《“杨辉三角”与二项式系数的性质》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.3.2课时)

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1、讲解人: 时间:2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 1.3.2“杨辉三角杨辉三角” ”与二项式系数的性质与二项式系数的性质 第1章 计数原理 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3 一般地,对于n N*有 011222 ()n nnn nnn rn rrnn nn abC aC abC ab C abC b 二项定理: 课前导入 观察 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 )(ba 2 )(ba 3

2、)(ba 4 )(ba 5 )(ba 6 )(ba 课前导入 (1)上述的表叫做二项式系数的表,观察表中二项式系数的规律,并加以归纳. (2)继续观察,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质. 课前导入 1、杨辉三角 南宋末年钱塘人,是当时有名的数学家和教育家,杨辉 一生编写的数学书很多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州一带,曾当过地方官,到过苏州、台 州等地,他每到一处都会有人慕名前来 请教数学问题. 杨辉 新知探究 本节课的课题二项式定理就是研究 (a+b)的平方,(a+b)的三次方 (a+b)的n次方的乘法展开式的 规律, 法国数学家帕斯卡在17世纪发现了

3、它,国外把这一规律称为帕斯卡三角.其实,我国数学家杨辉早在 1261年在他的详解九章算法中就有了相应的图表. 新知探究 九章算术 详解九章算法中记载的表 新知探究 2、二项式系数性质 展开式的二项式系数依次是: n ba)( 012n nnnn C ,C ,C ,C 从函数角度看, 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是: r n C)(rf 当 时,其图象是右图中的7个孤立点 6n n, 2 , 1 , 0 新知探究 由以上分析可以画出如下图: 新知探究 观察 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质. 新知探究 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由

4、公式 Cnm=Cnn-m 得到. 新知探究 知识要点 直线 将函数 的图像分成对称的两部分,它是图像的对称轴 n r 2 f(r) 新知探究 2.增减性与最大值 k n k-1 n n(n-1)(n-2)(n-k +1) C = k(k -1)! n-k +1 = C k 由于: 所以 相对于 的增减情况由 决定 k n C 1 C k n n-k +1 k 新知探究 知识要点 由: n-k +1 n+1 1k k2 二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值. n+1 k 2 可知,当 时, 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 n 2 n C 系数 取

5、得最大值; 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 、 n-1 2 n C n+1 2 n C 相等,且同时取得最大值. 新知探究 3.各二项式系数之和 已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cnrxr+Cnnxn 令x=1,则 2n=Cn0+Cn1+Cnn 新知探究 知识要点 例题 证明在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析: 奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+ 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+ 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数,因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上述两 个系数和. 新知探究 证明: 在二项展开式中,令a=1,b=

6、-1,则得 (1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn 即 0=(Cn0+Cn2 +)-(Cn1+Cn3+), 所以 Cn0+Cn2 += Cn1+Cn3+, 即得证. 新知探究 1. 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第_行中从左到右第14与第15个数的比 为2:3 . 34 课堂训练 解析: 01 11 CC, 012 222 CCC, 0123 3333 CCCC, 012n nnnn CCCC, , 2:3 1314 nn CC=2:3n = 34 由图1我们能发现,第1行中的数是 第2行中的数是 第3行中的数是 则第n行中的数是 设第n行中从左到右第14与第

7、15个数的比为 则 ,解得 2.(1-x3)(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为_(用数字作答). 解析: (1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+), x4的系数为C104+(-1) C101=200. 200 课堂训练 3. 若nN且n为奇数,则6n+6n-1+6n-2+6-1被8除所得的余数是( ). (A)0 (B)2 (C)5 (D)7 原式=(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n-8n- 1+8n-2-+8-1-2=8(8n-1-8n-2+)-3, 余数为8-3=5. C 课堂训练 (1)Cn1+Cn2

8、+Cnn=_; C111+C113+C115+C117+C119+C1111=_. (2)在(1+x)10的展开式中,二项式系数最大为 _; 在(1-x)11的展开式中,二项式系数最大为_ . 课堂练习 1.填空 5 10 C 7 11 C 12 n 10 2 课堂训练 (1) 的展开式中,无理项的个数是( ) A .83 B.84 C.85 D.86 (2)(x-2)9的展开式中,第6项的二项式系数 是( ) A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 2.选择 1003 ( 23) 课堂训练 3.解答题 (1)求(2x+3y)6的展开式的第三项. 解: 由二项展开式的通项知 T

9、3=T2+1=C62(2x)6-2(3y)2=2160 x4y2 课堂训练 (2)求(2a+3b)6的展开式的第三项的二项式系数. 解: 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2a)6-2(3b)2=2160a4b2 由二项式系数定义知,展开式的第三项的二项式系数为C62=15,而展开式的第三项的系 数为2160. 课堂训练 1.二项式系数的三条性质 (1)对称性; (2)增减性与最大值; (3)各二项式系数的和; (4)递推性(杨辉三角中). 课堂小结 2. 数学思想方法 (1)函数法; (2)特殊值法 ; (3)赋值法 、递推法、图象法. 3.“系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项. 讲解人: 时间:2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 感谢你的聆听感谢你的聆听 第1章 计数原理 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3

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