1、必考部分 第九章第九章 计数原理、概率、计数原理、概率、 随机变量及其分布随机变量及其分布 第二讲 排列与组合 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点一 排列与排列数 (1)排列的定义：从n个_元素中取出m(mn)个元素，按照一 定的_排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列 (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 _的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数， 用符号_表示 不同 顺序 所有不同排列 Am
2、n 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 n(n1)(n2)(nm1) n！ 1 (3)排列数公式：Am n_ (4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一 个全排列， An nn(n1)(n2)21_ 排列数公式写 成阶乘的形式为 Am n n！ nm！，这里规定 0！_ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二 组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个_元素中取出m(mn)个元素 _，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 (2)组合数的定义：从n个不同元素中
3、取出m(mn)个元素的 _的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合 数，用符号_表示 不同 合成一组 所有不同组合 Cm n 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3) 组 合 数 的 计 算 公 式 ： C m n Am n Am m n！ m！nm！ nn1n2nm1 m！ ，这里规定 C0 n_ (4)组合数的性质：Cm n_；C m n1_ 注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意 Am n、C m n中的 隐含条件 mn，且 m，nN 1 Cn m n Cm n Cm 1 n 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九
4、章 计数原理、概率、随机变量及其分布 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的 排列数或组合数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列 ( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 ( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相
5、同 ( ) (4)(n1)！n！n n！ ( ) (5)若组合式 Cx nC m n，则 xm 成立 ( ) (6)kCk nnC k1 n1 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二 走进教材 2(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻 的坐法种数为 ( ) A144 B120 C72 D24 D 解析 “插空法”， 先排 3 个空位， 形成 4 个空隙供 3 人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为 A3 443224 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
6、 题组三 走向高考 3(2017 全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ( ) A12种 B18种 C24种 D36种 D 解析 4 项工作分成 3 组，可得：C2 46，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6A3 336 种，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 4(2018 浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数 字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 1 260 解析 从 1
7、,3,5,7,9 中任取 2 个数字有 C2 5种方法， 从 2,4,6,0 中任取 2 个数字不含 0 时，有 C2 3种方法， 可以组成 C2 5 C 2 3 A 4 4720 个没有重复数字的四位数； 含有 0 时， 0 不能在千位位置， 其它任意排列， 共有 C1 3 C 1 3 C 2 5 A 3 3540， 故一共可以组成 1 260 个没有重复数字的四位数，故答案为：1 260 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 5(2018 新课标)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且 至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写
8、答案) 16 解析 解法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女 生入选的情况有以下 2 种：2 女 1 男：有 C2 2C 1 44 种选法；1 女 2 男： 有 C1 2C 2 412 种选法，故至少有 1 位女生入选的选法有 41216 种 解法二：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人有 C3 620 种选法，其中选 出的 3 人都是男生的选法有 C3 44 种， 所以至少有 1 位女生入选的选法有 20416 种 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点一 排列问题自主练透 有3名男
9、生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方 法总数，分别为： (1)选其中5人排成一排；_ (2)排成前后两排，前排3人，后排4人；_ (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；_ (4)全体排成一排，女生必须站在一起；_ 例 1 2 520 5 040 3 600 576 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (5)全体排成一排，男生互不相邻；_ (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；_ (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；_ (8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端_ 1 440 720 2 520 3 720 返回导航 高考
10、一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)从 7 个人中选 5 个人来排，是排列， 有 A5 7 765432 520(种) (2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A3 7种方法，余下 4 人排在后 排，有 A4 4种方法，故共有 A 3 7 A 4 45 040(种)事实上，本小题即为 7 人排 成一排的全排列，无任何限制条件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素先排甲，有 5 种方 法；其余 6 人有 A6 6种方法，故共有 5A 6 63 600
11、种 解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列，有 A2 6种方法，中间 5 个位置由余下 5 人进行全排 列，有 A5 5种方法，共有 A 2 6A 5 53 600 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体， 与 3 名男生在一起进行全排列， 有 A4 4种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A 4 4种方法，故共有 A 4 4A 4 4 576 种 (5)(插空法)男生不相邻， 而女生不作要求， 所以应先排女生， 有 A4 4种 方法， 再在女生之间及首尾空出
12、 5 个空位中任选 3 个空位排男生， 有 A3 5种 方法，故共有 A4 4A 3 51 440 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (6)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有 A2 2种方法；第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙中间，有 A 3 5种；第三 步把这个整体与余下 2 人进行全排列，有 A3 3种方法故共有 A 2 2 A 3 5 A 3 3 720 种 (7)消序法： A7 7 2！2 520 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (8)间接法：A7
13、 72A 6 7A 5 53 720 位置分析法：分甲在右端与不在右端两类 甲在右端的排法有 A6 6(种)排法， 甲不在右端的排法有 55A5 5(种)排法， 共有 A6 625A 5 53 720(种) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有_种；(2)甲、 乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有_种；(3)甲、乙相邻且都与 丙不相邻的站法有_种 720 解析 (1)A3 6A 3 3720；或 A 6 6720 (2)A2 2A 1 4A 5 5960； (3)A2 2A 4 4A 2 5960 960
14、960 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 求解排列应用问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注 意捆绑元素的内部排列 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不 相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题除 法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以 定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 返回导航 高考一轮总
15、复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练1 (1)(2021 广东深圳宝安区调研)某车队有6辆车，现要调出4辆按一定 的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开 出，则共有_种不同的调度方法(用数字填写答案) 72 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2020 广西兴宁、南宁三中期末)2020年3月31日，某地援鄂医护 人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情 任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎当地媒体为了宣 传他们的优秀事迹，让这6名医护人员
16、和接见他们的一位领导共7人站一 排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种 数为 ( ) A36种 B48种 C56种 D72种 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)C2 4C 2 4A 2 272或 C 2 4 A4 4 2 72 (2)领导和队长站在两端，有 A2 22 种情况， 中间 5 人分 2 种情况讨论： 若 BC 相邻且与 D 相邻，有 A2 2A 3 312 种安排方法， 若 BC 相邻且不与 D 相邻，有 A2 2A 2 2A 2 324 种安排方法， 则中间 5 人有 122436 种安排
17、方法， 则有 23672 种不同的安排方法；故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点二 组合问题师生共研 (1)(2021 广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任 村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数 为 ( ) A85 B49 C56 D28 例 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召 开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配 到两个不同的地点参与接待
18、工作若要求A，B必须在同一组，且每组至 少2人，则不同的分配方法有 ( ) A15种 B18种 C20种 D22种 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)丙没有入选，可把丙去掉，总人数变为 9 个甲、 乙至少有 1 人入选，可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法 有 C1 2 C 2 742(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有 C 2 2 C 1 77(种)，根据分 类加法计数原理知共有 42749(种) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)先从两个不同的地点选出一地点分配
19、A，B 两人，有 C1 22(种)情 况，再将剩余 4 人分入两地有三种情况， 4 人都去 A，B 外的另一地点，有 1 种情况； 有 3 人去 A，B 外的另一地点，有 C3 44(种)情况； 有 2 人去 A，B 外的另一地点，有 C2 46(种)情况 综上，共有 2(146)22(种)，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(1)中，甲、乙恰有1人入选的选法有_种； 甲、乙都不入选的选法有_种 56 56 解析 C1 2C 2 856 C 3 856 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量
20、及其分布 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素 取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的 元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重 视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和 间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接 法处理 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练2 (1)(2020 海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互 不相邻的灯，为了行走安全，第一盏
21、和最后一盏不关，则关灯方案的种 数为 ( ) A10 B15 C20 D24 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 江苏南通质检)我国进入双航母时代，航母编队的要求是每 艘航母配23艘驱逐舰，12艘核潜艇船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜 艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 ( ) A30 B60 C90 D120 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)问题等价于将这 3 盏关着的灯插入 4 盏亮着的灯形成的 5 个空档中，所以关灯方案共有 C3 510 种
22、(2)有两种情况，一艘航母配 2 艘驱逐舰和 1 艘核潜艇，另一艘航 母配 3 艘驱逐舰和 2 艘核潜艇，一艘航母配 2 艘驱逐舰和 2 艘核潜艇， 另一艘航母配 3 艘驱逐舰和 1 艘核潜艇， C1 2 (C 2 5C 1 3C 2 5C 2 3)120， 故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点三 排列、组合的综合应用多维探究 角度1 相邻、相间问题 (1)(2021 河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组 成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三 位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序
23、的编排 方案共有_种 例 3 120 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排 语文、数学、英语、物理、化学各一节课要求语文与化学相邻，数学 与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是 ( ) A16 B24 C8 D12 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有 A4 4A 2 2 48 种；当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有 3A3 3A 2 236 种； 当甲在第
24、三位， 前两位分为是丙、 丁和不是丙、 丁两种情况， 共 A2 2A 2 3 A2 3A 2 2A 2 236 种，因此共 483636120 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)根据题意，分三步进行分析，要求语文与化学相邻，将语文和 化学看成一个整体，考虑其顺序，有 A2 22(种)情况；将这个整体与英 语全排列，有 A2 22(种)情况，排好后，有 3 个空位；数学课不排第一 节，有 2 个空位可选，在剩下的 2 个空位中任选 1 个，安排物理，有 2 种情况，则数学、物理的安排方法有 224(种)，则不同排课方案的种 数是 224
25、16，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 角度2 特殊元素(位置)问题 (1)(2021 重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物 理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方 案种数为 ( ) A48 B72 C90 D96 例 4 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)(2021 山东质检)高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数 学、英语和体育其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英 语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共
26、有 _种 9 解析 (1)由于甲不参加生物竞赛， 则安排甲参加另外 3 场竞赛或甲 不参加任何竞赛 当甲参加另外 3 场竞赛时，共有 C1 3 A 3 472(种)选择方案； 当甲学生不参加任何竞赛时，共有 A4 424(种)选择方案 综上所述，所有参赛方案有 722496(种) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由于四个元素都有特殊要求，不宜从排列、组合数公式入手，列 表法为佳， 如： 第一节 第二节 第三节 第四节 数学语文体育英语英语体育语文体育语文 英语 同理第一节排英语、体育也都有3种排法，故共有9种排法 返回导航 高考一轮总复
27、习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 引申本例(1)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法 种数为_ 78 解析 甲、 乙都参赛有 C2 3(A 3 3C 1 2C 1 2A 2 2)42 种方案； 甲参赛乙 不参赛或乙参赛甲不参赛均有 A3 3C 1 318 种方案； 共有 42181878 种参赛方案 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 角度3 分组、分配问题 (1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配 方式？将答案填在对应横线上 分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；_ 甲、乙、丙三人中，一人得
28、1本，一人得2本，一人得3本； _ 平均分成三份，每份2本；_ 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；_； 例 5 60 360 15 90 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 分成三份，1份4本，另外两份每份1本；_ 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；_ 甲得1本，乙得1本，丙得4本_ (2)8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有 _种 15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若 每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有_种 15 90 30 35 55 返回导航 高考一轮总复习 数学（
29、新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 (1)C1 6C 2 5C 3 360；C 1 6C 2 5C 3 3A 3 3360； C 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 15；C2 6C 2 4C 2 290；C 2 615；C 4 6A 3 390； C1 6C 1 5C 4 430 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)一共有 8 个相同的小球，放入 5 个不同的盒子，每个盒子不空， 即将小球分成 5 份，每份至少 1 个(定分数) 将 8 个小球摆放一列，形成 9 个空，中间有 7 个空，(定空位) 则只需在这 7
30、个空中插入 4 个隔板，隔板不同的放法有 C4 7C 3 7 765 32135(种)，(插隔板) 所以每盒不空的放法共有 35 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 先将 2 号盒内放一个球，3 号盒内放 2 个小球，还剩余 12 个小球， 用隔板法将 12 个小球分成 3 组，每组至少 1 个小球，共有 C2 1155 种分 法，亦即有 55 种不同放法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解排列组合综合问题的方法 先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排 法解答问题只需三步
31、即可完成 第一步：选元素，即选出符合条件的元素； 第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列； 第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理 计算方法总数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问 题常用“隔板法” 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 隔板法的解题步骤 (1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量 (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数 (3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数
32、要求，插入隔板，利用 组合数求解不同的分法种数 (4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板 个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能 否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要 注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 变式训练3 (1)(角度1)(2021 山西联考)某学校组织劳动实习，其中两名男生和两 名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一 排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法
33、 共有_种 (2)(角度2)(2021 陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端 只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ( ) A36种 B42种 C48种 D60种 16 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)(角度3)(2021 浙江绍兴柯桥中学测试)为抗击新冠疫情，5名专家 前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分 配方案有_种 150 解析 (1)先排男生甲有 C1 4种方法，再排男生乙有 C12种方法，最后 排两女生有 A2 2种方法，故共有 C14C12A2216 种方法 另解(间接法)：
34、农场主人在中间共有 A4 424 种站法，农场主人在中 间，两名男生相邻共有 2A2 2 A228 种站法，故所求站法共有 24816 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论： 甲在最左端，将剩余的 4 人全排列，共有 A4 424 种不同的排法； 乙在最左端，甲不能在最右端，有 3 种情况，将剩余的 3 人全排 列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有 3A3 318 种不同的排法，由 分类加法计数原理，可得共有 241842 种不同的排法，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
35、 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)5 名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专 家，则有两种情况，将 5 名专家分成三组，一组 3 人，另两组都是 1 人，有 C3 510 种方法，再将 3 组分到 3 个医院，共有 10 A 3 360 种不同 的分配方案， 将 5 名专家分成三组， 一组 1 人， 另两组都是 2 人， 有C 1 5 C 2 4 A2 2 15 种方法，再将 3 组分到 3 个医院，共有 15 A3 390 种不同的分配方 案，根据分类加法计算原理可得一共有 6090150 种不同的分配方案 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总
36、复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 1限制条件的分配问题分类法： 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城 市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共 有多少种不同派遣方案？ 例 1 排列组合的其它类型及解法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以 下四种情况： 若甲乙都不参加，则有派遣方案 A4 8种：若甲参加而乙不参加， 先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有 A3 8方法，所以共有 3A 3 8； 若乙参加而甲不参加同理也
37、有 3A3 8种；若甲乙都参加，则先安排甲乙， 有 7 种方法，然后再安排其余 8 人中两人到另外两个城市有 A2 8种，共有 7A2 8方法，所以共有不同的派遣方法总数为 A 4 83A 3 83A 3 87A 2 84 088 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 2多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求 分成不相容的几类情况分别计数，最后总计 3多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑， 再分段处理。 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 8个不同的元素排成前后两排
38、，每排4个元素，其中某2个 元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 例 2 解析 看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 A2 4种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有 A 1 4种，其余 5 个元 素任排 5 个位置上有 A5 5种，故共有 A 1 4A 2 4A 5 5 5 760 种排法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 4“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法： (2020 北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队 的车辆均多于4辆现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽 调1
39、辆，那么共有_种不同的抽调方法 例 3 84 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 解法一：(分类法)，在每个车队抽调 1 辆车的基础上，还需 抽调 3 辆车可分成三类：一类是从某 1 个车队抽调 3 辆，有 C1 7种；一 类是从 2 个车队中抽调，其中 1 个车队抽调 1 辆，另 1 个车队抽调 2 辆， 有 A2 7种；一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆，有 C 3 7种故共有 C 1 7A 2 7 C3 784 种抽调方法 解法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于 4 辆，只需将 10 个 份额分成 7 份可将 10 个小球排成
40、一排，在相互之间的 9 个空当中插入 6 个隔板，即可将小球分成 7 份，故共有 C6 984 种抽调方法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 5选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素， 再安排到一定的位置上，可用先取后排法 (1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个 空盒的放法有多少种？ 例 4 解析 先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 C2 4种， 再排：在四个盒中每次排 3 个有 A3 4种，故共有 C 2 4A 3 4 144 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概
41、率、随机变量及其分布 6部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条 件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求 四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的 点，不同的取法共有 ( ) A150种 B147种 C144种 D141种 例 5 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 解析 10 个点中任取 4 个点共有 C4 10种，其中四点共面的有三种情 况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 C4 6，四个面共有 4C4 6个；过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个；过棱上三点与 对棱中点的三角形共 6 个所以四点
42、不共面的情况的种数是 C4 104C 4 63 6141 种 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 7圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的 排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即 旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只 计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a1，a2，a3，an； a2，a3，a4，an，a1；a3，a4，an，a1，a2；在圆排中是同一排 法 8元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法： 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第九章 计数原理、概率
43、、随机变量及其分布 设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将 这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码 与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？ 例 6 解析 从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C2 5种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应， 利用枚举法分析， 如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒 子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4,5 号球只 有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4,5 号球也只有 1 种装法，所以剩 下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为 2C2 520 种 谢谢观看
