1、讲解人： 时间：2020.6.1 P E O P L E S E D U C A T I O N P R E S S H I G H S C H O O L M A T H E M A T I C S E L E C T I V E 2 - 3 2.3.2离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 第2章 随机变量及其分布 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3 1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2 . 两种特殊分布的均值 （1）若随机变量X服从两点分布，则EX=p. （2）若XB(n，p) ，则EX=np. n ii i=1 EX =x p 课
2、前导入 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随 机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值. 今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究. 课前导入 思考 要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 新知探究 第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 根据已学知
3、识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低， 即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算 新知探究 E(X1)=8，E(X2)=8， 发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 思考 除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？ 新知探究 图(1)(2)分别表示X1和X2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于 8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1 X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 O 5 6 7 9 8 P 2 X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.
4、5 (1) (2) 怎样定量刻画 随机变量的稳定 性? 新知探究 1.方差 设离散型随机变量X的分布列为 知识要点 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则(xi-E(X)2描述了xi(i=1，2，n)相对于均值E(X)的偏离程度. 新知探究 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为随机 变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X的标准差(standard deviation). 记为 n 2 ii i=1 DX =(x -EX) p DXX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均
5、程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 新知探究 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度 量指标. 思考 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 新知探究 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来 估计总体方差. 现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的 计算结果及方差的定义，得 10 2 11 i=5 DX =(i-8) P(X = i)=1.5
6、0, 9 2 22 i=5 DX =(i-8) P(X = i)=0.82 因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右. 新知探究 知识要点 2.几点重要性质 （1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若XB(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X). 新知探究 例题1 A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： 次品数1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数1 0 1 2 3 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 问哪一台机床加
7、工质量较好？ 新知探究 解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差 D1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2 0.06+(3-0.44)20.04=0.6064, D2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)2 0.04+(3-0.44)20.10=0.9264. D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好. 新知探究 例题2 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1
8、200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 新知探究 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得 1 EX =1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400 2 22 1 DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2 2 +(1800-1400) 0. 1=
9、 40 000 2 EX =1 000 0.4 +1 400 0.3 + 1 800 0.2 + 2200 0.1 = 1400 222 2 DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2 2 + (2200-1400 )0.l = 160000 . 新知探究 分析： 因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中， 乙单位不同职位的工资相对分散. 这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位； 如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位. 1212 EX =EX ,DX DX 新知探究 例题3 有
10、同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺 年卡的人数为X. （1）求随机变量的概率分布； （2）求X的数学期望和方差. 新知探究 4 4 11689 P(X = 4)=,P(X = 3)= 0,P(X = 2)=,P(X =1)=,P(X = 0) = A24242424 9861 E(X)= 0+1+2+3 0+4=1 24242424 22222 9861 V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=1 24242424 解：（1） 因此X的分布列为 （2） X 0 1 2 3 4 P 9/24 8/24 6/24 0
11、1/24 新知探究 例题3 有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷 两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如 果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元； 如果得7，顾客应付庄家30元试用数学知识解释其中的道理. 新知探究 解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规 则可得随机变量的概率分布为： X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 2
12、46810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30= 3636363636369 因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有 些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家. 1. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将 丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是_（元）. 投资成功 投资失败 192次 8次 课堂练习 答案4760 提示：分布列为 0.6 -2.5 P 192/200 8/192 故 19
13、28 E = 0.6-2.5= 4760() 200200 元 课堂练习 2.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示： 则其中产量比较稳定的小麦品种是_ 答案甲种 品种 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 课堂练习 3.某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的 损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别 为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分
14、别为0.9和0.85，若预防方案 允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用=采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值） 课堂练习 解析 不采用预防措施时，总费用即损失期望值为4000.3=120（万元）； 若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1， 损失期望值为4000.l=40（万元），所以总费用为4540=85（万元）； 若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1 0.85=0.15，损失期望值为4000.15=60（万元），所以总费用为3060=90（万元）； 若联合采取
15、甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为4530=75（万元），发生突发事件 的概率为(10.9)(10.85)=0.015，损失期望值为4000.015=6（万元），所以总费用为75 6=81（万元） 综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可 使总费用最少 继续答题 课堂练习 1.填空 （1）已知xB(100,0.5),则 Ex=_,Dx=_,sx=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, s(2x-1)=_. 50 25 5 99 100 10 课堂练习 （1）已知随机变量x的分布列如上表,则E x与D x的值为( ) A. 0.6和0.7 B. 1.7和0.3
16、C. 0.3和0.7 D. 1.7和0.21 （2）已知xB(n，p)，E x =8，D x =1.6，则n， p的值分别是（ ） A100和0.08； B20和0.4； C10和0.2； D10和0.8 2.选择 x 1 2 P 0.3 0.7 课堂练习 3.解答题 （1） 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就 不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望. 分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发 生变化，即各次抽样是不独立的如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽
17、样 是否抽出次品是完全独立的事件. 课堂练习 解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然 所有可能取的值为0，1，2，3 当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P（=0）= 当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P（=1）= 4 3 12 9 44 9 11 9 12 3 课堂练习 当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P（=2）= 当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P（=3）= 所以，E= 3299 = 12 11 10220 32191 = 1211 109220 39913 0+1+2+3= 444220220
18、10 继续答题 课堂练习 （2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为， 求E，D 分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题 课堂练习 解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即B（200，1%）， 从而可用公式：E=np，D=npq(这里q=1-p)直接进行计算. 由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各 次抽查的结果是彼此独立的 解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以 B（200，1%） 因为E=np，D=npq，这里n
19、=200，p=1%，q=99%， 所以, E=2001%=2,D=2001%99%=1.98. 1.熟记方差计算公式 n 2 ii i=1 DX =(x -EX) p 2 = E(X-EX) 22 = EX -(EX) 2. 三个重要的方差公式 （1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X B(n,p)DX = np(1-p) DX = p(1-p) 2 (3)D(aX+b) = a DX 课堂小结 3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤： 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； 求X取各个值的概率，写出分布列； 根据分布列，由期望的定义求出 EX； 根据方差、标准差的定义求出 、 XDX 课堂小结 讲解人： 时间：2020.6.1 P E O P L E S E D U C A T I O N P R E S S H I G H S C H O O L M A T H E M A T I C S E L E C T I V E 2 - 3 感 谢 你 的 聆 听感 谢 你 的 聆 听 第2章 随机变量及其分布 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 3
