1、2020 年中考数学九年级三轮冲刺练习一次函数综合 1在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+4 分别交y轴和x轴于点A、B两点， 点C在x轴的正半轴上，AO2OC，连接AC （1）如图 1，求直线AC的解析式； （2）如图 2，点P在线段AB上，点Q在BC的延长线上，满足：APCQ，连接PQ交AC 于点D，过点P作PEAC于点E，设点P的横坐标为t，PQE的面积为S，求S与t的 函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图 3，在（2）的条件下，PQ交y轴于点M，过点A作ANAC交QP的延长线于点 N，过点Q作QFAC交PE的延长线于点F，若MNDQ，求点F的坐标 2ykx+
2、b的图象经过点（2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点 （1）求一次函数的解析式 （2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q， 连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若 变化，请说明理由 （3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时， 直接写出点H的坐标 3如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4 与ykx+4 分别交x轴于点A、B，两直 线交于y轴上同一点C，点D的坐标为（，0），点E是AC的中点，连接OE交CD 于点F （1）求点F的坐标； （2）若OCBACD
3、，求k的值； （3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线 1，点M是直线BC上的动点，点N是x轴 上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P 的坐标 4已知，平面直角坐标系中，直线ykx4k交x轴A，交y轴正半轴于点B，直线y x+b经过点A，交y轴正半轴于点C，且BC5OC （1）如图 1，求k的值； （2）如图 2，点P为第二象限内直线AC上一点，过点P作AC的垂线，交x轴于点D， 交AB于点E，设点P的横坐标为t，ADE的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求 写出自变量t的取值范围）； （3）如图 3，在（2）的条件下，Q为线段PE上一点，PQPC
4、，连接AQ，过点C作CG AQ于G，交直线AB于点F，连接QF，若AQPFQE，求点F的坐标 5已知直线yx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B， （1）如图 1，求BAO的度数； （2）如图 2，点D在第三象限，连接BD，将线段BD以B为旋转中心逆时针旋转 90得 到BE且点E在第四象限，连接DE、OE，若DE2OE，求证：SADE2SAOE； （3）如图 3，点C为点A关于y轴的对称点，点D在第二象限，连接BD，将线段BD以B 为旋转中心逆时针旋转 90得到BE，点E在第四象限，连接OE且OEBC，过点A作AP BE交BC于点P，点Q在AB上，BQBP，过点Q作QGAP交x轴于点G若OF，
5、CG7，求SAOE 6问题：如图 1，ABC中，ABa，ACB如何用直尺和圆规作出点P，均使得APB ？（不需解答） 尝试：如图 2，ABC中，ACBC，ACB90 （1）请用直角三角尺（仅可画直角或直线）在图 2 中画出一个点P，使得APB45 （2）如图 3，若ACBC，以点A为原点，直线AB为x轴，过点A垂直于AB的直 线为y轴建立平面直角坐标系，直线y（b0）交x轴于点M，交y轴与 点N 当b7+时，请仅用圆规在射线MN上作出点P，使得APB45； 请直接写出射线MN上使得APB45或APB135时点P的个数及相应的b的取 值范围； 应用： 如图 4， ABC中，ABa， ACB， 请
6、用直尺和圆规作出点P， 使得APB， 且AP+BP最大，请简要说明理由（不写作法，保留作图痕迹） 7在平面上，对于给定的线段AB和点C，若平面上的点P（可以与点C重合）满足，APB ACB则称点P为点C关于直线AB的联络点 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（0，2），C（2，0） （1）在P1（2，2），P（1，0），R（1+，1）三个点中，是点O关于线段AB的联络 点的是 （2）若点P既是点O关于线段AB的联络点，同时又是点B关于线段OA的联络点，求点 P的横坐标m的取值范围； （3）直线yx+b（b0）与x轴，y轴分交于点M，N，若在线段BC上存在点N关于线 段OM的联络点
7、，直接写出b的取值范围 8已知：如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线ymx+10m交x轴于B，交y轴于 A，AOB的面积为 50 （1）求m的值； （2）P为BA延长线上一点，C为x轴上一点，坐标为（6，0），连接PC，D为x轴上一 点，连接PD，若PDPC，P点横坐标为t，PCD的面积为S，求S与t的函数关系式， 并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，过C作CFAB于F，当D在BO上时，过D作DGCP于G，过F 作FEDG于E，连接PE，当PE平分PDG周长时，求E点坐标 9如图，直线与x、y轴交于点A、B，过点B作x轴的平行线交直线yx+b于点 D，直线yx+b交x
8、、y轴于点E、K，且DK （1）如图 1，求直线DE的解析式； （2） 如图 2， 点P为AB延长线上一点， 把线段BP绕着点B顺时针旋转 90得到线段BF， 若点F刚好落在直线DE上，求点P的坐标； （3）如图 3，在（2）的条件下，点M为ED延长线上一点，连接PM和AM，AM交线段BD 于点N，若PM+MNAN，求线段PM的长 10如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4 分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB 的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形 （1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标 （2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运
9、动，同时， 动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH OA，垂足为H，连接MP，MH，设点P的运动时间为t秒 若MPH的面积为 1，求t的值； 点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由 参考答案 1解：（1）直线yx+4 分别交y轴和x轴于点A、B两点， 则点A、B的坐标为：（0，4）、（3，0）， AO2OC，则点C（2，0）， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式：ykx+b得：，解得：， 故直线AC的函数表达式为：y2x+4； （2）在ABC中，AB5，AC2，BC5， 则ABC为等
10、腰三角形，设BACBCAHCQ，则 sin， 点P（t，t+4），点A（0，4），则AP， APCQ，则点Q（2，0）， 过点Q作QHAC交AC的延长线于点H， QHCPEA90，PAEQCH，APCQ， PAEQCH（AAS），则QHPE， 则SDEPE+DEQHDEEP， 同理：PEDQHD（AAS）， 故点D是PQ的中点，故点D（1t，+2）， PEAC，点P（t，t+4），则直线PE的函数表达式为：yx+t+4， 联立并解得：xt，故点E（t，+4）， 则DE， SDEEPAPsin； （3）ANAC，则直线AN函数表达式中的k值为：，点A（0，4）， 同理可得：直线AN的函数表达式为
11、：yx+4， 同理可得：过点P（t，t+4）、Q（2，0）两点的函数表达式为：yx+ ， 联立并解得：xN， MNDQDP， NPMP，则xDxPxN， 即：1tt+，解得：t（舍去正值）， 故t；则点P（，2）、点E（，3）； EDFE，QFPE，EDFQ，而点D是PQ的中点， 则点E（，3）是点PF的中点， 则点F（，4） 2解：（1）ykx+b的图象经过点（2，2）、（3，7）， ， 解得， 一次函数的解析式为yx+4 （2）如图 1 中，结论：的值不变 理由：连接BM，设PB交OM于G 直线yx+4 与坐标轴相交于点、B两点， A（4，0），B（0，4）， OAOB4， 四边形POMN
12、是正方形， POMAOB90，OMOP， AOPBOM， OAOB， AOPBOM（SAS）， OPGGMB， OGPBGM， GBMGOP90， QMQP， QBQPQM， POQ是等腰直角三角形， OPQP， （3）如图 21 中，当四边形PBNH是菱形时， BH垂直平分线段PN，BH垂直平分线段OM， BMOB4， M（2，4+2）， P（42，2）， BNBP（4+2）4+4， PHBN4+4， QBQNOQ， NBO90， BNOAPH， H（68，2） 如图 22 中，当点P与A重合时，得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原 点O重合，H（0，0） 如图 23 中，当四边
13、形PBNH是菱形时，设PH交OB于J，在JO上取一点F，使得PJ JF BPBN， BPNBNP22.5， OPN90，PAO45， APO67.5， AOP67.5， POJ22.5， PFJFPO+POF45， FPOPOF22.5， PFOF，设PJBJJFx，则PBBNPFOFx， 2x+x4， x42， BNPH44，P（24，2）， H（68，2）， 综上所述，满足条件的点H的坐标为（68，2）或（0，0）或（68， 2） 3解：（1）如图 1 中， 直线yx+4 交x轴于A，交y轴于C， A（4，0），C（0，4）， AEEC， E（2，2）， 直线OE的解析式为yx， D（，0
14、）， 直线CD的解析式为y3x+4， 由，解得， F（1，1） （2）如图 2 中，将线段DC绕点D顺时针旋转 90得到DT，作直线CT交x轴于B DCDT，CDT90， DCT45， OAOC，AOC90， ACODCT45， ACDOCB， T（，）， 把T（，）代入ykx+4，得到k2 （3）如图 3 中， 当四边形BN1P1M1是菱形时，连接BP1交OC于K，作KHBC于H KBOKBH，KOOB，KHBC， KOKH， BKBK，KOBKHB90， RtKBORtKBH（HL）， BOBH2，设OKKHx， BC2， CH22， 在 RtCHK中，CK2KH2+CH2， （4x）2x
15、2+（22）2， x1， 直线BK的解析式为yx+1， 当x1 时，y， P1（1，） 当四边形BN2P2M2是菱形时，可得直线BP2的解析式为yx1， 当x1 时，y， P2（1，） 当四边形BP3N3M3是菱形时，M3在直线x1 时， M3（1，6）， P3与M3关于x轴对称， P3（1，6）， 当点N在B的右侧，BPMN为菱形时，此时P（1，4） 综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，）或（1，）或（1， 6）或（1，4） 4解：（1）由题意可知A（4，0），B（0，4k）， B点在y轴正半轴上， k0， 直线yx+b经过点A， b2， yx+2， C（0，2）， OC2， BC5OC，
16、 4k210， k3； （2）如图 2 中，由题意可知，P（t，t+2），且t0， DEAC， DE的直线解析式为y2xt+2， D（t1，0）， 直线AB的解析式为y3x+12， E（2+t，t+6）， S4（）（t+6）（4t）2； （3） 如图 3 中， 过点C作CKPA交AB于K， 作QJAD于J，FWAD于W，CRFW于R， 延长FC交AD于T 直线AC的解析式为yx+2，CKAC， 直线CK的解析式为y2x+2， 由， 解得， K（2，6）， C（0，2），A（4，0）， AC2，CK2，AK2， AK2CK2+AC2， ACK90，CAKCKA45， PEPA， AEPPAE45
17、， PEPA， PQPC， QEAC， CGAQ， CPQCGQ90， PCG+PQG180， EQFPQG，PCG+AGC180， ACFEQF， ACFEQF（ASA）， EQAC2，AFEF， P（t，t+2），C（0，2），PQPC，CPQ90， Q（t，t+2）， E（2+t，t+6），A（4，0）， F（3+t，t+3）， CFAQ， FTA+TAQ90，TAQ+AQJ90， FTAAQJ， CRTA， FCRFTAAQJ， tanFCRtanAQJ， ， ， 整理得t22t80 解得t2 或 4（舍弃）， F（，） 5解：（1）令x0，yb；令y0，xb， A（b，0），B（0，
18、b）， AOBO， BAO45； （2）如图 2， 过点D作DNOB于N，EMOB于M， BNDEMB90， BDN+DBN90， 由旋转知，BDBE，DBE90， DBM+EBM90， BDNEBM， BDNEBM（AAS）， DNBM，BNEM， 设点D（m，n），则DNm，ONn， BNbn，BMm，EMbn， OMmb， 点E（bn，m+b）， 延长EO至F，使OFOE， SAEF2SAOE，EF2OEDE， F（nb，mb）， A（b，0）， AF2n2+（m+b）2， A（b，0），D（m，n）， AD2（m+b）2+n2， AFAD， AEAE， AEDAEF（SSS）， SAE
19、DSAEF2SAOE； （3）由（1）知，A（b，0），B（0，b）， 点C为点A关于y轴的对称点， C（b，0）， 直线BC的解析式为yx+b， OF， F（0，）， A（b，0）， 直线AF的解析式为yx+， 联立解得，点P（，）， 易知，点Q是点P关于y轴的对称点， Q（，）， AP与QG的交点记作N，BE与x轴的交点记作M， QGAP， ANG90， PAO+AGQ90， AOF90， PAO+AFO90， AGQAFO， QGAP，BEAP， QGBE， AGQOMB， AFOBMO， AOFBOM，OAOB， AOFBOM（AAS）， OMOF， 直线BM的解析式为ybx+b， O
20、EBC， COEBCO45， 直线OE的解析式为yx， E（，）， CG7，OCb， OG7b， G（b7，0）， QGBE， 直线QG的解析式为ybx+b（b7）， 直线AB的解析式为yx+b， 联立解得，x， 点Q的横坐标为， ， b， E（，）， SAOEb 6解：尝试（1）如图 2 中，点P即为所求 （2）如图 3 中，过点C作CEMN，交OM于E，作EFMN于F ACCB，ACB90， OBOC2，可得C（，）， CEMN，直线MN的解析式为yx+（7+）， 直线CE的解析式为yx+1， E（3+，0），由题意M（7+，0）， EM4， EFMN，EMF30， EF2， 以C为圆心，
21、CA为半径作C， 2， C与MN有两个交点P1，P2，连接OP1，BP1，OP2，BP2， AP1BACB45，AP2BACB45， P1，P2即为所求 如图 31 中，当C与直线MN与C相切于点P时，作PHOM于H，CFOM于F，CE PH于E 在 RtPCE中，PEC90，CPE30，PC， CEPC，PECE， 四边形CFHE是矩形， FHCE，CFEH， PHPE+EH+， 在 RtPHM中，PHM90，PMH30， MHPH3+， OMOF+FH+HM+3+3+3， b3+3， 当直线MN经过点B时，b2， 观察图象可知：当 0b2或b3+3时，满足条件的点P只有一个 当 2b3+3
22、时，满足条件的点P有两个 当b3+3时，满足条件的点P为 0 个 应用：如图 4 中，作ABC的外接圆，AB的垂直平分线交ABC的外接圆于M 在劣弧AB上任意取一点P，连接PA，PB，则APBACB， 当点P与M重合时，PA+PB的值最大， 如图，点P即为所求 7解：（1）如图 1 中， A（2，0），B（0，2），P1（2，2），P（1，0），R（1+，1）， OAOBAP1BP1， 四边形OAP1B是菱形， AOB90， 四边形OAP1B是正方形， AP1BAOB90， P1是点O关于线段AB的联络点， AB2，取AB的中点E（1，1）， ERBEAE， ARB90AOB， 点R是点O关于
23、线段AB的联络点， 故答案为P1，R （2）如图 2 中，作AOB的外接圆E，过点E作x轴的平行线交E于G，H APBAOB90，APOABO45， 当点P在优弧上时，点P既是点O关于线段AB的联络点，同时又是点B关于线段 OA的联络点， AB2，E（1，1），G（1，1），H（1+_， 点P的横坐标m的取值范围 1m1+ （3）如图 3 中，作MON的外接圆E，作点E关于X轴的对称点E，以E为圆心， OE为半径作E 观察图象可知满足条件的点P在两个圆的优弧OM上， 当E与AB相切时，切点为H，由题意E的直径为， MN， OMON，MON90， ON1，此时直线MN的解析式为yx+1， 观察图
24、象可知：若在线段BC上存在点N关于线段OM的联络点，则b的取值范围为 1b 2 8解：（1）由题意可得：A（0，10m），B（10，0）， SAOB10|10m|50， m1 或1（舍弃） m1 （2）如图 1 中， PDPC，P点横坐标为t，C（6，0）， CD2|6t|， SPCD2|6t|10+t|t2+4t60|， 当t6 时，St2+4t60， 当10t6 时，St24t+60 （3）如图 2 中，在边CD的下方作K与CD相切于点E，与PD相切于点R，与PC相切于 点Q，连接PK，CK，DK，EK，PK交CD于T，作FWPK于W DEDR，GEGQ，PRPQ， PD+DEPG+EG，
25、 PE平分PDG的周长， 当F，E，K共线时，PE平分PDG的周长， DK平分RDG，PK平分DPG， DKPDGP45， DTK90， KDTDCK45， DKC90， DTTCTK6t， EFDG，DGPC， FKPQ， FKWCPT， FWPK， tanFKWtanCPT， ， BC16，FBC是等腰直角三角形， F（2，8）， K（t，t6）， ， 解得t2， P（2，12），D（2，0），K（2，4）， 直线PQ的解析式为y3x+18，直线FK的解析式为y3x+2， DGPQ， 直线DG的解析式为yx+， 由解得， E（，） 9解：（1）如图 1 中， 直线与x、y轴交于点A、B，
26、B（0，3），A（2，0）， 直线yx+b交x、y轴于点E、K， K（0，b），E（b，0）， OEOKb， OKE45， BDx轴， BDBK， DBK90， BKBD， DK5， BDDK5， OEOF2， b2， 直线DE的解析式为yx2 （2）如图 2 中， BFAB， 直线BF的解析式为yx+3， 由解得， F（3，1）， 线段BF是由BP顺时针旋转 90得到， P（2，6） （3）如图 3 中，作AHDB交DB的延长线于H，PTBD于T，延长PM交BD的延长线于 W，延长NM到Q，使得MQPM，过点Q作QJBK交BK的延长线于J，连接PQ PM+MNAN，PMMQ， PM+MNMN
27、+MQNQ， ANNQ， HNJQ90，ANHJNQ， ANHQNJ（AAS）， AHQJ3， PTAH3， PTQJ3， PTQJ，PTJ90 四边形PTJQ是矩形， PQTJ， QPWPWT， WNMPQM， MPMQ， PQMMPQ， MWNMNW， MNMW， MNWANHPWT， PTWH90，AHPT3， AHNPTW（AAS）， PKAN，NHTW，ANPW， PM+MNPM+MKPWAN满足条件， HTNW4， 设TNx，过点M作MRDW于R， MNMW，MRNW， NRRW2， MRPT， ， ， MRDR， ND23x， 解得x2 或5（舍弃） BK8， W（8，3）， P
28、（2，6）， 直线PW的解析式为yx+7， 由，解得， M（6，4）， PM2 10解：（1）设直线AB交CD于E 直线yx+4 分别交x轴，y轴于A，B两点， A（4，0），B（0，4）， OCBC2，四边形AOCD是矩形， D（4，2）， 当y2 时，2x+4， x2， E（2，2） （2）如图 21 作MFOA于F 在 RtAMF中，AFM90，AMt，MAF45， AFFMt 当点P在线段OE上时，SPHM2（4tt）1 解得t 如图 22 中，当点P在线段DE上时， 同法可得：SPHM2（t+t4）1 解得t， 综上所述，满足条件的t的值为或 如图 23 中，BP+PH+HQ存在最小值 连接CQ交AO于H，作HPCD于P， BCPH，BCPH， 四边形BCHP是平行四边形， BPCH， BP+PH+HQCH+BC+HQBC+CQ定值， 根据两点之间线段最短，可知此时BP+PH+HQ的值最小， B（0，4），A（4，0）， AQAB， Q（8，4）， C（0，2），Q（8，4）， 直线CQ的解析式为yx+2， 令y0，解得x， H（，0）， P（，2）
