1、第第 2 2 课时课时 函数的平均变化率函数的平均变化率 学习目标 1.了解直线的斜率及意义.2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化 率的关系.3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性 知识点一 直线的斜率 1直线的斜率的定义：一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当 x1x2时，称y2y1 x2x1为直线 AB 的斜率；当 x1x2 时，称直线 AB 的斜率不存在 若记 xx2x1，相应的 yy2y1，则当 x0 时，斜率可记为y x. 思考 垂直于 x 轴的直线斜率存在吗？ 答案 由于直线垂直于 x 轴时，x1x2，所以斜率不存在.
2、 2直线的斜率的作用 直线 AB 的斜率反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度 知识点二 函数的平均变化率、函数递增递减的充要条件 1函数的平均变化率 一般地， 当 x1x2时， 称f x fx2fx1 x2x1 为函数 yf(x)在区间x1， x2(x1x2时)或x2， x1(x1x2 时)上的平均变化率 2函数递增、递减的充要条件 一般地， 若 I 是函数 yf(x)的定义域的子集， 对任意 x1， x2I 且 x1x2， 记 y1f(x1)， y2f(x2)， y x y2y1 x2x1 即f x fx2fx1 x2x1 ，则： (1)yf(x)在 I 上是增函数的充要条件是y x0 在 I
3、 上恒成立； (2)yf(x)在 I 上是减函数的充要条件是y x0 在 I 上恒成立 1对于给定平面直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若记 xx2x1，yy2 y1，则y x表示直线 AB 的斜率( ) 2若直线的斜率不存在，则直线与 x 轴垂直，反之也成立( ) 3函数 yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率为y x y1y2 x1x2.( ) 4在增函数和减函数的充要条件中，可以把“任意 x1，x2”改为“存在 x1，x2”( ) 一、直线的斜率公式及应用 例 1 已知直线 l 过点 M(m1，m1)，N(2m,1)当 m 为何值时，直线 l 的斜率是 1?
4、解 因为直线 l 的斜率是 1， 所以 m11 m12m1，即 m2 1m1，解得 m 3 2. 反思感悟 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直线与 x 轴垂直时，斜 率是不存在的 (2)斜率公式与两点 P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x2，y1与 y2可以同时交 换位置 跟踪训练 1 已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，求实数 a 的值 解 A，B，C 三点共线，且 32， BC，AB 的斜率都存在，且 kABkBC. 又kAB72 3a 5 3a，kBC 9a7 2
5、3 9a7 5 ， 9a7 5 5 3a，解得 a2 或 a 2 9. 二、平均变化率的计算 例 2 已知函数 f(x)2x21. (1)求函数 f(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率； (2)求函数 f(x)在区间2,2.01上的平均变化率； (3)求当 x01，x1 2时平均变化率的值 解 (1)由已知得 yf(x0 x)f(x0) 2(x0 x)212x2012x(2x0 x)， y x 2x2x0 x x 4x02x. (2)由(1)可知：y x4x02x，当 x02，x0.01 时， y x4220.018.02. (3)由(1)可知y x4x02x，当 x01，x 1 2时，
6、y x412 1 25. 反思感悟 求平均变化率的主要步骤 跟踪训练 2 一正方形铁板在 0 时边长为 10 cm，加热后会膨胀，当温度为 t 时，边长 变为 10(1at)cm，a 为常数试求铁板面积对温度的平均膨胀率 解 设温度的增量为 t，则铁板面积 S 的增量为 S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2， 所以平均膨胀率为S t200(aa 2t)100a2t. 三、利用平均变化率证明函数的单调性 例 3 若函数 yf(x)是其定义域的子集 I 上的增函数且 f(x)0，求证：g(x) 1 fx在 I 上为减函 数 证明 任取 x1，x2I 且 x
7、2x1，则 xx2x10， yf(x2)f(x1)， 函数 yf(x)是其定义域的子集 I 上的增函数， y0，y x0， gg(x2)g(x1) 1 fx2 1 fx1 fx1fx2 fx1fx2 . 又f(x)0，f(x1)f(x2)0 且 f(x1)f(x2)0， g0， g x0，故 g(x) 1 fx在 I 上为减函数 反思感悟 单调函数的运算性质 若函数 f(x)，g(x)在区间 I 上具有单调性，则： (1)f(x)与 f(x)C(C 为常数)具有相同的单调性 (2)f(x)与 a f(x)，当 a0 时具有相同的单调性； 当 a0 时具有相反的单调性 (3)当 f(x)恒为正值
8、或恒为负值时，f(x)与 1 fx具有相反的单调性 (4)在 f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 跟踪训练 3 证明：f(x) x是定义域上的增函数 证明 函数 f(x) x的定义域为0，)， 任取 x1，x20，)且 x1x2， 则f x fx2fx1 x2x1 x2 x1 x2x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 1 x2 x10， 函数 f(x) x在定义域
9、0，)上是增函数 1对于函数 y1 x，当 x1 时，y 的值是( ) A1 B1 C0.1 D不能确定 答案 D 解析 只由 x1 不能确定区间的端点，y 的值不能确定 2. 过下列两点的直线不存在斜率的是( ) A(4,2)与(4,1) B(0,3)与(3,0) C(3，1)与(2，1) D(2,2)与(2,5) 答案 D 解析 当两点所在直线与 x 轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在 3已知函数 f(x)x24 上两点 A，B，xA1，xB1.3，则直线 AB 的斜率为( ) A2 B2.3 C2.09 D2.1 答案 B 解析 f(1)5，f(1.3)5.69. kABf1.3f
10、1 1.31 5.695 0.3 2.3. 4函数 f(x) 2x在区间 1 2，2 上的平均变化率为( ) A2 B.2 3 C. 2 2 3 D. 2 答案 B 解析 函数 f(x) 2x在区间 1 2，2 上的平均变化率为 f2f 1 2 21 2 21 3 2 2 3. 5如图，函数 yf(x)在 A，B 两点间的平均变化率为_ 答案 1 解析 由函数平均变化率的定义可得，函数 yf(x)在 A，B 两点间的平均变化率为y x f3f1 31 13 311. 1知识清单： (1)直线的斜率 (2)函数的平均变化率 (3)函数增减性的充要条件 2方法归纳：数形结合法 3常见误区：直线与 x 轴垂直时直线的斜率存在性问题
