1、已知全集 UR，集合 Ax|x22x30，集合 Bx|log2x1，则 A（UB） （ ） A （2，3 B C1，0）（2，3 D 1， 0 （2， 3 2 （5 分）已知实数 x0，y0，则“2x+2y4”是“xy1”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）在等比数列an中，若 2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比 q 为（ ） A1 B2 C1 或 D 4 （5 分）图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到 12 次的考 试成绩依次记为 A1，A2，A12图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数
2、的一 个算法流程图那么算法流程图输出的结果是（ ） A8 B9 C10 D11 第 2 页（共 27 页） 5 （5 分）若直线 ax+by+20（a0、b0）截得圆（x+2）2+（y+1）21 的弦长为 2，则 的最小值为（ ） A4 B6 C8 D10 6 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合 百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质， 也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数 f（x）cosx 的图象大致 是（ ） A B C D 7（5分） 函数ysinxcosx的图象可由函数ysinx+cosx的图象
3、至少向右平移 （ ） 个单位长度得到 第 3 页（共 27 页） A B C D 8 （5 分）平面向量 与 的夹角为 60， （2，0） ，| +2 |，则| |（ ） A B1 C2 D 9 （5 分）如图，AB 和 CD 是圆 O 两条互相垂直的直径，分别以 OA，OB，OC，OD 为直 径作四个圆，在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A1 B C D 10 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，满足 2f（x+1）f（x） ，且当 x（0，1时，f（x） x（x1） 若对任意 xm，+） ，都有，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 11 （5 分）SC
4、 是球 O 的直径，A、B 是该球面上两点，AB，ASCBSC30， 棱锥 SABC 的体积为，则球 O 的表面积（ ） A4 B8 C16 D32 12 （5 分）关于函数，下列说法正确的是（ ） （1）x2 是 f（x）的极小值点； （2）函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点； （3）恒成立； （4）设函数 g（x）xf（x）+x2+4，若存在区间，使 g（x）在 a，b上的值域是k（a+2） ，k（b+2），则 A （1） （2） B （2） （4） C （1） （2） （4） D （1） （2） （3） （4） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20
5、分把答案填在题中的横线上）分把答案填在题中的横线上） 第 4 页（共 27 页） 13 （5 分）已知单位向量 与向量 （1，2）方向相同，则向量 的坐标是 14 （5 分）已知ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 B60， 则 sinA 的值为 15 （5 分）2019 年 1 月 1 日起新的个人所得税法开始实施，依据中华人民共和国个人所 得税法可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所 得不超过 5000 元 （俗称 “起征点” ） 的部分不征税， 超出 5000 元部分为全月纳税所得额 新 的税率表如下： 2019 年 1 月 1 日后个人
6、所得税税率表 全月应纳税所得额 税率（%） 不超过 3000 元的部分 3 超过 3000 元至 12000 元的部分 10 超过 12000 元至 25000 元的部分 20 超过 25000 元至 35000 元的部分 25 个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住 房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除其中赡养老人一项指纳税人赡 养 60 岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为 独生子女的，按照每月 2000 元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐 妹分摊每月 2000 元的扣除额度，每人分摊的
7、额度不能超过每月 1000 元某纳税人为独 生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在 2019 年 10 月份应缴纳个人所得税 款为 390 元，那么他当月的工资、薪金税后所得是 元 16 （5 分）函数 y（15sinx+7）cosx 的最大值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d 为整数，S535，且 a2，a3+1，a6 成等比数列 （1）求数列a
8、n的通项公式； （2）设数列bn满足 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）已知四棱锥 EABCD，AB3，BC4，CD12，AD13，cosADC， 第 5 页（共 27 页） EC平面 ABCD （1）求证：平面 ABE平面 EBC； （2）当 CE60 时，求直线 AC 和平面 ADE 所成角的正弦值 19 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，短轴长为 2 （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 l：ykx+m（k0）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直 平分线过定点（1，0） ，求实数 k 的取值范围 20 （12 分）已知函数 f（
9、x）lnxa（x1） （1）若函数 f（x）的图象与 x 轴相切，求实数 a 的值； （2）讨论函数 f（x）的零点个数 21 （12 分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS） 和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒 （nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人感染了新型冠状病毒后常见体 征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中感染可导致肺炎、 严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，有以 下两种检验方式： 方式一：逐份
10、检验，则需要检验 n 次 方式二：混合检验，将其中 k（kN*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若 检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪 几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每 份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） 现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记 采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的 总次数为 2 第 6 页（共 27 页） （1）若 E（1）E（2） ，试求关于
11、 k 的函数关系式 Pf（k） ； （2）若 P 与干扰素计量 xn相关，其中 x1，x2，xn（n2）是不同的正实数，满足 x11 且nN*（n2）都有 e成立 （i）求证：数列xn为等比数列； （ii）当 P1时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比 逐份检验的总次数的期望值更少，求 k 的最大值 （参考数据：ln41.3863，ln51.6094） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
12、 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程是 sin24cos0 （）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 经过曲线 C 的焦点 F 且与曲线 C 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 Q，求|FQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 （）证明：f（x）5； （）若 f（1）6 成立，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 27 页） 2020 年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）年湖
13、南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|x22x30，集合 Bx|log2x1，则 A（UB） （ ） A （2，3 B C1，0）（2，3 D 1， 0 （2， 3 【分析】求出集合 A，集合 B，从而得到 UB，由此能求出 A（UB） 【解答】解：全集 UR，集合 Ax|x22x30x|1x3， 集合
14、Bx|log2x1x|0x2， UBx|x0 或 x2， A（UB）x|1x0 或 2x31，0（2，3 故选：D 【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 2 （5 分）已知实数 x0，y0，则“2x+2y4”是“xy1”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用不等式的性质、简易逻辑的判定方法即可得出 【解答】解：实数 x0，y0，则“2x+2y4”24，化为：2x+y4，x+y 222，化为 xy1反之不成立，例如 x4，y 实数 x0，y0，则“2x+2y4”是“xy1”的充分不必要条件
15、 故选：C 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （5 分）在等比数列an中，若 2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比 q 为（ ） 第 8 页（共 27 页） A1 B2 C1 或 D 【分析】运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比 【解答】解：等比数列an中，若 2a2，3a3，4a4成等差数列， 可得 6a32a2+4a4， 即有 3a1q2a1q+2a1q3， 即为 2q23q+10， 解得 q1 或， 故选：C 【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能 力，属于基础题
16、 4 （5 分）图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到 12 次的考 试成绩依次记为 A1，A2，A12图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一 个算法流程图那么算法流程图输出的结果是（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行输出的结果是什么，结合茎叶 图，即可得出答案 第 9 页（共 27 页） 【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行输出的是 茎叶图所有数据中大于 90 的数据的个数 n， 由茎叶图知，n9 故选：B 【点评】本题考查了茎叶图与程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图
17、的运行过程， 以便得出该程序框图运行输出的是什么，是基础题 5 （5 分）若直线 ax+by+20（a0、b0）截得圆（x+2）2+（y+1）21 的弦长为 2，则 的最小值为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】由圆的方程求出圆心坐标及半径，求出圆的到直线的距离，圆中半个弦长与半 径和圆心到直线的距离构成直角三角形求出 a，b 的代数式，将转化（） （2a+b） ，整理用均值不等式求出最小值 【解答】解：由题意圆心坐标为： （2，1） ，半径1，所以圆心代直线的距离为：d ， 所以弦长 22，整理可得：2a+b2，a0，b0， 所以（） （2a+b）（2+2+）（4+2）4，所以 最小值
18、为 4， 故选：A 【点评】考查均值不等式及直线与圆的综合，属于中档题 6 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合 百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质， 也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数 f（x）cosx 的图象大致 是（ ） 第 10 页（共 27 页） A B C D 【分析】由函数的奇偶性及趋近性即可得解 【解答】解：，故函数 f（x）为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除 AC； 当 x0+时，f（x）+，故排除 D； 故选：B 【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题 7（5分
19、） 函数ysinxcosx的图象可由函数ysinx+cosx的图象至少向右平移 （ ） 个单位长度得到 A B C D 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数关系进行判断即可 第 11 页（共 27 页） 【解答】解：2sin（x） ， 2sin（x+） ， y2sin（x）2sin（x+） ， 即函数的图象可由函数的图象至少向右平移的 单位得到， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，利用辅助角公式进行转化是解决本题的关 键 8 （5 分）平面向量 与 的夹角为 60， （2，0） ，| +2 |，则| |（ ） A B1 C2 D 【分析】 利用两个向量的数量积的定义，4
20、+42 cos60+412 解出| |的值 【解答】解：由已知 4+42cos60+412， 故选：B 【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的求法，数量积公式的应用 9 （5 分）如图，AB 和 CD 是圆 O 两条互相垂直的直径，分别以 OA，OB，OC，OD 为直 径作四个圆，在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A1 B C D 【分析】由扇形的面积公式及弓形的面积的求法得：S白416（）8，由几 第 12 页（共 27 页） 何概型中的面积型可得：则 P（A）111，得解 【解答】解：设大圆的半径为 2，则小圆的半径为 1，S白416（）8， 设“此点取
21、自阴影部分”为事件 A， 由几何概型中的面积型可得： 则 P（A）111， 故选：A 【点评】本题考查了几何概型中的面积型，扇形的面积公式及弓形的面积的求法，属中 档题 10 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，满足 2f（x+1）f（x） ，且当 x（0，1时，f（x） x（x1） 若对任意 xm，+） ，都有，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】作出当 x（0，1时，f（x）x（x1）的图象，由图象变换，作出 yf（x） 的图象，以及直线 y，通过图象观察，解方程可得所求 m 的最小值 【解答】解：作出当 x（0，1时，f（x）x（x1）的图象，由 2f（x+1）f（
22、x） ， 可得 将 yf（x）在（0，1的图象向左平移 1 个，2 个，3 个单位， 同时点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，4 倍，8 倍， 将 yf（x）在（0，1的图象每向右平移 1 个，2 个，3 个单位， 同时点的纵坐标缩短到原来的倍，倍，倍， 作出直线 y，如图所示： 对任意 xm，+） ，都有，可得只要找直线 y与 f（x） （2x1）的 右边的交点， 由4（x+1） （x+2），解得 x（舍去） ， 则 m， 故选：D 第 13 页（共 27 页） 【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和图象变换，考查运 算能力和观察能力、推理能力，属于中档题 11 （5 分）
23、SC 是球 O 的直径，A、B 是该球面上两点，AB，ASCBSC30， 棱锥 SABC 的体积为，则球 O 的表面积（ ） A4 B8 C16 D32 【分析】由 SC 是球 O 的直径，可得SCA，SCB 是直角三角形，SASB， （R 为球半径） ，作 ADSC 于 D，连接 DB，可得 ADBD，SABD 由，解得 R2，即可 【解答】解：如图，SC 是球 O 的直径，可得SCA，SCB 是直角三角形， ASCBSC30，SASB， （R 为球半径） ， 作 ADSC 于 D，连接 DB，可得 ADBD， AB，SABD ，解得 R2， 则球 O 的表面积为 4R216 故选：C 第
24、14 页（共 27 页） 【点评】本题考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心 O 与 AB 的平面与 SC 垂直是本题的解题关键，常考题型 12 （5 分）关于函数，下列说法正确的是（ ） （1）x2 是 f（x）的极小值点； （2）函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点； （3）恒成立； （4）设函数 g（x）xf（x）+x2+4，若存在区间，使 g（x）在 a，b上的值域是k（a+2） ，k（b+2），则 A （1） （2） B （2） （4） C （1） （2） （4） D （1） （2） （3） （4） 【分析】 （1）求导，判断单调性，即可得出极小值点； （2）
25、求导，判断函数的单调性，然后结合零点存在定理，即可找出零点个数； （3）作差构造新函数，把原问题转化为新函数大于 0 恒成立，由于本题中新函数的最小 值不好求，所以不妨找出一个小于 0 的函数值，用反例判断命题的正误； （4）首先通过两次求导得到函数 g（x）在a，b上的单调性，然后根据函数 g（x）在a， b上的值域转化为方程 g（x）k（x+2）在上有 a，b 两解，求解即可 【解答】解： （1）定义域为（0，+） ， 令 f（x）0，则 x2，所以函数 f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调 递增 所以 x2 是 f（x）的极小值点，即（1）正确； 第 15 页（共 27 页
26、） （2）令，则恒成立 所以函数 g（x）在（0，+）上单调递减 而 g（1）2110， 所以函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点，即（2）正确； （3）令 h（x）f（x），原问题转化为 h（x）0 恒成立， h（x）恒成立，所以函数 h（x）在（0，+）上单调递减， 由于， 所以 h（x）0 不可能恒成立，即（3）错误； （4）g（x）xf（x）+x2+4x2xlnx+2，则 g（x）2xlnx1，令 t（x）2xlnx 1，则 t（x）， 所以 t （x） 在上单调递增， 所以 g （x） 在 上单调递增 因为，所以 g（x）在a，b上单调递增 因为 g（x）在a，b上的值域为k（a
27、+2） ，k（b+2），所以， 即方程 g（x）k（x+2）在上有 a，b 两个不同解，所以， 令， 则， 令 G（x）x2+3x2lnx4，则， 所以 G（x）在上单调递增，而， 所以当时，G（x）0 即 F（x）0；当 x1，+）时，G（x）0 即 F （x）0， 第 16 页（共 27 页） 因此 F（x）在上单调递减，在1，+）上单调递增， 所以 F（1）k，即 1k，所以（4）正确 故选：C 【点评】本题前 3 问相对常规，问题都是平常考查频次较高的，但第 4 问难度极高，涉 及二次求导，转化与化归的思想，而且对学生的运算求解能力也有一定要求 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
28、 4 小题，共小题，共 20 分把答案填在题中的横线上）分把答案填在题中的横线上） 13（5分） 已知单位向量 与向量 （1， 2） 方向相同， 则向量 的坐标是 【分析】设向量 a（x，y） ，根据题意列出方程组，通过解方程组求得 x、y 的值 【解答】解：设向量 a（x，y） ，则， 解得或， 由于向量 a 与向量 b 方向相同，所以 故答案是： 【点评】本题考查了平面向量基本概念的应用问题，是基础题目 14 （5 分）已知ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 B60， 则 sinA 的值为 【分析】先根据正弦定理求出 sinC；进而求出 cosC；再结合三角形内角和以
29、及两角和的 正弦公式即可求解 【解答】解：由正弦定理得， 因为，所以 bc，角 C 为锐角， ， 则 故答案为： 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 15 （5 分）2019 年 1 月 1 日起新的个人所得税法开始实施，依据中华人民共和国个人所 第 17 页（共 27 页） 得税法可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所 得不超过 5000 元 （俗称 “起征点” ） 的部分不征税， 超出 5000 元部分为全月纳税所得额 新 的税率表如下： 2019 年 1 月 1 日后个人所得税税率表 全月应纳税所得额 税率（%） 不
30、超过 3000 元的部分 3 超过 3000 元至 12000 元的部分 10 超过 12000 元至 25000 元的部分 20 超过 25000 元至 35000 元的部分 25 个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住 房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除其中赡养老人一项指纳税人赡 养 60 岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为 独生子女的，按照每月 2000 元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐 妹分摊每月 2000 元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月 1000 元某纳税人为独 生
31、子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在 2019 年 10 月份应缴纳个人所得税 款为 390 元，那么他当月的工资、薪金税后所得是 12610 元 【分析】利用分段函数先判断他的工资、薪金在 800017000 元之间，设工资、薪金为 x 元，则 30003%+（x10000）10%390，解出 x 的值即可 【解答】解：当工资、薪金为 8000 元时，缴纳税款 30003%90（元） ； 当工资、薪金为 17000 元时，缴纳税款 30003%+900010%990（元） ， 所以他的工资、薪金在 800017000 元之间， 设工资、薪金为 x 元，则 30003%+（x10000
32、）10%390，解得：x13000， 所以税后所得为 1300039012610（元） ， 故答案为：12610 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是基础题 16 （5 分）函数 y（15sinx+7）cosx 的最大值是 【分析】直接利用关系式的变换和函数的性质的应用求出结果 【解答】 解： 方法一： y15cos2x （15sinx+7） sinx15cos2x15sin2x7sinx30sin2x 7sinx+15（5sinx+3） （6sinx+5） ， 第 18 页（共 27 页） 令 y0，得或， 因为函数的定义域为 R，所以函数若存在最大值， 则最大值应在极大值处取到， 当，
33、时，函数的最大值为 方法二：因为 16sin2x+9cos2x24sinxcosx，当 4sinx3cosx 时，等号成立； ，当时，等号成立， 所以， 即， ， ， 当，时，等号成立， 因此函数 y（15sinx+7）cosx 的最大值是 胡答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17
34、 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d 为整数，S535，且 a2，a3+1，a6 成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列bn满足 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得 公差，进而得到所求通项公式； （2）求得 bn，运用数列的裂项相消 求和，计算可得所求和 【解答】解： （1）由 S55a335，得 a37， 第 19 页（共 27 页） 由 a2，a3+1，a6成等比数列，得 a2a6（a3+1）264， 即（a3d） （a3+3d）64，整理得 3d214d+150，
35、 又因为公差 d 为整数，所以 d3， 所以数列an的通项公式为 an3n2 （2）bn， 所以 Tnb1+b2+b3+bn 【点评】本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，数列的裂项相消求和， 考查方程思想和运算能力，属于中档题 18 （12 分）已知四棱锥 EABCD，AB3，BC4，CD12，AD13，cosADC， EC平面 ABCD （1）求证：平面 ABE平面 EBC； （2）当 CE60 时，求直线 AC 和平面 ADE 所成角的正弦值 【分析】 （1）结合面面垂直的判定定理可转化为证 AB平面 EBC，然后结合线面垂直 的判定定理即可证； （2）结合空间向量，转化为求与
36、平面 ADE 的法向量所成的角，即可求 【解答】解： （1）在ADC 中，由余弦定理可得，AC2AD2+DC22ADDCcosADC， 25， 故 AC5，AB2+BC2AC2，即 ABBC， 又 EC平面 ABCD，AB平面 ABCD， 所以 ECAB，ECBCC， 第 20 页（共 27 页） 所以 AB平面 EBC， 又 AB平面 ABE， 所以平面 ABE平面 BCE， （2）由（1）知 ACCD， 又 EC平面 ABCD， 所以 AC，CD，EC 两两垂直，以 C 为 原点，以 CD，CA，CE 分别为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系， 由题意可得，C（0，0，0） ，A（0，5
37、，0） ， （12，0，0） ，E （0，0，60） ， 则（12，5，0） ，（0，5，60） ， 设为平面 ADE 的一个法向量，由可得， 令 z1 可得， （5，12，1） ， 而（0，5，0） ，设直线 AC 与平面 ADE 所成的角为 ， 则 sin， 即直线 AC 与平面 ADE 所成的角的正弦值为 【点评】本题主要考查了面面垂直及线面垂直的判定定理及利用向量求解空间角，属于 中档试题 第 21 页（共 27 页） 19 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，短轴长为 2 （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 l：ykx+m（k0）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，
38、且线段 MN 的垂直 平分线过定点（1，0） ，求实数 k 的取值范围 【分析】 （）由题意可知：，解出即可得椭圆 C 的标准方程 （） 设 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， 将 ykx+m 代入椭圆方程， 消去 y 得 （1+4k2） x2+8kmx+4m2 40， 可得0， 利用根与系数关系及其中点坐标公式可得线段 MN 的中点 P 的坐标， 利用垂直平分线的性质可得线段 MN 的垂直平分线 l的方程，根据 点 P 在直线 l上，可得方程，进而得出实数 k 的取值范围 【解答】解： （）由题意可知：，得， 故椭圆 C 的标准方程为（4 分） （）设 M（x1，y1） ，N
39、（x2，y2） ，将 ykx+m 代入椭圆方程， 消去 y 得（1+4k2）x2+8kmx+4m240， 所以（8km）24（1+4k2） （4m24）0，即 m24k2+1 由根与系数关系得，则，（6 分） 所以线段 MN 的中点 P 的坐标为 （8 分） 又线段 MN 的垂直平分线 l的方程为， 由点 P 在直线 l上，得， 即 4k2+3km+10，所以（10 分） 由得，4k2+104k2+19k2， 第 22 页（共 27 页） 所以，即或， 所以实数 k 的取值范围是（12 分） 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等 式的解法、线段垂直平分线
40、的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）lnxa（x1） （1）若函数 f（x）的图象与 x 轴相切，求实数 a 的值； （2）讨论函数 f（x）的零点个数 【分析】 （1）结合导数几何意义及已知条件即可求解 a， （2）结合导数与单调性的关系及零点判定定理对 a 进行分类讨论即可求解 【解答】解： （1），令 f（x）0，则， 因为函数 f（x）的图象与 x 轴相切，所以， 即， 令 h（x）x1lnx，则， 当 0x1 时，h（x）0，函数 h（x）单调递减； 当 x1 时，h（x）0，函数 h（x）单调递增，所以 h（x）minh（1）0， 所以
41、 a1lna0 有唯一解 a1，即实数 a 的值为 1 （2）， 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，且 f（1）0，函数有 唯一零点； 当 a0 时，函数 f（x）在上单调递增，在上单调递减， ， 由（1）h（x）x1lnx 的单调性知： （）当 a1 时，f（x）max0，所以函数只有一个零点； （）当 0a1 时，f（1）0，所以函数 f（x）在上 有一个零点， 第 23 页（共 27 页） 令，则， 所以函数 p（x）在（0，+）上单调递增，又 p（1）0， 当 0x1 时，p（x）0，所以， 所以函数 f（x）在上有一个零点， 所以函数 f（x）在（0，+
42、）上有两个零点； （）当 a1 时，f（1）0，所以函数 f（x）在上 有一个零点， 当时，lnxa，f（x）lnxa（x1）aa（x1）ax0， 所以函数 f（x）在上有一个零点， 所以函数 f（x）在（0，+）上有两个零点， 综上，当 a0 或 a1 时，函数 f（x）有唯一零点； 当 0a1 或 a1 时，函数 f（x）有两个零点 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的性质，还考查了零 点判定定理的应用，体现了分类讨论思想的应用 21 （12 分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS） 和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病而
43、今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒 （nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人感染了新型冠状病毒后常见体 征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中感染可导致肺炎、 严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，有以 下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验 n 次 方式二：混合检验，将其中 k（kN*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若 检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪 几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数
44、总共为 k+1 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每 份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） 现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记 第 24 页（共 27 页） 采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的 总次数为 2 （1）若 E（1）E（2） ，试求关于 k 的函数关系式 Pf（k） ； （2）若 P 与干扰素计量 xn相关，其中 x1，x2，xn（n2）是不同的正实数，满足 x11 且nN*（n2）都有 e成立 （i）求证：数列xn为等比数列； （ii）当 P1时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总
45、次数的期望值比 逐份检验的总次数的期望值更少，求 k 的最大值 （参考数据：ln41.3863，ln51.6094） 【分析】 （1）由随机变量的概率公式和数学期望，计算可得所求函数 f（k）的解析式； （2） （i）运用数学归纳法证明，注意由 nk 成立，证明 nk+1 也成立，运用变形和等 比数列的求和公式； （ii）运用（i）的结论和构造函数，求得导数和单调性，计算可得所求最大值 【解答】解： （1）由已知可得 E（1）k，2的所有取值为 1，k+1，P（21）（1 p）k，P（2k+1）1（1p）k， E（2）（1p）k+（k+1）1（1p）kk+1k（1p）k， 由 E（1）E（2） ，可得 kk+1k（1p）k，即（1p）k，即 1p（）， 即 p1（）， 可得 f（k）1（），kN*，k2； （2） （i）证明：当 n2 时，e1，即e， 可令 qe0，则 q1，由 x11，下面证明对任意的正整数 n，xne， 当 n1，
