1、必考部分 第九章第九章 计数计数原理、概率、随机变量及其分布原理、概率、随机变量及其分布 第五讲 古典概型 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_的 (2)任何事件都可以表示成_的和(除不可能事件) 互斥 基本事件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二 古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)有限性：试验中
2、所有可能出现的基本事件_. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_. 知识点三 古典概型的概率公式 P(A)_. 只有有限个 相等 A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的 和 2求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举 法、列表法和树状图法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽
3、”属于古典概 型，其基本事件是“发芽与不发芽” ( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反 面”，这三个结果是等可能事件 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)从市场上出售的标准为 500 5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重 量，属于古典概型 ( ) (4)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位 同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的 概率为1 3. ( ) (5)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 0.2. ( ) 返回导航 高
4、考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二 走进教材 2(P133T3改编)袋中装有3个白球，2个黄球，1个黑球，从中任取两 球，则取出的两球有黑球的概率为_，两球不同色的概率为_. 解析 记“取出两球有黑球”为事件 A，则 P(A)C 1 5 C2 6 5 15 1 3，两 球不同色的取法有 11 种，记“取出两球不同色”为事件 B，则 P(B) C1 3C 1 2C 1 3C 1 1C 1 2C 1 1 C2 6 11 15. 1 3 11 15 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C 题组三 走向高考 3
5、(2018 新课标)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得 了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两 个素数的和”，如 30723.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同 的数，其和等于 30 的概率是 ( ) A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 不超过 30 的素数有，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 共 10 个，从 中选 2 个不同的数有 C2 1045 种， 和等于 30 的有(7,23)， (11,19)， (13,17)，
6、共 3 种，则所求概率 P 3 45 1 15，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 D 4(2019 课标全国，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列， 则两位女同学相邻的概率是 ( ) A1 6 B1 4 C1 3 D1 2 解析 记“两位女同学相邻”为“事件 A”，则 P(A)A 2 3A 2 2 A4 4 1 2， 故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 5(2019 课标全国)生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过 某项指标若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，
7、则恰有 2 只测量过该指标 的概率为 ( ) A2 3 B3 5 C2 5 D1 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 解法一：记 5 只兔子分别为 A，B，C，D，E，其中测量过 某项指标的 3 只兔子为 A，B，C，则从这 5 只兔子中，随机取出 3 只的 基本事件有 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE， CDE，共 10 种，其中恰有 2 只测量过该指标的基本事件有 ABD，ABE， ACD，ACE，BCD，BCE，共 6 种，所以所求事件的概率 P 6 10 3 5.故选 B 解法二： 记“恰有
8、 2 只测量过该指标”为事件 A， 则 P(A)C 2 3C 1 2 C3 5 3 5， 故选 B 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 简单的古典概型问题自主练透 D (1)(2017 课标全国)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随 机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于 第二张卡片上的数的概率为 ( ) A 1 10 B1 5 C 3 10 D2 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 A (2)(2021 四川
9、攀枝花统考)有编号分别为 1,2,3,4 的 4 个红球和 4 个黑 球，随机取出 3 个，则取出的球的编号互不相同的概率是 ( ) A4 7 B3 7 C2 7 D1 7 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 A (3)(2019 全国， 6)我国古代典籍 周易 用“卦”描述万物的变化， 每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴 爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重 卦恰有 3 个阳爻的概率是 ( ) A 5 16 B11 32 C21 32 D11 16 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章
10、 计数原理、概率、随机变量及其分布 (4)(2021 湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人 才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具 体包括“礼、乐、射、御、书、数”为弘扬中国传统文化，某校在周 末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排 六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的 概率为 ( ) A 7 60 B 1 6 C 13 60 D 1 4 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (5)(2021 安徽合肥质检)在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从 辖区内
11、A，B，C 三个小区志愿者中各选取 2 人，随机安排到这三个小区， 协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作若每个小区安排 2 人，则 每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同 小区的概率为 ( ) A5 9 B4 9 C 4 45 D 2 135 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)解法一：(列举法) 画出树状图如图： 可知所有的基本事件共有 25 个，满足题意的基本事件有 10 个，故 所求概率 P10 25 2 5.故选 D 解法二：(排列组合法) PC 1 4C 1 3C 1 2C 1 1 C1 5 C
12、 1 5 2 5.故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)有编号分别为 1,2,3,4 的 4 个红球和 4 个黑球，随机取出 3 个，基 本事件总数 nC3 856， 取出的编号互不相同包含的基本事件个数 mC 3 4C 1 2C 1 2C 1 2 32 或mC 1 8C 1 6C 1 4 A3 3 32 ，则取出的编号互不相同的概率是 Pm n 32 56 4 7， 故选 A (3)重卦是由从下到上排列的 6 个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴 爻”两种，故所有的重卦共有 2664 种，重卦中恰有 3 个“阳爻”的共 有 C3 6C
13、3 320 种故所求概率 P20 64 5 16，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (4)解法一：当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有 4 种情况，礼和 乐顺序有 2 种，其他剩下的有 A3 3种情况，由间接法得到满足条件的情况 有 A5 5C 1 4A 2 2A 3 3当“数”在第二位时，礼和乐相邻有 3 种情况，礼和乐顺 序有 2 种，其它剩下的有 A3 3种， 由间接法得到满足条件的情况有 A5 5C 1 3A 2 2A 3 3 共有：A5 5C 1 3A 2 2A 3 3A 5 5C 1 4A 2 2A 3 3种情况，不考虑限制
14、因素，总数有 A6 6种， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 故满足条件的事件的概率为： A5 5C 1 3A 2 2A 3 3A 5 5C 1 4A 2 2A 3 3 A6 6 13 60，故答案为 C 解法二：当“数”位于第一位时，有 A3 3A 2 4种；当“数”位于第二位 时，有 C 1 2A 4 4C 1 3A 2 2A 2 2种，总排法有 A 6 6种，所求概率 P A3 3A 2 4C 1 2A 4 4C 1 3A 2 2A 2 2 A6 6 13 60. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量
15、及其分布 (5)从辖区内 A，B，C 三个小区志愿者中各选取 2 人，随机安排到这 三个小区，每个小区安排 2 人，则基本事件总数 nC 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 A3 390， 每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不 同小区包含的基本事件个数为 mC1 2C 1 2C 1 2C 1 1C 1 1C 1 18， 则所求概率为 P 8 90 4 45，选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(4)中，(1)“必须分开”改为“相邻”，则概率为_； (2)“必须分开”改为“不和数相邻”的概率为_. 解析 (1
16、)PA 4 4A 2 2C 1 3A 3 3A 2 2 A6 6 7 60. (2)PC 1 3A 4 4C 1 3C 1 2A 3 3 A6 6 3 20. 7 60 3 20 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含 的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法 有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 A 变式训练 1 (1)(2021 河南郑州名校调研)甲、乙、丙、丁四
17、位同学站成一排照相， 则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为 ( ) A5 6 B1 2 C1 3 D2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 广东百校联考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二 种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午 马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相现有十二生肖吉祥物各 一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢 马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜 欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是_. 3 88 返回导航 高考一轮总复习
18、数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相， 基本事件总数 nA4 424， 甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数 mA4 4A 2 2 A2 220， 甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为： Pm n 20 24 5 6.故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)依题意可分类为甲同学选马， 则有 C1 2C 1 918 种， 甲同学选牛，则有 C1 3C 1 927 种 所有情况有 A3 12种， 则这三位同学选取的礼物都满意的概率 P 45 A3 12 3
19、88. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 较复杂的古典概型问题多维探究 B 角度 1 古典概型与平面向量的交汇 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现 的点数为 m，第二次出现的点数为 n，向量 p(m，n)，q(2,1)，则向量 pq 的概率为 ( ) A 1 18 B 1 12 C1 9 D1 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 向量 pq，m2n0，m2n，满足条件的(m，n) 有 3 个：(2,1)，(4,2)，(6,3)，又基本事件的总数为 36，P 3 3
20、6 1 12，故 选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 角度 2 古典概型与解析几何的交汇 (2021 甘肃兰州模拟)双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)，其中 a1,2,3,4，b1,2,3,4，且 a，b 取到其中每个数都是等可能的，则 直线 l：yx 与双曲线 C 的左、右支各有一个交点的概率为 ( ) A1 4 B3 8 C1 2 D5 8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 直线 l：yx 与双曲线 C 的左、右支各有一个交点，则b a1， 基本事件总数为
21、4416，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 个或 C1 3C 1 2C 1 16(个)，故概率为3 8. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 角度 3 古典概型与函数的交汇 (2021 吉林省实验中学月考)已知函数 f(x)1 3x 3ax2b2x 1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中任取的 一个数，则该函数有两个极值点的概率为 ( ) A7 9 B1 3 C5 9 D2 3 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九
22、章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 求导得 f(x)x22axb2，要满足题意需 x22axb20 有两个不等实根，即 4(a2b2)0，即 ab，又 a，b 的取法共有 33 9 种，其中满足 ab 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共 6 种， 故所求的概率为 P6 9 2 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 较复杂的古典概型问题的求解方法 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列 举基本事件，求出基本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数，然 后利用古典概型的概率计算公
23、式进行计算 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 A 变式训练 2 (1)(角度 1)设平面向量 a(m,1)，b(2，n)，其中 m，n1,2,3,4， 记“a(ab)”为事件 A，则事件 A 发生的概率为 ( ) A1 8 B1 4 C1 3 D1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(角度 2)(2020 河北七校联考)若 m 是集合1,3,5,7,9,11中任意选取 的一个元素，则椭圆x 2 m y2 2 1 的焦距为整数的概率为_. (3)(角度 3)(2020 四川威远中学月考)
24、若 a， b1,0,1,2， 则函数 f(x) ax22xb 有零点的概率为 ( ) A13 16 B7 8 C3 4 D5 8 A 1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)a(ab)a (ab)0m22mn10，即 n(m 1)2， 又 m、n1,2,3,4，(m，n)共有 16 个， 而事件 A 仅包括(2,1)，(3,4)2 个， P(A) 2 16 1 8，故选 A (2)由题意知椭圆的焦距 2c2 m2或 2c2 2m，m1,3,11， 所求概率 P3 6 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数
25、原理、概率、随机变量及其分布 (3)a，b1,0,1,2，(a，b)的取法有 16 种，函数 yf(x)有零点， 即 44ab0，ab1，由表 b ab a 1 0 1 2 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 2 4 知符合条件的(a，b)有 13 种，所求概率为13 16，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点三 古典概率与统计的综合师生共研 D (1)(2013 陕西)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检 测， 如图为检测结果的频率分布直方图 根据标准， 产品长度在区间20,25) 上为一等
26、品，在区间15,20)和25,30)上为二等品，在区间10,15)和30,35 上为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取 1 件，则其为 二等品的概率是 ( ) A0.09 B0.20 C0.25 D0.45 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理 念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效 进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环 保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽 样的方法抽取了这三类行业
27、的20个单位，其考评分数如下： A类行业：85,82,77,78,83,87； B类行业：76,67,80,85,79,81； C类行业：87,89,76,86,75,84,90,82. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数； 若从抽取的A类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项 调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级” 环保单位的概率 解析 (1)由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间25,30) 上的频率为15(0.020.040.060.03)0.25，则二等品的频率为
28、 0.250.0450.45，故任取1件为二等品的概率为0.45. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由题意，得抽取的 A，B，C 三类行业单位个数之比为 334. 由分层抽样的定义，有 A 类行业的单位个数为 3 1020060， B 类行业的单位个数为 3 1020060， C 类行业的单位个数为 4 1020080， 故该城区 A，B，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为 60,60,80. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 记选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星
29、级” 环保单位为事件 M. 又 A 类行业的 6 个单位中有 4 个“量级”单位，记 2 个“非量级” 单位， P(M)C 2 4C 1 2C 1 4 C3 6 4 5 或PM1PM 1C 3 4 C3 6 4 5 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型， 已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用 频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼 出需要的信息，即可解决此类问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及
30、其分布 变式训练3 (2020 衡水中学模拟)某中学有初中生1 800人，高中生1 200人，为 了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中 生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组： 0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)写出a的值； (2)试估
31、计该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数； (3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽 到1名高中生的概率 解析 (1)由题意得a0.10.040.020.00520.03. (2)初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.020 0.005)100.25. 所有初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.251 800 450(人) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 同理，高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.03 0.005)100.35， 所有高中生中，阅读时间不少于30个小时
32、的学生约有0.351 200 420(人) 该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450 420870. (3)由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名记“从阅 读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生” 为事件A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005100.05， 样本人数为 0.05603. 高中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 0.005100.05， 样本人数为 0.05402. 则从阅读时间不足 10 个小时的样本学
33、生中随机抽取 2 人，所有可能 的情况有 C2 510(种)， 其中至少有一名高中生的情况有 C2 5C 2 37(种)， 所求概率为 7 100.7. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 有放回抽样与无放回抽样 (1)(2021 湖南长沙一中月考)已知 7 件产品中有 5 件合格品， 2 件次品， 为找出这 2 件次品， 每次任取一件检验， 检验后不放回， 则“恰 好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为_. (2)有 10 个球，其中 3 个白球 7 个红球，有人有放回地进行摸球，则 其第三次才摸
34、到白球的概率为_. 0.147 1 7 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)解法一：考查两件次品的位置，共有 C2 721 种取法，因 为恰好第五次取出最后一件次品，依题意另一件次品只能排 2,3,4 位，共 有 C1 33 种取法，故概率为1 7. 解法二：PC 1 5C 2 4C 1 2A 3 3 C 1 1 A5 7 1 7 (2)P 773 1010100.147. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练 4 袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、 “校”、“园”，每次从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两 个小球都摸到就停止摸球 若有放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为_； 若无放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为_. 解析 PC 1 2C 1 2C 1 2C 1 2 444 5 32或 C1 2C 1 3C 1 2C 1 2 444 5 32；P C1 2C 1 2C 1 2 A3 4 1 3. 5 32 1 3 谢谢观看
