上为 0,1,3 中的一个，有 3A44个数， 240 135 的项数是 A553A441193， 即 240 135 是数列的第 193 项. 16 位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序 共有( )
22、 A240 种 B360 种 C480 种 D720 种 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 答案 C 解析 第一步：排甲，共有 A14种不同的排法；第二步：排其他人，共有 A55种不同的排法， 因此不同的演讲次序共有 A14A55480(种) 2一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9! 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 C 解析 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为 A33 (A33)3(3！)4.故选 C. 3某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节
23、目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同 类节目不相邻的排法种数是( ) A72 B120 C144 D168 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 B 解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺 序有三种： “小品 1， 小品 2， 相声”“小品 1， 相声， 小品 2”和“相声， 小品 1， 小品 2” 对 于第一种情况，形式为“小品 1 歌舞 1 小品 2相声”，有 A22C13A2336(种)安排方法； 同理， 第三种情况也有 36 种安排方法， 对于第二种情况， 三个节目形成 4 个空， 其形式为“ 小品 1相声小品 2”，有
24、A22A3448(种)安排方法，故共有 363648120(种)安排方 法 4从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4100 m 接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有 _种参赛方案 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 答案 240 解析 方法一 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类： 第 1 类，甲不参赛，有 A45种参赛方案； 第 2 类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有 2 种方法，然后安排其他 3 棒，有 A35种方法，此时有 2A35种参赛方案 由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 A452A35240(种) 方法二 从位置
25、(元素)的角度考虑， 优先考虑第一棒和第四棒， 则这两棒可以从除甲之外的 5 人中选 2 人，有 A25种方法；其余两棒从剩余 4 人中选，有 A24种方法 由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 A25A24240(种) 方法三 (排除法)不考虑甲的约束，6 个人占 4 个位置，有 A46种安排方法，剔除甲跑第一棒 和第四棒的参赛方案有 2A35种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 A462A35 240(种) 5两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要 排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数
26、为_ 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 24 解析 分 3 步进行分析， 先安排两位爸爸，必须一首一尾，有 A222(种)排法， 两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有 A222(种)排法， 将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有 A336(种)排法则共有 226 24(种)排法 求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列， 同时注意捆绑元素的内部 排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前 面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法
