1、必考部分 第九章第九章 计数原理、概率、计数原理、概率、 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三讲 二项式定理 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 二项式定理 (ab)nC0 na nC1 na n1bCk na nkbkCn nb n(nN ) 这个公式叫做二项式定理， 右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式， 其中的系数 Ck n(k0,1,2， ， n)叫做_， 式中的_ 叫做二项展开式的_， 用Tk1表示， 即通项为展开式的第_ 项
2、：Tk1_ 二项式系数 Ck na nkbk 通项 k1 Ck na nkbk 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二 二项展开式形式上的特点 (1)项数为_ (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 _ (3)字母a按_排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到 零；字母b按_排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n n1 n 降幂 升幂 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 Ck nC nk n 2n 2n1 知识点三 二项式系数的性质 (1)0kn 时，Ck n与
3、C nk n 的关系是_ (2)二项式系数先增后减，中间项最大 当 n 为偶数时， 第n 21 项的二项式系数最大； 当 n 为奇数时， 第 n1 2 项和n3 2 项的二项式系数最大 (3)各二项式系数的和：C0 nC 1 nC 2 nC n n_，C 0 nC 2 nC 4 n C1 nC 3 nC 5 n_ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1二项式定理中，通项公式 Tk1Ck na nkbk 是展开式的第 k1 项， 不是第 k 项 2(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在 Tk1 Ck na nkbk 中，Ck n是该
4、项的二项式系数，该项的系数还与 a，b 有关 (2)二项式系数的最值和增减性与指数 n 的奇偶性有关当 n 为偶数 时，中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系 数相等，且同时取得最大值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)Ck na nkbk 是二项展开式的第 k 项 ( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关 ( ) (4)(ab)n的展开式第 k1 项的系数为
5、 Ck na nkbk ( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n ( ) (6)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第 5 项和第 6 项 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 解析 二项式系数之和 2n64， 所以 n6， Tk1Ck 6 x 6k (1 x) kCk 6x 6 2k，当 62k0，即当 k3 时为常数项，T 4C 3 620 题组二 走进教材 2(P31例 2(2)若 x1 x n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的 常数项为 ( ) A10 B20 C30 D120 返回导航 高考一轮总复习 数学
6、（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 3(P41B组T5)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4 的值为 ( ) A9 B8 C7 D6 解析 令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1 a2a3a416，两式相加得a0a2a48 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三 走向高考 4(2020 新课标) x22 x 6 的展开式中常数项是_(用数字作答) 240 解析 展开式的通项为 Tr1Cr 6(x 2)6r 2 x r2rCr 6x 123r，令 123r 0，解得 r4，故常数项为
7、 24C4 6240 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 5(2017 全国卷) 1 1 x2 (1x)6展开式中 x2的系数为 ( ) A15 B20 C30 D35 C 解析 (1x)6展开式的通项 Tr1Cr 6x r，所以 1 1 x2 (1x)6的展开 式中 x2的系数为 1C2 61C 4 630，故选 C 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 二次展开式的通项公式的应用多维探究 例 1 C 角度 1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数 (1)(2
8、018 课标卷)(x22 x) 5 的展开式中 x4的系数为 ( ) A10 B20 C40 D80 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2019 课标，4)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为 ( ) A12 B16 C20 D24 (3)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为 ( ) A10 B20 C30 D60 A C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)Tr1Cr 5(x 2)5r 2 x rCr 52 rx103r， 当 103r4 时，解得 r2， 则
9、x4的系数为 C2 52 240，选 C (2)(1x)4的二项展开式的通项为 Tk1Ck 4x k(k0,1,2,3,4)， 故(12x2)(1x)4的展开式中 x3的系数为 C3 42C 1 412故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)(x2xy)5(x2x)y5， 含 y2的项为 T3C2 5(x 2x)3 y2 其中(x2x)3中含 x5的项为 C1 3x 4 xC1 3x 5 所以 x5y2的系数为 C2 5C 1 330故选 C 另解：由乘法法则知 5 个因式中两个选 y 项，两个选 x2项，一个选 x 项乘即可，x5y
10、2的系数为 C2 5C 1 330 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 例 2 A 角度 2 二项展开式中的含参问题 (1)(2021 广东广州阶段测试) ax1 x 6 的展开式中的常数项 为 160，则 a 的值为 ( ) A2 B2 C4 D4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 4 240 (2)(2021 福建三明质检)若(3x2a) 2x1 x 5 的展开式中 x3的系数为 80，则 a_ (3)(2021 河北衡水中学模拟)已知二项式 2x 1 x n 的展开式中第 2 项 与第 3
11、项的二项式系数之比是 25，则 x3的系数为_ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1) ax1 x 6 的展开式的通项为 Tr1Cr 6(ax) 6r 1 x r( 1)rCr 6a 6rx62r，由题意得C3 6a 3160，解得 a2，故选 A (2) 2x1 x 5 的展开式的通项为 Tr1Cr 5(2x) 5r 1 x r(1)r 25r Cr 5x 5 2r，则 323C2 5a2 4C1 580，解得 a4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)由题意得：C1 nC 2 n
12、25，解得 n6所以 Tr1C r n(2x) nr 1 x r Cr 62 6r(1)rx63 2r, 令 6 3 2r3， 解得： r2 所以 x 3 的系数为 C2 62 62( 1)2240 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字 母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数 等)，解出r，代回通项公式即可 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 7 B 变式训练 1 (1)(角度 1)(2018 浙江，14)二项式 3
13、x 1 2x 8 的展开式的常数项是 _ (2)(角度 2)(2021 福州模拟)设 n 为正整数， x 2 x3 n 的展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ( ) A112 B112 C60 D60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)(角度 1)(2020 全国) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A5 B10 C15 D20 C 解析 (1)Tr1Cr 8(3 x)8 r 1 2x r1 2rC r 8x84r 3 ，由 84r0 得 r2， 故常数项为 T3 1 22C 2 87
14、返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)依题意得， n8， 所以展开式的通项Tr1Cr 8x 8r 2 x3 rCr 8x 84r( 2)r，令 84r0，解得 r2，所以展开式中的常数项为 T3C2 8(2) 2 112 (3)(xy)5的展开式的通项 Tr1Cr 5x 5ryr， xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为 C3 5C 1 515，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 二项式系数的性质与各项系数的和师生共研 例 3 A (1)(2020 河北衡水中学模
15、拟)已知二项式 2 x1 x n 的展开式 中，二项式系数之和等于 64，则展开式中常数项等于 ( ) A240 B120 C48 D36 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C 8 (2)(2021 河北邯郸模拟)在 x 3 x n 的展开式中， 各项系数和与二项式 系数和之比为 64，则 x3的系数为 ( ) A15 B45 C135 D405 (3)(2021 辽宁省朝阳市质量检测)设(1x2)(2x)4a0a1(x1) a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5a6(x1)6，则 a0a2a4a6 _ 返回导航 高考一轮总复
16、习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)二项式 2 x1 x n 的展开式中， 二项式系数之和等于 2n64，则 n6， 故展开式的通项公式为 Tr1Cr 6 2 6r x63r 2 ， 令63r 2 0，求得 r2，常数项为 C2 6 2 4240故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由题意4 n 2n64，n6，Tr1C r 6x 6r 3 x r3rCr 6x 63r 2 ，令 63r 2 3， r2,32C2 6135，选 C (3)由题意，令 x2 得 a0a1a2a3a4a5a60， 令
17、 x0 得 a0a1a2a3a4a5a616， 两式相加得 2(a0a2a4a6)16， 所以 a0a2a4a68故答案为 8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申在本例(3)中，(1)a0_； (2)a1a3a5_； (3)(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2_； (4)a2_ 2 8 0 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 记 f(x)(1x2)(2x)4， 则(1)a0f(1)2 (2)a1a3a5f2f0 2 016 2 8； (3)(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2
18、f(2) f(0)0； (4)令 x1t，则 xt1， a2为(t22t2)(1t)4展开式中 t2项的系数， 又(1t)4的通项为 Cr 4 (t)r， a2C0 42(1)C 1 42C 2 45 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 赋值法的应用 (1)形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、b、cR)的式子求其展开式的各 项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可 (2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需 令xy1即可 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)若
19、 f(x)a0a1xa2x2anxn， 则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 ， 偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 *又 f(x)a12a2x3a3x2nanxn 1， 所以 a12a23a3nanf(1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 ACD 变式训练 2 (1)(多选题)(2021 湖北龙泉中学、 荆州中学、 宜昌一中联考)若(12x)2 021a 0a1xa2x 2a 3x 3a 2 021x 2 021(xR)，则 ( ) Aa01 Ba1a3a5a2 0213 2 0
20、211 2 Ca0a2a4a2 0203 2 0211 2 Da1 2 a2 22 a3 23 a2 021 22 0211 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C (2)(2020 湖南娄底期末)已知(x3a x) n 的展开式中各项的二项式系数 之和为 32，且各项系数和为 243，则展开式中 x7的系数为 ( ) A20 B30 C40 D50 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)令 x0 得 a01，A 正确；令 x1 得 a0a1a2a3 a2 0211，令 x1 得 a0a1
21、a2a3a2 02132 021，a1 a3a5a2 0213 2 0211 2 ，B 不正确；又 a0a2a2 020 32 0211 2 ，C 正确；令 x1 2得 a0 a1 2 a2 22 a2 021 22 0210， a1 2 a2 22 a2 021 22 021a01 D 正确，故选 ACD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)因为(x3a x) n 的展开式中各项的二项式系数之和为 32，则 2n32， 解得 n5， 所以二项式为(x3a x) 5 因为 x3a x 5 展开式各项系数和为 243， 令 x1，代入可得(1
22、a)524335，解得 a2，所以二项式展开式的通 项为 Tr1Cr 5(x 3)5r 2 x r2r Cr 5x 154r， 所以当展开式为 x7 时， 即 x15 4rx7， 解得 r2，则展开式的系数为 22 C2 541040故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点三 二项式定理的应用多维探究 例 4 角度 1 整除问题 (1)设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a( ) A0 B1 C11 D12 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 A 1.1
23、72 (2)(2021 安徽省安庆一中模拟)9C1 109 2C2 109 10C10 10除以 11 所得 的余数为 ( ) A0 B1 C2 D1 角度 2 近似计算 (3)1.028的近似值是_(精确到小数点后三位) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)由于 51521，(521)2 012C0 2 01252 2 012C1 2 01252 2 011 C2 011 2 01252 11， 又由于 13 整除 52，所以只需 13 整除 1a,0a13，aZ，所以 a 12，故选 D (2)90C0 109C 1 109 2C
24、2 109 10C10 101(19) 10110101(11 1)1011110C1 10 11 9C2 10 11 8C9 10 111111 10C1 10 11 9 C2 10 11 8C9 10 11，显然所得余数为 0，故选 A (3)1.028(10.02)8C0 8C 1 8 0.02C 2 8 0.02 2C3 8 0.02 31.172 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为_ 7 解析 由题意原式10101(82)101810C1 108 9 2C9 10 8 292101(81
25、0C1 108 9 2C9 108 2 98 278)7余数为 7 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1整除问题的解题思路 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关 整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它 展开进行分析判断 2求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1 x)n1nx 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C 0.989 变式训练 3 (1)(2021 江西联考)190C1 1090 2C2 1090 3
26、C3 1090 10C10 10除以88的 余数是 ( ) A1 B87 C1 D87 (2)0.9986的近似值为_(精确到 0.001) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)190C1 1090 2C2 1090 3C3 1090 10C10 10(190) 108910 (881)10C0 1088 10C1 1088 9C9 1088C 10 1088k1(k 为正整数)，所 以可知余数为 1 (2)0.9986(10.002)61C1 60.002C 2 60.002 2C3 60.002 3C4 60.002 4 C5 6
27、0.002 5C6 60.002 61C1 60.002C 2 60.002 20.988 60.989 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 例 5 一、二项展开式中系数最大项的问题 已知 x 1 2 x n 的展开式中前三项的系数成等差数列 求 n 的值； 求展开式中系数最大的项 解析 由题设，得 C0 n1 4C 2 n21 2C 1 n， 即 n29n80，解得 n8，n1(舍去) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 设第 r1 项的系数最大，则 1 2rC r
28、 8 1 2r 1Cr 1 8 ， 1 2rC r 8 1 2r 1Cr 1 8 . 即 1 8r 1 2r1， 1 2r 1 9r. 解得 r2 或 r3 所以系数最大的项为 T37x5，T47x7 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求展开式中系数最大的项 如求(abx)n(a， bR)的展开式系数最大的项， 一般是采用待定系数 法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，An1，且第 k 项系数最大，应 用 AkAk1 AkAk1从而解出 k 来，即得 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式
29、训练 4 (2020 山东省德州市高三上期末) 2x21 x 6 的展开式中，常数项为 _；系数最大的项是_ 60 240 x6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 2x21 x 6 的展开式的通项为 Ck 6 (2x 2)6k 1 x kCk 6 2 6k x123k， 令 123k0，得 k4，所以，展开式中的常数项为 C4 6 2 260； 令 akCk 6 2 6k(kN，k6)， 令 anan1 anan1，即 Cn 6 2 6nCn1 6 27 n Cn 6 2 6nCn1 6 25 n， 解得4 3n 7 3，nN，n2，因此
30、，展开式中系数最大的项为 C2 6 2 4 x6240 x6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 D 960 例 6 二、一项或三项展开式问题 (1)(2021 河南实验中学期中)若 x5a0a1(x2)a2(x2)2 a5(x2)5，则 a0 ( ) A32 B2 C1 D32 (2)(2021 安徽合肥质检)在 x44 x 5 的展开式中，x2的系数为 _ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)x52(x2)5a0a1(x2)a5(x2)5 Tr1Cr 52 5r(x2)4， a0T1
31、2532故选 D (2)解法一：(化为二项展开式问题) x44 x 5 x 2 x 10， Tr1Cr 10( x) 10r 2 x r(2)rCr 10 x 5r， 令 5r2，r3，所求系数为(2)3C3 10960 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解法二：(利用多项式乘法对括号中选取情况讨论) 5个括号中的2个选x,3个选(4)， 这样得到的x2的系数为C2 5 C 3 3( 4)3640； 5 个括号中 3 个选 x,1 个选4 x，1 个选4，这样得到的 x 2 的系数为 C3 5C 1 24(4)320； 所求系数为6403209
32、60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 对一项或三项的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解 决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合 理性和简捷性 注：本题也可如下变形化为二项式求解： x44 x 5 x4 x 4 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练5 (2021 广东汕头模拟)在(x2x2)5的展开式中，x3的系数为 ( ) A40 B160 C120 D200 C 解析 (x2x2)5(x1)5(x2)5， x3的系数为 C2 5C 5 5(2) 5C3 5C 4 5(2) 4C4 5C 3 5(2) 3C5 5C 2 5(2) 2 120 另解：(利用多项式乘法) C1 5C 1 5(1)(2) 3C3 5(1) 3 (2)2120，故选 C 谢谢观看
