1、讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 1.3.2“杨辉三角杨辉三角” ”与二项式系数的性质与二项式系数的性质 第1章 计数原理 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3 一般地，对于n N*有 011222 ()n nnn nnn rn rrnn nn abC aC abC ab C abC b 二项定理: 课前导入 观察 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 )(ba 2 )(ba 3
2、)(ba 4 )(ba 5 )(ba 6 )(ba 课前导入 （1）上述的表叫做二项式系数的表,观察表中二项式系数的规律,并加以归纳. （2）继续观察,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质. 课前导入 1、杨辉三角 南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家和教育家，杨辉 一生编写的数学书很多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官,到过苏州、台 州等地，他每到一处都会有人慕名前来 请教数学问题. 杨辉 新知探究 本节课的课题二项式定理就是研究 （a+b）的平方,(a+b)的三次方 （a+b）的n次方的乘法展开式的 规律， 法国数学家帕斯卡在17世纪发现了
3、它，国外把这一规律称为帕斯卡三角.其实，我国数学家杨辉早在 1261年在他的详解九章算法中就有了相应的图表. 新知探究 九章算术 详解九章算法中记载的表 新知探究 2、二项式系数性质 展开式的二项式系数依次是： n ba)( 012n nnnn C ,C ,C ,C 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： r n C)(rf 当 时，其图象是右图中的7个孤立点 6n n, 2 , 1 , 0 新知探究 由以上分析可以画出如下图: 新知探究 观察 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质. 新知探究 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由
4、公式 Cnm=Cnn-m 得到. 新知探究 知识要点 直线 将函数 的图像分成对称的两部分，它是图像的对称轴 n r 2 f(r) 新知探究 2.增减性与最大值 k n k-1 n n(n-1)(n-2)(n-k +1) C = k(k -1)! n-k +1 = C k 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定 k n C 1 C k n n-k +1 k 新知探究 知识要点 由： n-k +1 n+1 1k k2 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值. n+1 k 2 可知，当 时， 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 n 2 n C 系数 取
5、得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 n-1 2 n C n+1 2 n C 相等，且同时取得最大值. 新知探究 3.各二项式系数之和 已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cnrxr+Cnnxn 令x=1，则 2n=Cn0+Cn1+Cnn 新知探究 知识要点 例题 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析： 奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+ 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+ 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数，因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上述两 个系数和. 新知探究 证明： 在二项展开式中，令a=1，b=
6、-1，则得 (1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn 即 0=(Cn0+Cn2 +)-(Cn1+Cn3+), 所以 Cn0+Cn2 += Cn1+Cn3+, 即得证. 新知探究 1. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比 为2:3 . 34 课堂训练 解析： 01 11 CC， 012 222 CCC， 0123 3333 CCCC， 012n nnnn CCCC， ， 2:3 1314 nn CC=2:3n = 34 由图1我们能发现，第1行中的数是 第2行中的数是 第3行中的数是 则第n行中的数是 设第n行中从左到右第14与第
7、15个数的比为 则 ，解得 2.(1-x3)(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为_(用数字作答). 解析： (1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+)， x4的系数为C104+(-1) C101=200. 200 课堂训练 3. 若nN且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+6-1被8除所得的余数是( ). (A)0 (B)2 (C)5 (D)7 原式=(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n-8n- 1+8n-2-+8-1-2=8(8n-1-8n-2+)-3， 余数为8-3=5. C 课堂训练 (1)Cn1+Cn2
8、+Cnn=_; C111+C113+C115+C117+C119+C1111=_. (2)在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 _； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_ . 课堂练习 1.填空 5 10 C 7 11 C 12 n 10 2 课堂训练 （1） 的展开式中，无理项的个数是（ ） A .83 B.84 C.85 D.86 （2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 2.选择 1003 ( 23) 课堂训练 3.解答题 （1）求(2x+3y)6的展开式的第三项. 解： 由二项展开式的通项知 T
9、3=T2+1=C62(2x)6-2(3y)2=2160 x4y2 课堂训练 （2）求(2a+3b)6的展开式的第三项的二项式系数. 解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2a)6-2(3b)2=2160a4b2 由二项式系数定义知，展开式的第三项的二项式系数为C62=15，而展开式的第三项的系 数为2160. 课堂训练 1.二项式系数的三条性质 （1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）. 课堂小结 2. 数学思想方法 （1）函数法; （2）特殊值法 ; （3）赋值法 、递推法、图象法. 3.“系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项. 讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 感谢你的聆听感谢你的聆听 第1章 计数原理 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3