1、讲解人：时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 1 . 3 . 1 二 项 式 定 理二 项 式 定 理 第1章 计数原理 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3 先看下面的问题 若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？ 1010 8= (7+1) 01019910 10101010 =C 7 +C 7 +.+C 7+C 课前导入 在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3 观察 对于(a+b)
2、4，(a+b)5 如何展开? 课前导入 (a+b)100又怎么办？ (a+b)n (nN+)呢？ 我们知道，事物之间或多或少存在着规律. 这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性. 规律： (a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 新知探究 如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数
3、? (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4； (2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b； (3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2； (4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3； (5)若每个括号都取b，共有种取法得b4. 新知探究 1 二项式定理 n0n1n-11 nn (a+b) =C a +C a b +.+ kn-kknn* nn C ab +.+C b (nN ). 新知探究 知识要点 如何证明上述猜想呢？ 证明： 由于(a+b)n是（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个（
4、a+b）中的 a或b都选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前， (a+b)n的展开式共有2n项，其中每一项都是an-kbk（k=0，1，n）的形式. 新知探究 对于某个k（ ），对应的项an-kbk是由n-k个（a+b）中选a，k个 （a+b）中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定. 因此， an-kbk出现的次数相当于从n个 (a+b)中取k个b的组合数 . 这样，(a+b)n的展开式中， an-kbk共有 个，将它们合并同类项， 就可以得到二项展开式： k0,1,2,.,n k n C k n C n0n1n-1kn-kknn nnnn (a
5、+b) =C a +C a b+.+C ab +.+C b . 对二项式定理的理解 （1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 新知探究 2 二项式系数 我们看到的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数 ( )叫 做二项式系数（binomial coefficient）. k0,1,2,.,n k n C 新知探究 知识要点 3 通项 式中的 叫做二项展开式的通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第k+1项： kn-kk n C ab kn-kk k+1n T= C ab 对通项的理解 （1）
6、它是(a+b)n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，2，n; （2）字母a，b是一种“符号”，实际上它们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项式的形 式就可以用定理写出展开式; （3）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形. 新知探究 例题1 用二项式定理展开下列各式： 64 ) x 1 x(2(2) x 1 (x(1) 思考（1）如何求展开式中的第三项？ （2）如何求展开式中第三项的系数？ 方法（1）用定理展开，再找指定项； （2）用通项公式. 新知探究 解: 31344 44 11 +C x ( ) +C ( ) xx 4224 11 = x +4x +6+4(
7、) +( ) xx 404131222 444 111 (1)(x+) = C x +C x ( ) +C x ( ) xxx 新知探究 （2）先将原式化简，再展开，得 666 3 12x-11 (2 x -) = () =(2x-1) xxx 61524334256 666666 3 1 =(2x) -C (2x) +C (2x) -C (2x) +C (2x) -C (2x)+C x 65432 3 1 =(64x -6*32x +15*16x -20*8x +15*4x -6*2x+1) x 32 23 60 121 = 64x -192x +240 x-160+-+. xxx 例题2
8、1. 的展开式中，第五项是（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，不含a的项是第（ ） A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项 6 2 ) x a a x ( x 15 3 2 a 6x x 20 x 15 153 ) a 1 a( 新知探究 答案： (1) B (2) A 例题3 求近似值（精确到0.001） （1）(0.997)3 （2）(1.002)6 分析： （1）(0.997)3=(1-0.003)3 （2）(1.002)6=(1+0.002)6 类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项. 新知探究 例题4 4.求二项式 的展开式中的有理项.
9、73 ) 2 1 3( 分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用） 答案： 4 105 新知探究 1. 在 的展开式中，常数项是_. A.14 B.14 C.42 D. 42 73 ) x 1 (2x 课堂练习 解析： ,x21)(C) x 1 ()(2xC k 2 7 21 k7kk 7 kk73k 7 1kT 0,k 2 7 21 1421)(C 66 7 则k=6，故展开式中的常数项是 ,选答案A. 令 2.在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a的值为_. -1/2 . 2 1 a15,aC ,x1)(aCa)(xCT 33 10 733
10、3 10 373 1013 解析： 课堂练习 1.填空 （1）(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为_. （2）在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为_ . 1.179 -210 课堂练习 2.选择 （1）( i)12展开式中所有奇数项的和是( ) A.-1 B.1 C.0 D.i （2） 数11100-1的末尾连续的零的个数是( ) A.0 B.3 C.5 D.7 13 + 22 课堂练习 )rC12r 3.解答题 （1）求( + )12展开式中所有的有理数项. 3 3 r 4 2 2 r 3 解： 通项为Tr+1C12r( )12-r( (r0,1,2，12
11、)，为得有理数项，只需r是6的倍数，即r0,6,12，即有理数项为T1C120 24 16，T7C126 22 3399792，T13C1212 36729. 3 2 3 3 2 课堂练习 （2）二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数. 分析：由第三项系数比第二项系数大44先求n， 再由通项求第四项系数. 答案：165 n 4 ) x 1 x(x 课堂练习 (3) 某班有男、女学生各n人，现在按照男生至少一人，女生至多n人选法，将选出的学生编成社 会实践小组，试证明：这样的小组的选法共有2n(2n-1)种. 证：依题意，这些小组中女生人数分别是Cn0，Cn1,Cn2,C
12、nn个.对于上述女生人数的每种情况， 男生人数可以有Cn0，Cn1,Cn2,Cnn个。 课堂练习 根据乘法原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+Cn0Cnn+Cn1Cn1+Cn1Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+ Cn2Cnn+CnnCn1+ Cnn Cn2+ Cnn Cnn Cn0(Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+Cnn)+Cnn(Cn1+Cn2+ Cnn) (Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+ Cnn) (2n-1)2n 依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个. 课堂练习 1.二项式定理 二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn是通过不完全归纳法，并结合组合的概 念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明. 课堂小结 2.二项式定理的特点 (1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 ：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列. 讲解人：时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 感谢你的聆听感谢你的聆听 第1章 计数原理 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3
