1、 专题专题 08 动点类题目旋转问题探究动点类题目旋转问题探究 题型一：题型一：旋转旋转问题中问题中三点共线三点共线问题问题 例例 1 （ （2019绍兴）绍兴）如图 1 是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰 直角三角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD=30，DM=10. （1）在旋转过程中， 当 A、D、M 三点在同一直线上时，求 AM 的长. 当 A、D、M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长. （2） 若摆动臂 AD 顺时针旋转 90， 点 D 的位置由ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处， 连
2、接 D1D2， 如图 2，此时AD2C=135，CD2=60，求 BD2的长. 【分析】 （1）根据点 D 及 M 的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点 A、D、M 三点在同一直线上 时有两种情况，点 D 在 A 与 M 之间或点 M 在 A 与 D 之间；由题意知 D、M 均可能为直角顶点，分类讨 论求解； （2）由题意知AD1D2是等腰直角三角形，连接 CD1，ABD2ACD1，由D1D2C=90，利用 勾股定理求得 CD1的值，即为 BD2的值. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）点 D 在 A 与 M 之间时，AM=AD+DM=30+10=40. 点 M 在 A 与 D 之间时，A
3、M=ADDM=3010=20. 当ADM=90时， 由勾股定理得 AM= 22 10 10ADDM; 当AMD=90时， 由勾股定理得 AM= 22 20 2ADDM; A D M A D M （2）摆动臂 AD 顺时针旋转 90，点 D 的位置由ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处， AD1=AD2，D1AD2=90， AD1D2=AD2D1=45，D1D2=30 2 AD2C=135， D1D2C=90， 连接 D1C，如下图所示， BAD2+D2AC=CAD1+D2AC=90， BAD2=CAD1 AB=AC，AD2=AD1， ABD2ACD1 BD2= CD1 在 RtD1D2C
4、中，由勾股定理得：D1C= 22 122 30 6DDD C . 题型题型二二：旋转与全等及直角三角形存在性旋转与全等及直角三角形存在性问题问题 例例 2 （ （2019金华）金华） 如图， 在等腰 RtABC 中， ACB=90 ， AB=14 2.点 D， E 分别在边 AB， BC 上， 将线段 ED 绕点 E 按逆时针方向旋转 90 得到 EF. （1）如图 1，若 AD=BD，点 E 与点 C 重合，AF 与 DC 相交于点 O,求证：BD=2DO. （2）已知点 G 为 AF 的中点. 如图 2，若 AD=BD，CE=2，求 DG 的长. 若 AD=6BD,是否存在点 E,使得DE
5、G 是直角三角形？若存在，求 CE 的长；若不存在，试说明理由. 图 1 图 2 图 3 【分析】 （1）由旋转性质及题意证明ADOFCO，得到结论； （2）过点 D,F 作 DNBC, FM BC，得到DNEEMF，再由 DG 是ABF 的中位线，得到结果；分当DEG=90及EDG=90讨 论，作出图形，构造全等三角形、相似三角形求解. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）由旋转性质得：CD=CF，DCF=90 ， ABC 是等腰直角三角形，AD=BD. 即ADO=90 ，CD=BD=AD, DCF=ADC. 在ADO 和FCO 中， ADOFCO， DO=CO， BD=CD=2OD. （
6、2）如下图所示,过点 D,F 作 DNBC 于点 N,FMBC 于点 M,连结 BF. DNE=EMF=90 . 又NDE=MEF,DE=EF, DNEEMF, DN=EM. BD=7 2,ABC=45 , ADOFCO AODFOC ADFC ， ， ， DN=EM= 2 2 BD=7, BM=BCMEEC=5, MF=NE= NCEC=5. BF=5 2 点 D,G 分别是 AB,AF 的中点, DG= 1 2 BF= 5 2 2 . 过点 D 作 DHBC 于点 H. AD=6BD，AB=14 2，BD=2 2. 当DEG=90 时，有如下图两种情况， 设 CE=t. DEF=90 ，D
7、EG=90 ， 点 A、F、E 在一条直线上. BH=DH=2, BE=14t，HE=BEBH=12t. 由DHEECA， 得： ECAC DHEH ，即 t14 212t ， 解得 t=62 2 即 CE 的长为6 2 2 或6 2 2 . 当 DGBC 时，如下图所示， 过点 F 作 FKBC 于点 K,延长 DG 交 AC 于点 N，延长 AC 并截取 MN=NA.连结 FM. 则 NC=DH=2,MC=10. 设 GN=t,则 FM=2t,BK=142t. DHEEKF， KE=DH=2,KF=HE=142t, MC=FK, 142t=10,得 t=2. GN=EC=2, GNEC，
8、四边形 GECN 是平行四边形. ACB=90 ， 四边形 GECN 是矩形，EGN=90 . 当 EC=2 时，有DGE=90 . 当EDG=90 时，如下图所示， 过点 G，F 分别作 AC 的垂线，交射线 AC 于点 N, M，过点 E 作 EKFM 于点 K，过点 D 作 GN 的垂线， 交 NG 的延长线于点 P. 则 PN=HC=BC-HB=12, 设 GN=t，则 FM=2t，PG=PN-GN=12-t. 由DHEEKF 可得：FK=2， CE=KM=2t-2， HE=HC-CE=12-(2t-2)=14-2t， EK=HE=14-2t, AM=AC+CM=AC+EK=14+14
9、-2t=28-2t， MN= 1 2 AM=14-t，NC=MN-CM=t， PD=t-2， 由GPDDHE 可得： 12-t2 2142 t t ， 解得 t=10+ 14（不符题意，舍去）或 1014 CE=2t-2=182 14 综上所述，CE 的长为：6 2 2 或6 2 2 或 2 或18 2 14 . 题型题型三三：旋转旋转问题中问题中线段比值是否变化线段比值是否变化问题问题 例例 3 （ （2019德州）德州） （1）如图 1，菱形 AEGH 的顶点 E、H 在菱形 ABCD 的边上，且BAD=60，请直接 写出 HD:GC:EB 的值； （2）将图 1 中的菱形 AEGH 绕点
10、 A 旋转一定角度，如图 2，求 HD:GC:EB； （3）把图 2 的菱形都换成矩形，如图 3，且 AD:AB=AH:AE=1:2，此时 HD:GC:EB 的结果与（2）小题的结 果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理由. 图 1 图 2 图 3 【答案】见解析. 【解析】解： （1）HD:GC:EB=1：3：1； （2） 如图，连接 AC，BD 交于点 O，连接 AG， 由题意知：AD=AB，AH=AE，DAB=HAE=60， D A B C E G H O DAH=BAE， DAHBAE， DH=BE, 又DAB=60，ABCD 是菱形， DAC=30，ACB
11、D，BD=2OD，AC=2OA， 在 RtAOD 中，OD:OA= 3 3 , BD:AC= 3 3 , 由ABD 是等边三角形，得：AD=BD， 即 AD:AC= 3 3 , 同理，得 AH:AG= 3 3 , AD:AC=AH:AG， 又DAC=HAG，DAH+HAC=CAG+HAC，即DAH=CAG， DAHCAG， DH:GC= 3 3 , HD:GC:EB=1: 3:1. (3)有变化，HD:GC:EB=1: 5:2. 如上图所示，由题意知：1+HAB=2+HAB=90， 1=2， 由 AH:AE=AD:AB=1:2，得：AH:AD=AE:AB， A B C D E H G 1 2
12、3 ADHABE， HD:EB=1:2， 连接 AG，AC， 由2+HAC=3+HAC，得：2=3， AG=5AH，AC=5AD, AD:AC=AH:AG, ADHACG， HD:GC=1:5， HD:GC:EB=1: 5:2. 题型题型四四：旋转旋转问题中问题中落点规律性落点规律性问题问题 例例 4 （ （2019台州）台州）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 BA 延长线上的一点，连接 PC 交 AD 于点 F，AP=FD. （1）求 AF AP 的值； （2）如图 1，连接 EC，在线段 EC 上取一点 M，使 EM=EB，连接 MF，求证：MF=PF；
13、（3）如图 2，过点 E 作 ENCD 于点 N，在线段 EN 上取一点 Q，使 AQ=AP，连接 BQ、BN，将AQB 绕 点 A 旋转，使点 Q 旋转后的对应点 Q落在边 AD 上. 请判断旋转后 B 的对应点 B是否落在线段 BN 上，请 说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）四边形 ABCD 是正方形，边长为 2， CDAB， P=FCD， AF AP =tanP=tanFCD= DF CD ， 设 AF=x，则 DF=AP=2x， 2 22 xx x ， 解得：x=35或 x=35（舍） ， AF AP = 51 2 . （2）E 是正方形 ABCD 边 AB 的中点，A
14、B=2， BE=1， 在 RtBCE 中，由勾股定理得：CE=5, 由（1）知：PE=PA+AE=51+1=5， CE=PE， P=PCE， 又P=DCF， PCE=DCF， 过点 F 作 FHCE 于 H，如下图所示， 在CFH 和CFD 中， =90DFHC CFCF FCH=FCD CFHCFD， CH=CD=2，FH=FD=51=AP， EH=ECCH=52， BC D A E M P F H HM=EMEH=35=AF APFHFM， PF=FM. （3）在 AD 上截取 AQ=AQ，在 BN 上截取 AB=AB，连接 AB，BQ， 过点 B作 BGAD 于 G，交 EN 于 K，如
15、下图所示， tanNBE=2，AB=AB=2， BB= 4 5 5 BN=BNBB= 5 5 ， 由NBKNBE， 得：BK= 1 5 ，KN= 2 5 ,BG= 6 5 ,DG= 2 5 ， QG= 13 5 5 ， 在 RtBGQ中，由勾股定理得：BQ2=BG2+ GQ2= 6626 5 5 , 而 2 6626 5 51 5 ， BQBQ， 即 B不在 BN 上. 题型题型五五：旋转旋转问题中问题中函数及落点函数及落点问题问题 例例 5 （ （2019连云港）连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 yx+b 的图象与函数 y k x （x0）的图 象相交于点 BC D A E
16、P F N Q Q B G K A（1，6） ，并与 x 轴交于点 C点 D 是线段 AC 上一点，ODC 与OAC 的面积比为 2：3 （1）k ，b ； （2）求点 D 的坐标； （3）若将ODC 绕点 O 逆时针旋转，得到ODC，其中点 D落在 x 轴负半轴上，判断点 C是否落在函数 y k x （x0）的图象上，并说明理由 【答案】 （1）6，5； （2） （3）见解析. 【解析】解： （1）将 A（1，6）代入 yx+b， 得，61+b，b5， 将 A（1，6）代入 y k x ， 得 k6， 故答案为：6，5； （2）如下图所示，过点 D 作 DMx 轴，垂足为 M，过点 A 作
17、ANx 轴，垂足为 N， ODC 与OAC 的面积比为 2：3 2 3 DM AN ， 又点 A 的坐标为（1，6） ， AN6， DM4，即点 D 的纵坐标为 4， 把 y4 代入 yx+5 中，得 x1， D（1，4） ； （3）由题意可知，ODOD17， 如下图所示，过点 C作 CGx 轴，垂足为 G， SODCSODC， OCDMODCG， 即 5417CG， CG 20 17 17 ， 在 RtOCG 中，由勾股定理得：OG 5 17 17 ， C的坐标为（ 5 17 17 ， 20 17 17 ） ， （ 5 17 17 ） 20 17 17 6， 点 C不在函数 y 6 x 的图
18、象上 题型题型六六：几何图形旋转中的类比探究几何图形旋转中的类比探究 例例 6 （ （2019自贡）自贡） （1）如图 1，E 是正方形 ABCD 边 AB 上的一点，连接 BD、DE，将BDE 绕点 D 逆时 针旋转 90 ，旋转后角的两边分别与射线 BC 交于点 F 和点 G. 线段 DB 和 DG 之间的数量关系是 ； 写出线段 BE，BF 和 DB 之间的数量关系. （2）当四边形 ABCD 为菱形，ADC=60 ，点 E 是菱形 ABCD 边 AB 所在直线上的一点，连接 BD、DE， 将BDE 绕点 D 逆时针旋转 120 ，旋转后角的两边分别与射线 BC 交于点 F 和点 G.
19、如图 2，点 E 在线段 AB 上时，请探究线段 BE、BF 和 BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； 如图 3，点 E 在线段 AB 的延长线上时，DE 交射线 BC 于点 M，若 BE=1，AB=2，直接写出线段 GM 的长 度. 图 1 图 2 图 3 【答案】 （1）DB=DG 2BEBFBD （2）见解析. 【解析】解： （1）由旋转知：GDB=90， 四边形 ABCD 是正方形，BD 为对角线， DBG=45， DGB=45， DG=DB， 在DBE 和DGF 中， BDEFDG BDDG DBEG DBEDGF， BE=GF， 由知，BD=DG，BDG=90， 即BDG 是
20、等腰直角三角形， BG=2BD， 即 2BEBFBD . （2）BDBFBE3 理由如下： 在菱形 ABCD 中，ABD=CBD= 2 1 ABC=30， 由旋转可得，EDF=BDG=120， EDF-BDF=BDG-BDF，即FDG=BDE. 在DBG 中，G=180-BDG-DBG=30， DBG=G=30， BD=DG. 在BDE 和GDF 中， DGFDBE DGBD BDEGDF BDEGDF（ASA） ， BE=GF， BE+BF=BF+GF=BG. 过点 D 作 DMBG 于点 M，如下图所示， BD=DG， BG=2BM. 在 RtBMD 中，DBM=30， BD=2DM， 设
21、 DM=a，则 BD=2a，BM=a3. BG=a32， 3 2 32 a a BD BG BF+BE=3BD. GM 的长度为 3 19 . 理由： GF=BE=1，FC=2CD=4，CM= 2 3 BC= 4 3 , GM=GF+FC+CM=1+4+ 4 3 = 19 3 . 题型题型六六：几何图形旋转中的计算题目几何图形旋转中的计算题目 例例 7 （ （2019潍坊）潍坊）如图 1，菱形 ABCD 的顶点 A、D 在直线上，BAD=60，以点 A 为旋转中心将菱形 ABCD 顺时针旋转（030） ，得到菱形 ABCD. BC交对角线 AC 于点 M，CD交直线 l 于点 N， 连接 MN
22、. （1）当 MNBD时，求的大小. （2）如图 2，对角线 BD交 AC 于点 H，交直线 l 于点 G，延长 CB交 AB 于点 E，连接 EH. 当HEB的 周长为 2 时，求菱形 ABCD 的周长. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）四边形 ABCD是菱形， ABBCCDAD， BADBCD60 ， ABD， BCD是等边三角形， MNBC， CMNCBD60 ，CNMCDB60 ， CMN 是等边三角形， CMCN， MBND， ABMADN120 ，ABAD， ABMADN（SAS） ， BAMDAN， CAD 1 2 BAD30 ， DAD15 ， 15 （2）CBD60 ， EBG120 ， EAG60 ， EAG+EBG180 ， 四边形 EAGB四点共圆， AEBAGD， EABGAD，ABAD， AEBAGD（AAS） ， EBGD，AEAG， AHAH，HAEHAG， AHEAHG（SAS） ， EHGH， EHB的周长为 2， EH+EB+HBBH+HG+GDBD2， ABAB2， 菱形 ABCD 的周长为 8
