1、11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 上册,第一课时,三角形的内角和,我的形状最小,那我的内角和最小.,我的形状最大,那我的内角和最大.,不对,我有一个钝角,所以我的内角和才是最大的.,一天,三类三角形通过对自身的特点,讲出了自己对三角形内角和的理解,请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,2. 会运用三角形内角和定理进行计算.,1. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.,我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于180.与三角形的形状、大小无关.,思考:除了度量以外,你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180
2、呢?,折叠,还可以用拼接的方法,你知道怎样操作吗?,三角形的内角和,剪拼,测量,480,720,600,6004807201800,锐角三角形,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,观测的结果不一定可靠,还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程,你能发现证明的思路吗?,三角形的内角和定理的证明,在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起.,还有其他的拼接方法吗?,三角形三个内角的和等于180.,求证:A+B+C=180.,已知:ABC.,证法1:过点A作lBC, B=1.(两直线平行,内错角相等) C=2.(两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180, B+C+BAC=18
3、0.,1,2,证法2:延长BC到D,过点C作CEBA, A=1 .(两直线平行,内错角相等) B=2.(两直线平行,同位角相等) 又1+2+ACB=180, A+B+ACB=180.,E,D,E,D,F,证法3:过D作DEAC,作DFAB. C=EDB,B=FDC. (两直线平行,同位角相等) A+AED=180, AED+EDF=180, (两直线平行,同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180, A+B+C=180.,同学们还有其他的方法吗?,思考: 多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么?,借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角.,同学们按照上图中的
4、辅助线,给出证明步骤.,试一试,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.,思路总结,为了证明三个角的和为180,通过作平行线,利用平行线的性质,把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的常用方法.,作辅助线,例1 如图,在ABC中, BAC=40 , B=75 , AD是ABC的角平分线,求ADB的度数.,解:由BAC=40 , AD是ABC的角平分线,得,BAD= BAC=20 .,在ABD中, ADB=180B BAD =1807520 =85.,利用三角形的内角和定理求角的度数,如图,CD是ACB的平分线,DEBC,A50
5、,B70,求EDC,BDC的度数,解:A50,B70, ACB180AB60. CD是ACB的平分线, BCD ACB30. DEBC, EDCBCD30, 在BDC中,BDC180B BCD=80.,2.如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中A = 150,B= D=40.求C的度数.,解:C1802(4040150) 130.,1. 在ABC中,B40,C80,则A的度数为() A30B40 C50 D60,D,3.如图,在ABC中,B46,C54,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,交AC于点E,则ADE的大小是() A45 B54 C40 D50,C,例2 如图,A
6、BC中,D在BC的延长线上,过D作 DEAB于E,交AC于F.已知A30,FCD80, 求D.,解:DEAB,FEA90 在AEF中,FEA90,A30, AFE180FEAA60. 又CFDAFE, CFD60. 在CDF中,CFD60,FCD80, D180CFDFCD40.,4. 直线l1l2,一块含45角的直角三角尺如图放置,185, 则2_,40,l1,l2,基本图形,由三角形的内角和定理易得 A+B=C+D.,由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.,归纳总结,例3 在ABC 中, A 的度数是B 的度数的3倍,C 比B 大15,求A,B,C的度数.,解: 设B度数为x,则A度数为
7、3x,C度数为(x 15), 从而有,3x x (x 15) 180.,解得 x 33.,所以 3x 99 , x 15 48.,答: A, B, C的度数分别为99, 33,48.,方程的思想与三角形内角和定理的综合应用,方法点拨: 三角形中求角的度数问题,当角之间存在数量关系时,一般根据三角形内角和为180,列方程求解.,在ABC中,A B ACB,CD是ABC的高,CE是ACB的平分线,求DCE的度数,解析:根据已知条件用A表示出B和ACB,利用三角形的内角和求出A,再求出ACB,ACD,最后根据角平分线的定义求出ACE即可求得DCE的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度.,解:A B
8、ACB, 设Ax,B2x,ACB3x. ABACB180, x2x3x180,得x30, A30,ACB90. CD是ABC的高,ADC90, ACD180903060. CE是ACB的平分线, ACE 9045, DCEACDACE604515.,在ABC中,A :B:C=1:2:3,则ABC是 _三角形 .,在ABC中,A=35, B=43 ,则 C= .,在ABC中, A= B+10, C= A + 10, 则 A= , B= , C= .,102,直角,60,50,70,5.完成下列各题.,解析:设A=x,B=2x,C=3x,由三角形的内角和定理得:x+2x+3x=180,解得x=30
9、,3x=90.,例4 如图,C岛在A岛的北偏东50方向,B岛在A岛的北偏东80 方向,C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度?从C岛看A、 B两岛的视角ACB是多少度?,利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题).,解: CAB= BAD CAD=80 50=30.,由AD/BE,得BAD+ ABE=180 .,所以ABE=180 BAD=18080=100, ABC= ABE EBC=10040=60.,在ABC中, ACB =180 ABC CAB =1806030 =90,,答:从B岛看A,C两岛的视角ABC是60 ,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90
10、.,6.如图,一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60的方向,另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40的方向,那么在灯塔A处观看B和C处时的视角BAC是多少度?,解:在B处测得灯塔A在北偏东60的方向, ABD60. 又 DBE90, ABE90ABD906030. 在C处测得灯塔A在北偏东40的方向, ACE904050. BACACEABE503020. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角BAC是20.,如图,在ABC中,CD平分ACB交AB于点D,过点D作DEBC交AC于点E若A=54,B=48,则CDE的大小为( ) A44 B40 C39D38,解析:A=54,B=48, ACB=18054
11、48=78, CD平分ACB交AB于点D, DCB= 78=39, DEBC, CDE=DCB=39,C,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,3. 如图,则1+2+3+4=_ .,280 ,2.(2018滨州)在ABC中,若A=30,B=50,则C=,100,1. 如图,四边形ABCD中,点E在BC上,A+ADE=180,B=78,C=60,求EDC的度数,解:A+ADE=180, ABDE, CED=B=78 又C=60, EDC=180(CED+C) =180(78+60) =42,2.如图,在ABC中,B=42,C=78,AD平分BAC求ADC的度数.,解:
12、B=42,C=78, BAC=180B C=60. AD平分BAC, CAD= BAC=30, ADC=180BCAD=72.,如图,在ABC中,BP平分ABC,CP平分ACB,若BAC=60,求BPC的度数,解:ABC中,A=60, ABC+ACB=120 BP平分ABC,CP平分ACB, PBC+PCB= (ABC+ACB)=60 PBC+PCB+BPC=180, BPC=18060=120,思考:你能直接写出BPC与A 之间的数量关系吗?,解:BP平分ABC,CP平分ACB, PBC+PCB= (ABC+ACB) PBC+PCB+BPC=180, BPC=180 (ABC+ACB) =1
13、80 (180A)=90+ A ,求角度,证法,应用,转化为一个平角 或同旁内角互补,辅助线,三角形的内角和等于180 ,作平行线 转化思想,第二课时,直角三角形,在一个直角三角形里住着三个内角,平时,它们三兄弟非常团结.可是有一天,老二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说:“你凭什么度数最大,我也要和你一样大!”“不行啊!”老大说:“这是不可能的,否则,我们这个家就再也围不起来了”“为什么?” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗?,内角三兄弟之争,老大的度数为90,老二若是比老大的度数大,那么老二的度数要大于90,而三角形的内角和为180,相互矛盾,因而是不可能的.,在这个家里,我是永远的老大.
14、,3. 会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.,1. 了解直角三角形两个锐角的关系.,2. 掌握直角三角形的判定.,如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?,直角三角形的两个锐角互余,问题1:,如图,在RtABC中, C=90,两锐角的和等于多少呢?,在RtABC中,因为 C=90,由三角形内角和定理,得 A +B+C=180, 即 A +B=90.,由此,你可以得到直角三角形有什么性质呢?,问题2:,直角三角形的两个锐角互余(直角三角形的性质定理),应用格式: 在RtABC 中, C =90, A +B =90,直角三角形的表示:直角三角形可以用符号“Rt”表示,直角三角
15、形ABC 可以写成RtABC ,归纳总结,方法一(利用平行的判定和性质): B=C=90, ABCD, A=D. 方法二(利用直角三角形的性质): B=C=90, A+AOB=90,D+COD=90. AOB=COD, A=D.,例1(1)如图,B=C=90,AD交BC于点O,A与D有什么关系?,图,利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数,解:A=C. 理由如下: B=D=90, A+AOB=90,C+COD=90. AOB=COD, A=C.,(2)如图,B=D=90,AD交BC于点O,A与C有什么关系?请说明理由.,图,与图有哪些共同点与不同点?,1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等
16、于60,则另一个锐角的度数是() A120 B90 C60 D30,D,2. 如图,ABCD,EF与AB,CD分别相交于点E,F,EPEF,与EFD的平分线FP相交于点P,且BEP50,则EPF( )度 A70 B65 C60 D55,A,例2 如图, C=D=90 , AD, BC相交于点E. CAE与DBE有什么关系?为什么?,解:在RtACE中, CAE=90 AEC.,在RtBDE中, DBE=90 BED., AEC= BED, CAE= DBE.,3. 如图,在ABC中,已知ACB67,BE是AC上的高,CD是AB上的高,F是BE和CD的交点,DCB45.求ABE的度数,解:CD是
17、AB上的高, DBC90DCB904545. BE是AC上的高, EBC90ECB906723. ABEABCEBC452322.,思考:通过前面的例题,你能画出这些题型的基本图形吗?,基本图形,A=C,A=D,归纳总结,有两个角互余的三角形是直角三角形吗?,如图,在ABC中, A +B=90 , 那么ABC是直角三角形吗?,在ABC中, 因为 A +B +C=180, 又 A +B=90, 所以C=90. 即ABC是直角三角形.,有两个角互余的三角形是直角三角形,A,B,C,A,B,C,应用格式: 在ABC 中, A +B =90, ABC 是直角三角形,有两个角互余的三角形是直角三角形.(
18、直角三角形的性质定理),归纳总结,例3 如图,C=90 , 1= 2,ADE是直角三 角形吗?为什么?,解:在RtABC中, 2+ A=90 ., 1= 2, 1 + A=90 .,即ADE是直角三角形.,利用直角三角形的判定定理识别直角三角形,4.已知A37,B53,则ABC为() A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上都有可能,C,5.具备下列条件的ABC中,不是直角三角形的是() AABC BA B C CABC123 DA2B3C,D,例4 如图,CEAD,垂足为E,A=C,ABD是 直角三角形吗?为什么?,解:ABD是直角三角形.理由如下: CEAD, CED=90, C+
19、D=90, A=C, A+D=90, ABD是直角三角形.,6. 如图,BD平分ABC,ADB60,BDC80,C70.试判断ABD的形状,解:在DBC中,DBC180BDCC 180807030. BD平分ABC, ABDDBC30. 在ABD中, ADBABD603090, ABD是直角三角形,一副透明的三角板,如图叠放,直角三角板的斜边AB、CE相交于点D,则BDC=_,解析:CEA=60,BAE=45, ADE=180CEABAE=75, BDC=ADE=75.,75,1. 如图,一张长方形纸片,剪去一部分后得到一个三角形,则图中1+2的度数是_.,90,2. 如图,AB、CD相交于点
20、O,ACCD于点C, 若BOD=38,则A=_.,52,第1题图,第2题图,3. 在ABC中,若A=43,B=47,则这个 三角形是_.,直角三角形,4.在一个直角三角形中,有一个锐角等于40,则另 一个锐角的度数是() A40 B50 C60 D70,B,5. 具备下列条件的ABC中,不是直角三角形的是( ) AA+B=C BAB=C CA:B:C=1:2:3 DA=B=3C,D,如图所示,ABC为直角三角形,ACB=90, CDAB,与1互余的角有() AB BA CBCD和A DBCD,C,如图,在直角三角形ABC中,ACB=90,D是AB上一点,且ACD=B求证:ACD是直角三角形,证明:ACB=90, A+B=90, ACD=B, A+ACD=90, ACD是直角三角形.,直角三角形的性质与判定,性质,直角三角形的两个锐角互余,判定,有两个角互余的三角形是直角三角形,