1、已知集合 Ay|y2x，xR，Bx|ylg（2x），则 AB（ ） A （0，2） B （，2 C （，2） D （0，2 2 （5 分）若复数 z 满足 z（i1）2i（i 为虚数单位） ，则 为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3 （5 分）AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当 AQI 不大于 100 时称空 气质量为“优良” 如图是某市 3 月 1 日到 12 日 AQI 的统计数据则下列叙述正确的是 （ ） A这 12 天的 AQI 的中位数是 90 B12 天中超过 7 天空气质量为“优良” C从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越来越好 D这 12
2、 天的 AQI 的平均值为 100 4 （5 分）已知向量 （2，3） ， （x，4） ，若 （ ） ，则 x（ ） A1 B C2 D3 5 （5 分）某围棋俱乐部有队员 5 人，其中女队员 2 人，现随机选派 2 人参加围棋比赛，则 选出的 2 人中有女队员的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）已知 m，n 表示两条不同的直线， 表示平面下列说法正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn 第 2 页（共 24 页） C若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n 7 （5 分）函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象向左平移个单位后关于原点 对称，则 等于（
3、 ） A B C D 8 （5 分）如图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ） A66+2 B66+4 C662 D664 9 （5 分）函数 f（x）ln（x+1）x2的图象大致是（ ） A B C D 10 （5 分）正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为， 此时四面体 ABCD 外接球表面积为（ ） A7 B19 C D 11 （5 分）有如下命题：函数 ysinx 与 yx 的图象恰有三个交点；函数 ysinx 与 y 的图象恰有一个交点； 函数 ysinx 与 yx2的图象恰有两个交点； 函数 ysinx 与 yx3的图象
4、恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ） 第 3 页（共 24 页） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）若函数 f（x）（1x） （x2+ax+b）的图象关于点（2，0）对称，x1，x2分别 是 f（x）的极大值点与极小值点，则 x2x1（ ） A B2 C2 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）在ABC 中，若 AB，BC3，C120，则 AC 14 （5 分）如图，圆 C（圆心为 C）的一条弦 AB 的长为 2，则 15 （5 分）在（1+x+）4的展开式中，x2项的系数为 16 （5 分）定义在正实数上的函数 f（x）
5、xx，其中x表示不小于 x 的最小整数，如 0，21，1，62，当 x（0，n，nN*时，函数 f（x）的值域为 An，记集合 An中 元素的个数为 an，则 an 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 大题，共大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB2，AC2，ADCCAB90， 设DAC （1）若 60，求 BD 的长度； （2）若ADB30，求 tan 18 （12 分）在某市高中某学科竞赛中，某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示 （1）求这 4000
6、 名考生的竞赛平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表） ； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服正态分布 N（，2） ，其中 ，2分别取考生 的平均成绩 和考生成绩的方差 s2，那么该区 4000 名考生成绩超过 84.81 分的人数估计 有多少人？ 第 4 页（共 24 页） （3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛 考生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过 84.81 分的考生人数为 ，求 P（3） （精确 到 0.001） 附：s2204.75，； zN（，2） ，则 P（z+）0.6826，P（2z+2）0.9544； 0.841340.
7、501 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，B1A1AC1A1A60，AA1AC4，AB 2，P，Q 分别为棱 AA1，AC 的中点 （1）在平面 ABC 内过点 A 作 AM平面 PQB1交 BC 于点 M，并写出作图步骤，但不要 求证明； （2）若侧面 ACC1A1侧面 ABB1A1，求直线 A1C1与平面 PQB1所成角的正弦值 20 （12 分）已知两直线方程 l与 l2：y，点 A 在 l1上运动，点 B 在 l2 上运动，且线段 AB 的长为定值 2 （）求线段 AB 的中点 C 的轨迹方程； （）设直线 l1：ykx+m 与点 C 的轨迹相交于 M，N 两点，O
8、 为坐标原点，若 kOMkON ，求原点 O 的直线 l 的距离的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+ef（）x 第 5 页（共 24 页） （）求 f（x）的单调区间； （）若存在 x1，x2（x1x2） ，使得 f（x1）+f（x2）1，求证：x1+x22 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 直线 C2的方程为，以 O 为极点，以 x 轴
9、非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|2x+2m|（m0） （）当 m1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （）若xR，tR，使得 f（x）+|t1|t+1|，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2020 年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（理科）年湖南省名师联盟高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5
10、 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ay|y2x，xR，Bx|ylg（2x），则 AB（ ） A （0，2） B （，2 C （，2） D （0，2 【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ay|y2x，xRy|y0， Bx|ylg（2x）x|xx2， ABx|0x2（0，2） 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）若复数 z 满足 z（i1）2i（i 为虚数单位） ，则 为（ ） A1+
11、i B1i C1+i D1i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】解：Z（i1）2i（i 为虚数单位） ， Z（1i） （1+i）2i（1+i） ， 2z2（i1） ， 解得 z1i 则 1+i 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （5 分）AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当 AQI 不大于 100 时称空 气质量为“优良” 如图是某市 3 月 1 日到 12 日 AQI 的统计数据则下列叙述正确的是 （ ） 第 7 页（共 24 页） A这 12 天的 AQI 的中位数是 90
12、 B12 天中超过 7 天空气质量为“优良” C从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越来越好 D这 12 天的 AQI 的平均值为 100 【分析】对 4 个选项分别进行判断，可得结论 【解答】解：这 12 天的 AQI 的中位数是99.5，故 A 错误； 这 12 天中，空气质量为“优良”的有 95，85，77，67，72，92，故 B 错误； 从 4 日到 9 日，AQI 数值越来越低，空气质量越来越好，故 C 正确， （67+72+77+85+92+97+104+111+135+138+144+201）110.25，所以 D 错误， 故选：C 【点评】本题考查 AQI 指数值的统计数据
13、的分析，考查学生分析解决问题的能力，属于 基础题 4 （5 分）已知向量 （2，3） ， （x，4） ，若 （ ） ，则 x（ ） A1 B C2 D3 【分析】根据题意，求出向量 的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得若 （ ） ，则有 （ ）2（2x）+3（1）0，解可得 x 的值，即可得答 案 【解答】解：根据题意，向量 （2，3） ， （x，4） ， 则 （2x，1） ， 第 8 页（共 24 页） 若 （ ） ，则有 （ ）2（2x）+3（1）0， 解可得：x 故选：B 【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系 5 （5 分）某围棋俱乐部有队员
14、 5 人，其中女队员 2 人，现随机选派 2 人参加围棋比赛，则 选出的 2 人中有女队员的概率为（ ） A B C D 【分析】求出选 2 人的所有的结果，再求没有女生的结果，进而求出没有女生的概率， 再由对立事件的概率求出结果 【解答】解：由题意结合排列组合公式可得随机选派 2 人参加围棋比赛的方法有 种， 而选出的 2 人中没有女队员的方法有 种， 结合古典概型计算公式可得： 选出的2人中有女队员的概率为P11 故选：D 【点评】考查排列组合及求对立事件的概率的问题，属于基础题 6 （5 分）已知 m，n 表示两条不同的直线， 表示平面下列说法正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若
15、 m，n，则 mn C若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n 【分析】在 A 中，m 与 n 相交、平行或异面；在 B 中，由线面垂直的性质定理得 mn； 在 C 中，n 或 n；在 D 中，n 与 相交、平行或 n 【解答】解：由 m，n 表示两条不同的直线， 表示平面，知： 在 A 中，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 在 B 中，若 m，n，由线面垂直的性质定理得 mn，故 B 正确； 在 C 中，若 m，mn，则 n 或 n，故 C 错误； 在 D 中，若 m，mn，则 n 与 相交、平行或 n，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，
16、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力及数形结合思想，是中档题 第 9 页（共 24 页） 7 （5 分）函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象向左平移个单位后关于原点 对称，则 等于（ ） A B C D 【分析】函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象向左平移个单位后的解析式 g（x） ，由于平移后的图象关于原点对称，故 g（0）0，解得答案 【解答】解：函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象向左平移个单位后， 得到 g（x）sin（2x+） （|）的图象， 由于平移后的图象关于原点对称， 故 g（0）sin（+）0， 由|得： ， 故选：D
17、【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换，三角函数的对称性，难度中档 8 （5 分）如图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ） A66+2 B66+4 C662 D664 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 【解答】解：由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱， 其中长方体的长宽高分别为 3，3，4，圆柱的底面半径为 r1，圆柱的高为 5， 据此可得，组合体的表面积 S2（33+34+34）+21266+4 第 10 页（共 24 页） 故选：B 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，考查 空间想象能
18、力以及计算能力，是中档题 9 （5 分）函数 f（x）ln（x+1）x2的图象大致是（ ） A B C D 【分析】求得 f（x）的导函数，根据导函数的图象结合排除法即可选出选项 【解答】解：代 x0，知函数过原点，故排除 D f（x）ln（x+1）x2， f（x）ln（x+1）x22x， 大致画出 y2x22x+1 的图象， 故一定存在 x00 使得 f（x）取到极大值，排除 A、C， 故选：B 第 11 页（共 24 页） 【点评】本题考查函数的图象性质，属于简单题 10 （5 分）正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为， 此时四面体 ABCD
19、 外接球表面积为（ ） A7 B19 C D 【分析】三棱锥 BACD 的三条侧棱 BDAD、DCDA，底面是等腰三角形，它的外接 球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就 是球的半径，然后求球的表面积即可 【解答】解：根据题意可知三棱锥 BACD 的三条侧棱 BDAD、DCDA，底面是等腰 三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点 到顶点的距离，就是球的半径， 三棱柱中，底面BDC，BDCD1，BC，BDC120，BDC 的外接圆 的半径为1 由题意可得：球心到底面的距离为， 球的半径为 r 外接球的表面积为：4r27
20、故选：A 【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱 柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析 题意，是解好数学题目的前提 11 （5 分）有如下命题：函数 ysinx 与 yx 的图象恰有三个交点；函数 ysinx 与 y 的图象恰有一个交点； 函数 ysinx 与 yx2的图象恰有两个交点； 函数 ysinx 第 12 页（共 24 页） 与 yx3的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】构造函数 f（x）sinxx，求出函数的导数，研究函数的导数和单调性，进 行判断即可 利用与 x
21、 的关系进行转化判断 直接作出两个函数的图象即可进行判断 【解答】解：设 f（x）sinxx，则 f（x）cosx10，即函数 f（x）为减函数， f（0）0，函数 f（x）是奇函数， 函数 f（x）只有一个零点，即函数 ysinx 与 yx 的图象恰有一个交点，故错误， 由知当 x0 时，sinxx， 当 0x1 时，xsinx， 当 x1 时，sinx， 当 x0 时，sinx， 综上当 x0 时，sinx 恒成立， 函数 ysinx 与 y的图象恰有一个交点，故正确， 作出函数 ysinx 与 yx2，的图象，由图象知两个函数有 2 个交点，即函数 ysinx 与 yx2的图象恰有两个交
22、点，故正确， 作出函数 ysinx 与 yx3，的图象，由图象知两个函数有 3 个交点，即函数 ysinx 与 yx3的图象恰有三个交点，故正确， 故正确的是， 故选：C 第 13 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查考查命题的真假判断，涉及函数零点个数，利用数形结合或构造 函数，利用导数是解决本题的关键 12 （5 分）若函数 f（x）（1x） （x2+ax+b）的图象关于点（2，0）对称，x1，x2分别 是 f（x）的极大值点与极小值点，则 x2x1（ ） A B2 C2 D 【分析】由已知及对称性可知，f（2）0，f（5）0，代入可求 a，b，代入后根 据极值存在条件及方程的根与系数
23、关系可求 【解答】解：由题意可得 f（2）3（42a+b）0， 函数图象关于点（2，0）对称，且 f（1）0，故 f（5）0， 即 f（5）6（255a+b）0， 据此可得，解得 a7，b10 故函数的解析式为 f（x）（1x） （x2+7x+10） ， f（x）3x212x33（x2+4x+1） ， 结合题意可知：x1，x2是方程 x2+4x+10 的两个实数根，且 x1x2， 故 x2x12 故选：C 【点评】本题主要考查了函数的对称性及极值存在条件的应用，属于基础试题 二、填空题：本大题二、填空题：本大题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）在ABC 中，若 AB
24、，BC3，C120，则 AC 1 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解 AC 的值 【解答】解：在ABC 中，AB，BC3，C120， 由余弦定理可得：AB2AC2+BC22ACBCcosC，即： （） 2AC2+3223AC cos120 第 14 页（共 24 页） 整理可得：AC2+3AC40，解得：AC1 或4（舍去） 故答案为：1 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 14 （5 分）如图，圆 C（圆心为 C）的一条弦 AB 的长为 2，则 2 【分析】过点 C 作 CDAB 于 D，可得 ADAB1，RtACD 中利用三角函数的定义 算出 cosA，再由向
25、量数量积的公式加以计算，可得的值 【解答】解：过点 C 作 CDAB 于 D，则 D 为 AB 的中点 RtACD 中，ADAB1， 可得 cosA cosA2 故答案为：2 【点评】本题已知圆的弦长，求向量的数量积着重考查了圆的性质、直角三角形中三 角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题 15 （5 分）在（1+x+）4的展开式中，x2项的系数为 19 【分析】 （1+x+）4的展开式中，通项公式：Tk+1k0，1，2，3， 4.的通项公式为：Tr+1xk r .0rk，rZ令 k 2，解得 k，r，即可得出 【解答】解： （1+x+）4的展开式中，通项公式：Tk+1k0，1，2，
26、 第 15 页（共 24 页） 3，4 的通项公式为：Tr+1xk r .0rk，rZ 令 k2， 解得 k2，r0；k3，r2；k4r x2项的系数1+6+12+119 故答案为：19 【点评】本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、分类讨论方法， 考查了推理能力与计算能力，属于基础题 16 （5 分）定义在正实数上的函数 f（x）xx，其中x表示不小于 x 的最小整数，如 0，21，1，62，当 x（0，n，nN*时，函数 f（x）的值域为 An，记集合 An中 元素的个数为 an，则 an 【分析】根据条件可得 anan1+n，然后由 ana1+（a2a1）+（a3a2）
27、+（anan 1）求出 an 【解答】解：由条件知，当 n1 时，因为 x（0，1，x1， xx1，A11，a11 当 n2 时，当 x（1，2，则x2，xx（2，4， A21，3，4，a23 当 n3 时，当 x（2，3，则x3，xx3x（6，9，A31，3，4，7，8， 9，a36； 当 n4 时，当 x（3，4，则 x（3，4，xx4x（12，16， A41，3，4，7，8，9，13，14，15，16，a410； 当 n5 时，当 x（4，5，则x5，xx5x（20，25， A51，3，4，7，8，13，14，16，21，22，23，24，25，a515 由此类推：anan1+n 故 a
28、na1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）1+2+3+n 【点评】本题考查了数列与函数的综合应用和数列通项公式的求法，考查了分类讨论思 想，属中档题 第 16 页（共 24 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 大题，共大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤 17 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB2，AC2，ADCCAB90， 设DAC （1）若 60，求 BD 的长度； （2）若ADB30，求 tan 【分析】 （1）在直角三角形 ACD 中，求得 AD，在ABD 中，运用余弦定理可得 BD
29、； （2）求得 AD2cos，ABD60，在ABD 中，ADB30，AB2，运 用正弦定理和两角差的正弦公式、同角的商数关系，即可得到所求值 【解答】解： （1）由， 设DAC60， 可知，ADACcos6021 在ABD 中，DAB150，AB2，AD1， 由余弦定理可知， BD2（2）2+12221（）19， 则 BD； （2）由题意可知，AD2cos，ABD60， 在ABD 中，ADB30，AB2， 由正弦定理可知， ， 即4， 即有 2cos4（cossin） ， 4cos2sin， 第 17 页（共 24 页） 整理得 tan 【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角函数
30、的恒等变换，考查化简 整理的运算能力，属于中档题 18 （12 分）在某市高中某学科竞赛中，某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示 （1）求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表） ； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服正态分布 N（，2） ，其中 ，2分别取考生 的平均成绩 和考生成绩的方差 s2，那么该区 4000 名考生成绩超过 84.81 分的人数估计 有多少人？ （3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛 考生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过 84.81 分的考生人数为 ，求 P（3） （精确 到
31、 0.001） 附：s2204.75，； zN（，2） ，则 P（z+）0.6826，P（2z+2）0.9544； 0.841340.501 【分析】 （1）根据加权平均数公式计算 ； （2）根据正态分布的对称性计算 P（z84.81） ，再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算 P（3） 【解答】解： （1）由题意知：+850.15+95 0.170.5， 第 18 页（共 24 页） 4000 名考生的竞赛平均成绩 为 70.5 （2） 依题意 z 服从正态分布 N （， 2） ， 其中， 2D204.75， 14.31， z 服从正态分布 N（，2）N（70.5，14.312） ，
32、 而 P（z+）P（56.19z84.81）0.6826， 竞赛成绩超过 84.8 的人数估计为 0.15874000634.8 人635 人 （3）全市竞赛考生成绩不超过 84.8 的概率 10.15870.8413 而 B（4，0.8413） ， 10.5010.499 【点评】本题考查了频率分布直方图，正态分布与二项分布的概率计算，属于中档题 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，B1A1AC1A1A60，AA1AC4，AB 2，P，Q 分别为棱 AA1，AC 的中点 （1）在平面 ABC 内过点 A 作 AM平面 PQB1交 BC 于点 M，并写出作图步骤，但不要 求证
33、明； （2）若侧面 ACC1A1侧面 ABB1A1，求直线 A1C1与平面 PQB1所成角的正弦值 【分析】 （1）取 BB1中点 E，连接 AE、CE，取 CE 中点 N，得到 Q，N，P，B1四点共 面，延长 B1N 交 BC 于 H，再直接作出 AM 即可； （2）作 PNC1A1，则直线 A1C1与平面 PQB1所成角直线 PN 与平面 PQB1所成角， 求出 N 到平面 PQB1的距离，即可求直线 A1C1与平面 PQB1所成角的正弦值 【解答】解： （1）取 BB1中点 E，连接 AE，则 AEPB1， 连接 CE，取 CE 中点 N，连接 QN，则 QNAE， QNPB1，即 Q
34、，N，P，B1四点共面， 连接 B1N 交 BC 于 H，连接 QH，则 Q，H，B1，P 四点共面， 过 A 作 AMQH 交 BC 于 M，即为所求 第 19 页（共 24 页） （2）作 QO平面 ABB1A1，与 A1A 延长线交于 O，则 AO1，QO， OB1，QB1， B1P2，PQ2， cosQPB1， sinQPB1， ， 作 PNC1A1，则直线 A1C1与平面 PQB1所成角直线 PN 与平面 PQB1所成角， 2，2， 设 N 到平面 PQB1的距离为 h，则，h， 直线 A1C1与平面 PQB1所成角的正弦值 【点评】本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题
35、的能力，属于中档题 20 （12 分）已知两直线方程 l与 l2：y，点 A 在 l1上运动，点 B 在 l2 上运动，且线段 AB 的长为定值 2 （）求线段 AB 的中点 C 的轨迹方程； （）设直线 l1：ykx+m 与点 C 的轨迹相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOMkON 第 20 页（共 24 页） ，求原点 O 的直线 l 的距离的取值范围 【分析】 （）利用已知条件设，B（，C（x，y） ，建立 x， y 与 x1，x2的关系，利用线段 AB 的长化简计算即可； （）联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，由判别式大于 0 求得 m2 4k2+1，再由
36、 kOMkON，可得，从而求得 k 的范围，再由点到直线的距 离公式求出原点 O 到直线 l 的距离，则取值范围可求 【解答】解： （）点 A 在 l1：上运动，点 B 在 l2：上运动， 设 A（x1，） ，B（x2，） ，线段 AB 的中点 C（x，y） ，则有， ， x1+x22x， 线段 AB 的长为定值， 即，化简得 线段 AB 的中点 C 的轨迹方程为； （）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m240， （8km）24（4k2+1） （4m24）0， 化简得 m24k2+1 ， +m2， 若，则，即 4y1y25x1x2， ， 第
37、 21 页（共 24 页） 即， 化简得 由得 0m2， 注意到 m21，否则 OM，ON 中有一条斜率不存在，另一条为 0， 因此k2或k2， O 到直线 l 的距离 d， O 到直线 l 的距离的取值范围是 d0，）（，） 【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查了运算 求解能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+ef（）x （）求 f（x）的单调区间； （）若存在 x1，x2（x1x2） ，使得 f（x1）+f（x2）1，求证：x1+x22 【分析】 （I）f（x）e2 （x1）2x+ef（ ） 令 x，则 f（）1+ef （） ，解得
38、f（） ，进而得出函数 f（x）的单调性 （II）由（I）可得：函数 f（x） ）x2+x 在 R 上单调递增要证明：x1+x2 2x12x2f（x1）f（2x2） ，又 f（x1）+f（x2）1，因此 f（x1）f（2x2） 1f（x2）f（2x2） ， 即 f（x2）+f（2x2）10，f（1），则 x11x2令 g（x）f（2x） +f（x）1+2x2+4x2，x1，g（1）0利用导数研究其单 调性即可证明结论 【解答】解： （I）f（x）e2 （x1）2x+ef（ ） 第 22 页（共 24 页） 令 x，则 f（）1+ef（） ，解得 f（） f（x）e2 （x1）2x+1 f （x
39、）2e2（x1）22（ex1+1） （ex11） ， x1 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（x）f（1）0， 函数 f（x）在 R 上单调递增 （II）由（I）可得：函数 f（x） ）x2+x 在 R 上单调递增 要证明：x1+x22x12x2f（x1）f（2x2） ， 又 f（x1）+f（x2）1，因此 f（x1）f（2x2）1f（x2）f（2x2） ， 即 f（x2）+f（2x2）10， f（1），则 x11x2 令 g（x）f（2x）+f（x）1（2x）2+2x+x2+x +2x2+4x2，x1，g（1）0 g（x）e2 （1x）+e2（x1）4x+4， g （x）2e2（1x
40、）+2e2（x1）40，g（x）在（1，+）上单调递增 g（x）g（1）0， 函数 g（x）在（1，+）上单调递增 g（x）g（1）0， 因此结论 x1+x22 成立 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 直线 C2的方程
41、为，以 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； （2）若直线 C1与曲线 C2交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 【分析】 （1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直 第 23 页（共 24 页） 线方程转化为极坐标方程 （2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 转化为普通方程：， 即， 则 C1的极坐标方程为，（3 分） 直线 C2的方程为， 直线 C2的极坐标方程（5 分） （2）设 P（1，1） ，Q（2，2） ， 将代入， 得：2
42、5+30， 123， |OP|OQ|123（10 分） 【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐 标方程的转化，一元二次方程与的应用，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|2x+2m|（m0） （）当 m1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （）若xR，tR，使得 f（x）+|t1|t+1|，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）分段去绝对值解不等数组后在相并可得； （）f（x）+|t1|t+1|f（x）|t+1|t1|对任意 xR 恒成立，对实数 t 有解 再利用分段函数的单调性求得 f（x）的最大值，根据
43、绝对值不等式的性质可得|t+1|t 1|的最大值，然后将问题转化为 f（x）的最大值（|t+1|t1|）的最大值可得 【解答】 解：（） 当 m1 时， |x1|2x+2|1或或， 解得2x，所以原不等式的解集为2， （）f（x）+|t1|t+1|f（x）|t+1|t1|对任意 xR 恒成立，对实数 t 有解 第 24 页（共 24 页） f（x），根据分段函数的单调性可知：xm 时，f（x）取 得最大值 f（m）2m， |t+1|t1|（t+1）（t1）|2，2|t+1|t1|2，即|t+1|t1|的最大 值为 2 所以问题转化为 2m2，解得 0m1 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
