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《二项式定理》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.3.1课时)

1、讲解人:时间:2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 1 . 3 . 1 二 项 式 定 理二 项 式 定 理 第1章 计数原理 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3 先看下面的问题 若今天是星期一,再过810天后的那一天是星期几? 1010 8= (7+1) 01019910 10101010 =C 7 +C 7 +.+C 7+C 课前导入 在初中,我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3 观察 对于(a+b)

2、4,(a+b)5 如何展开? 课前导入 (a+b)100又怎么办? (a+b)n (nN+)呢? 我们知道,事物之间或多或少存在着规律. 这节课,我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性. 规律: (a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 新知探究 如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数

3、? (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每个括号都不取b,只有一种取法得到a4; (2)若只有一个括号取b,共有种取法得到a3b; (3)若只有两个括号取b,共有种取法得到a2b2; (4)若只有三个括号取b,共有种取法得到ab3; (5)若每个括号都取b,共有种取法得b4. 新知探究 1 二项式定理 n0n1n-11 nn (a+b) =C a +C a b +.+ kn-kknn* nn C ab +.+C b (nN ). 新知探究 知识要点 如何证明上述猜想呢? 证明: 由于(a+b)n是(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或b,而且每个(

4、a+b)中的 a或b都选定后,才能得到展开式的一项.因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前, (a+b)n的展开式共有2n项,其中每一项都是an-kbk(k=0,1,n)的形式. 新知探究 对于某个k( ),对应的项an-kbk是由n-k个(a+b)中选a,k个 (a+b)中选b得到的. 由于b选定后,a的选法也随之确定. 因此, an-kbk出现的次数相当于从n个 (a+b)中取k个b的组合数 . 这样,(a+b)n的展开式中, an-kbk共有 个,将它们合并同类项, 就可以得到二项展开式: k0,1,2,.,n k n C k n C n0n1n-1kn-kknn nnnn (a

5、+b) =C a +C a b+.+C ab +.+C b . 对二项式定理的理解 (1)它有n+1项; (2)各项的次数都等于二项式的次数n; (3)字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n. 新知探究 2 二项式系数 我们看到的二项展开式共有n+1项,其中各项的系数 ( )叫 做二项式系数(binomial coefficient). k0,1,2,.,n k n C 新知探究 知识要点 3 通项 式中的 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项为展开式的第k+1项: kn-kk n C ab kn-kk k+1n T= C ab 对通项的理解 (1)

6、它是(a+b)n的展开式的第k+1项,这里k=0,1,2,n; (2)字母a,b是一种“符号”,实际上它们可以是数、式及其它什么的,只要具备二项式的形 式就可以用定理写出展开式; (3)展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的,还可以对等式进行变形. 新知探究 例题1 用二项式定理展开下列各式: 64 ) x 1 x(2(2) x 1 (x(1) 思考(1)如何求展开式中的第三项? (2)如何求展开式中第三项的系数? 方法(1)用定理展开,再找指定项; (2)用通项公式. 新知探究 解: 31344 44 11 +C x ( ) +C ( ) xx 4224 11 = x +4x +6+4(

7、) +( ) xx 404131222 444 111 (1)(x+) = C x +C x ( ) +C x ( ) xxx 新知探究 (2)先将原式化简,再展开,得 666 3 12x-11 (2 x -) = () =(2x-1) xxx 61524334256 666666 3 1 =(2x) -C (2x) +C (2x) -C (2x) +C (2x) -C (2x)+C x 65432 3 1 =(64x -6*32x +15*16x -20*8x +15*4x -6*2x+1) x 32 23 60 121 = 64x -192x +240 x-160+-+. xxx 例题2

8、1. 的展开式中,第五项是( ) A. B. C. D. 2. 的展开式中,不含a的项是第( ) A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项 6 2 ) x a a x ( x 15 3 2 a 6x x 20 x 15 153 ) a 1 a( 新知探究 答案: (1) B (2) A 例题3 求近似值(精确到0.001) (1)(0.997)3 (2)(1.002)6 分析: (1)(0.997)3=(1-0.003)3 (2)(1.002)6=(1+0.002)6 类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式,按精确度展开到一定项. 新知探究 例题4 4.求二项式 的展开式中的有理项.

9、73 ) 2 1 3( 分析:方法一用通项公式(适用于任意次幂) 方法二用定理展开(次数较小时使用) 答案: 4 105 新知探究 1. 在 的展开式中,常数项是_. A.14 B.14 C.42 D. 42 73 ) x 1 (2x 课堂练习 解析: ,x21)(C) x 1 ()(2xC k 2 7 21 k7kk 7 kk73k 7 1kT 0,k 2 7 21 1421)(C 66 7 则k=6,故展开式中的常数项是 ,选答案A. 令 2.在(x-a)10的展开式中,x7的系数是15,则实数a的值为_. -1/2 . 2 1 a15,aC ,x1)(aCa)(xCT 33 10 733

10、3 10 373 1013 解析: 课堂练习 1.填空 (1)(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为_. (2)在(x-1)11的展开式中,x的偶次幂的所有项的系数的和为_ . 1.179 -210 课堂练习 2.选择 (1)( i)12展开式中所有奇数项的和是( ) A.-1 B.1 C.0 D.i (2) 数11100-1的末尾连续的零的个数是( ) A.0 B.3 C.5 D.7 13 + 22 课堂练习 )rC12r 3.解答题 (1)求( + )12展开式中所有的有理数项. 3 3 r 4 2 2 r 3 解: 通项为Tr+1C12r( )12-r( (r0,1,2,12

11、),为得有理数项,只需r是6的倍数,即r0,6,12,即有理数项为T1C120 24 16,T7C126 22 3399792,T13C1212 36729. 3 2 3 3 2 课堂练习 (2)二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大44,求第4项的系数. 分析:由第三项系数比第二项系数大44先求n, 再由通项求第四项系数. 答案:165 n 4 ) x 1 x(x 课堂练习 (3) 某班有男、女学生各n人,现在按照男生至少一人,女生至多n人选法,将选出的学生编成社 会实践小组,试证明:这样的小组的选法共有2n(2n-1)种. 证:依题意,这些小组中女生人数分别是Cn0,Cn1,Cn2,C

12、nn个.对于上述女生人数的每种情况, 男生人数可以有Cn0,Cn1,Cn2,Cnn个。 课堂练习 根据乘法原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+Cn0Cnn+Cn1Cn1+Cn1Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+ Cn2Cnn+CnnCn1+ Cnn Cn2+ Cnn Cnn Cn0(Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+Cnn)+Cnn(Cn1+Cn2+ Cnn) (Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+ Cnn) (2n-1)2n 依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个. 课堂练习 1.二项式定理 二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn是通过不完全归纳法,并结合组合的概 念得到展开式的规律性,然后用数学归纳法加以证明. 课堂小结 2.二项式定理的特点 (1)项数:共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 :a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列;b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列. 讲解人:时间:2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 感谢你的聆听感谢你的聆听 第1章 计数原理 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3