1、必考部分 第九章第九章 计数原理、概率、计数原理、概率、 随机变量及其分布随机变量及其分布 第四讲 随机事件的概率 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 随机事件和确定事件 (1)在条件S下，_的事件，叫做相对于条件S的必然事 件，简称必然事件 (2)在条件S下，_的事件，叫做相对于条件S的不可能 事件，简称不可能事件 必然要发生 不可能发生 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)必然事件和
2、不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确 定事件 (4)在条件S下，_的事件，叫做相对于条 件S的随机事件，简称随机事件 可能发生也可能不发生 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二 概率与频率 (1)概率与频率的概念：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一 事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的 _，称事件 A 出现的比例 fn(A)nA n 为事件 A 出现的_ (2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的 频率 fn(A)随着试验次数的增加稳 定于概率 P
3、(A)，因此可以用 _来估计概率 P(A) 频数 频率 频率fn(A) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点三 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 若事件A_，则事件B_，这时 称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) _ _ 相等关系 若BA，且_，则称事件A与事件B相等 _ 并事件 (和事件) 若某事件发生_ ， 则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) _ _ 发生 一定发生 BA (或AB) AB AB 当且仅当事件A发生或事件B发生 AB (或AB) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
4、 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 定义 符号表示 交事件 (积事件) 若某事件发生_ _，则称此事件为事件A与事件B的交事 件(或积事件) _ _ 互斥事件 若AB为_事件，则称事件A与事件 B互斥 _ 对立 事件 若AB为_事件，AB为_, 则称事件A与事件B互为对立事件 _ _ 当且仅当事件A发生且事件B 发生 AB (或AB) 不可能 AB 不可能 必然事件 AB， 且AB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_ (2)必然事件的概率：P(A)_ (3)不可能事件的概率：P(A)_ (4)
5、概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(AB) _ (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必 然事件P(AB)_，P(A)_ 0P(A)1 1 0 P(A)P(B) 1 1P(B) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的 ( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 ( ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生 ( ) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反 面”，这三个结果是等可能的 (
6、) (5)对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二 走进教材 2(P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶” 的对立事件是 ( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”故 选D D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 3(P133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_ 5 6 解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6636(种)可能的结果
7、， 其中点数相同的结果共有 6 种，所以点数不相同的概率 P1 6 36 5 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三 走向高考 4(2018 课标全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的 概率为 ( ) A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 解析 设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也 用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)1P(B)P(C) 10.150.450.4故选B B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原
8、理、概率、随机变量及其分布 A 5(2020 新课标)设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C， D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为 ( ) A1 5 B2 5 C1 2 D4 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 O，A，B，C，D 中任取 3 点，共有 C3 510 种， 即 OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD 十种， 其中共线为 A，O，C 和 B，O，D 两种， 故取到的 3 点共线的概率为 P 2 10 1 5，故选 A 返回导航 2 考点突破互动探究 返回
9、导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 随机事件的关系自主练透 (1)(2020 辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的 口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A“至少有1个白球”和“都是红球” B“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D“至多有1个白球”和“都是红球” 例 1 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有
10、一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数； 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是 ( ) A B C D C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足 P(A)P(B)1”，则甲是乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立 事件，不符合题意；对于选项B，
11、“至少有2个白球”表示取出2个球都 是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2 个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个 白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不 对立的两个事件，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出 的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥 事件，不符合题意故选C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇 数，2个偶数其中“至少有一个是奇数”包含一奇
12、一偶或2个奇数这两 种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生， 不是对立事件，故选C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率 的加法公式得 P(A)P(B)1；投掷一枚硬币 3 次，满足 P(A)P(B)1， 但 A，B 不一定是对立事件，如：事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B：“出现 3 次正面”，则 P(A)7 8，P(B) 1 8，满足 P(A)P(B)1，但 A，B 不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
13、第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：互斥事件是不可能同时 发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特 殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生 (2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两 个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为 对立事件，对立事件一定是互斥事件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练1 (2021 宁夏检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则 事件A的对立事件为 ( ) A至多有2件次品 B至
14、多有1件次品 C至多有2件正品 D至少有2件正品 解析 “至少有n个”的反面是“至多有n1个”，又事件 A“至少有2件次品”，事件A的对立事件为“至多有1件次品” B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 随机事件的概率多维探究 角度1 频率与概率 (2018 北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经 分类整理得到下表： 例 2 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部
15、数与该类电影的部数的比 值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评 的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型 电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变 化那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得 获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写 出结论) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量
16、及其分布 解析 (1)由题意知，样本中电影的总部数是 14050300200 8005102 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.2550 故所求概率为 50 2 0000.025 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 1400.4500.23000.152000.258000.25100.1 5610455016051 372 故所求概率估计为 1 372 2 0000.814 (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数
17、原理、概率、随机变量及其分布 例 3 甲 乙 9 8 8 3 3 7 2 1 0 9 9 A 角度 2 统计与概率 (2021 云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两 人在 5 次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩 超过乙的平均成绩的概率是 ( ) A4 5 B2 5 C 9 10 D 7 10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 记其中被污损的数字为 x，由题知甲的 5 次综合测评的平均 成绩是1 5(80290389210)90， 乙的 5 次综合测评的平均成绩是 1 5(803902337x9) 442x
18、5 ， 令 90442x 5 ，解得 x8，即 x 的取值可以是 07，因此甲的平均 成绩超过乙的平均成绩的概率是 8 10 4 5故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 概率和频率的关系 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发 生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率 向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概 率 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 B 变式训练 2 (1)(2021 黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙 3 人到
19、 A，B 两个城 市出差，每人只去 1 个城市，且每个城市必须有人去，则 A 城市恰好只 有甲去的概率为 ( ) A1 5 B1 6 C1 3 D1 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 吉林模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买 甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示 购买，“”表示未购买 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 217 200 300 85 98 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 估计顾客同时购买乙和丙的概率； 估计顾客在
20、甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的 可能性最大？ 解析 (1)总的派法有：(甲、乙 A)，(丙 B)；(甲、乙 B)，(丙 A)；(甲、 丙 A)，(乙 B)；(甲、丙 B)，(乙 A)；(乙、丙 A)，(甲 B)；(乙、丙 B)，(甲 A)，共 6 种(或 C2 3A 2 26(种)，A 城市恰好只有甲去有一种，故所求概率 P 1 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购 买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的
21、概率可以估计为 200 1 0000.2 从统计表可以看出， 在这 1 000 位顾客中有 100 位顾客同时购买了 甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购 买了 2 种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率 可以估计为100200 1 000 0.3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 与同理可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 1 0000.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100200300 1 000 0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 1 0000.
22、1 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点三 互斥事件、对立事件的概率师生共研 (1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多 得1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖 50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、 C求： P(A)，P(B)，P(C)； 1张奖券的中奖概率； 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 例 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 C (2)(2021 河南新乡
23、模拟)从 5 个同类产品(其中 3 个正品， 2 个次品)中， 任意抽取 2 个，下列事件发生概率为 9 10的是 ( ) A2 个都是正品 B恰有 1 个是正品 C至少有 1 个正品 D至多有 1 个正品 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)P(A) 1 1 000，P(B) 10 1 000 1 100，P(C) 50 1 000 1 20 因为事件 A， B， C 两两互斥， 所以 P(ABC)P(A)P(B)P(C) 1 1 000 1 100 1 20 61 1 000故 1 张奖券的中奖概率为 61 1 000 P(AB)
24、1P(AB)1 1 1 000 1 100 989 1 000 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989 1 000 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)从 5 个产品中任取 2 个的取法有 C2 510 种， 其中 2 个都是正品的 取法有 C2 33 种，故 2 个都是正品的概率 P1 3 10；其对立事件是“至多 有 1 个正品”，概率为 P21P11 3 10 7 10恰有 1 个正品的取法有 C1 3 C 1 26 种，故恰有 1 个正品的概率 P3 6 10 3 5至少有 1 个正品的概率 P4P1P3 3 10 6
25、 10 9 10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求复杂的互斥事件的概率的两种方法 (1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概 率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算 (2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1 P(A)，即运用逆向思维(正难则反)特别是“至多”“至少”型题目，用 间接求法就显得较简便 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练3 (1)(2020 西安二模)2021年某省新高考将实行“312”模式，即语 文、数学、外语必选，物理、历史
26、二选一，政治、地理、化学、生物四 选二，共有12种选课模式某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治 和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B ( ) A是互斥事件，不是对立事件 B是对立事件，不是互斥事件 C既是互斥事件，也是对立事件 D既不是互斥事件也不是对立事件 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为0.3则该地1位车主至少购买甲、乙 两种保险中的一种的概率为_；该地1位车主甲、乙两种保险都 不购买的概率为_ 0.8 0.2 返
27、回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)2021年某省新高考将实行“3 12”模式，即语文、 数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选 二，共有12种选课模式某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治 和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时 发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故 A正确故选A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙 种保险但不购买甲种保险；C表示
28、事件：该车主至少购买甲、乙两种保 险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买 由题意得P(A)0.5，P(B)0.3，又CAB， 所以P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.30.8 因为D与C是对立事件，所以P(D)1P(C)10.80.2 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)(2020 浙江湖州期末，改编)现有5个不同编号的小球， 其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相 同颜色的球都不相邻的概率是_ 例 5 用正难则反的思想求互斥事件的概率 2 5 返回导航 高考一
29、轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及 相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求： (1)至多 2 人排队等候的概率是多少？ (2)至少 3 人排队等候的概率是多少？ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)“相同颜色的球不都相邻”的对立事件为“相同颜色的 球都相邻”，记为事件 A因 5 个不同编号的小球排列有 A5 5120 种排 法，“相同颜色的球
30、都相邻”的排法有 A2 2A 2 2A 3 324 种排法，所求概率 P|P(A)|1 24 120 4 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候” 为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D， E，F 互斥 记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC，所以 P(G) P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56 返回导航 高考一轮总复习 数学
31、（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF， 所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44 解法二： 记“至少 3 人排队等候”为事件 H， 则其对立事件为事件 G， 所以 P(H)1P(G)0.44 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 “正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思 想都是“正难则反”思想的体现在解决问题时，如果从问题的正面入 手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事 半功倍的效果，大大降低题
32、目的难度在求对立事件的概率时，经常应 用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或 P(B)时，利用公式P(A)1P(B)先求容易的一个，再求另一个 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练 4 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随 机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 返回导航 高考一
33、轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55% (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视 为概率) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)由已知得 25y1055，x3045， 所以 x15，y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样 本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值 为 1151.5302252.520310 100 1.9(分钟) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， A1， A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”， “该顾客一 次购物的结算时间为 3 分钟”，将频率视为概率得 P(A1) 20 100 1 5，P(A2) 10 100 1 10 P(A)1P(A1)P(A2)11 5 1 10 7 10 故一位顾客一次购物的结算 时间不超过 2 分钟的概率为 7 10 谢谢观看
