1、若全集 UR，集合 AxZ|x216，Bx|x10，则 A（UB）（ ） Ax|1x4 Bx|1x4 C1，2，3 D2，3 2 （5 分）复数 z 满足，则|z|（ ） A2i B2 Ci D1 3 （5 分）已知向量（3，4） ，（6，3） ，（2m，m+1） 若，则 实数 m 的值为（ ） A B C3 D 4 （5 分）函数 f（x）的部分图象是（ ） A B C D 5 （5 分） “a1”是“x0R，asinx0+10”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）若，则 a+2b 的最小值为（ ） A6 B C3 D 7 （5 分
2、）已知圆 C：x2+y210y+210 与双曲线的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 8 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 4，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是（ ） A16 B20 C32 D64 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知 a
3、，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，cd，则 acbd B若 ab0，bcad0，则 C若 ab，cd，则 adbc D若 ab，cd0，则 10 （5 分）已知 ， 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确 的是（ ） A若 mn，m，则 n B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 m，mn，n，则 11 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E 为 BC 边 上一点，且，F 为 AE 的中点，则（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（
4、x）ex（x+1） ，则下 列命题正确的是（ ） A当 x0 时，f（x）e x（x1） B函数 f（x）有 3 个零点 Cf（x）0 的解集为（，1）（0，1） 第 3 页（共 24 页） Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若， b2+c2a2bc，则 tanB 14 （5 分）我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每 个节气晷（gu）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为
5、所测量影子的长 度） ，夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是 连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节 气日影子长之和为 16.5 尺， 这十二节气的所有日影子长之和为 84 尺， 则夏至的日影子长 为 尺 15 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（4，0） ，过 F 作直线 l 交抛物线于 M， N 两点，则 p ，的最小值为 16 （5 分）设函数 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，x（0，+） ，ff（x）ex+x e， 若不等式 f （x） +f （x） ax 对 x （0， +） 恒成立，
6、 则实数 a 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 asinA4bsinB， ac（a2b2c2） （）求 cosA 的值； （）求 sin（2BA）的值 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn3n2+8n，bn是等差数列，且 anbn+bn+1 （）求数列bn的通项公式； （）令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AB侧
7、面 BB1C1C，已知BCC1，BC 1，ABC1C2，点 E 是棱 C1C 的中点 （1）求证：C1B平面 ABC； （2）在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为，若 第 4 页（共 24 页） 存在，求出的值；若不存在，请说明理由 20 （12 分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区 8 所学校学生的体质健 康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格良好及其以上的比例之和超过 40%的学校为先进校各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表： 学校 比例 等级 学校 A 学校 B 学校 C 学校 D 学校 E 学校 F 学校 G 学
8、校 H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38% 不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （）从 8 所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率； （）从 8 所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于 30%的学校个 数为 X，求 X 的分布列； （）设 8 所学校优秀比例的方差为 S12，良好及其以下比例之和的方差为 S22，比较 S12 与 S22的大小 （只写出结果） 21 （12 分）
9、已知椭圆 C：3x2+4y212 （）求椭圆 C 的离心率； （）设 A，B 分别为椭圆 C 的左右顶点，点 P 在椭圆 C 上，直线 AP，BP 分别与直线 x4 相交于点 M，N当点 P 运动时，以 M，N 为直径的圆是否经过 x 轴上的定点？试 证明你的结论 22 （12 分）已知函数 f（x）msin（1x）+lnx （1）当 m1 时，求函数 f（x）在（0，1）的单调性； 第 5 页（共 24 页） （2）当 m0 且时，求函数 g（x）在（0，e上的最小值； （3）当 m0 时，有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证：x1+x21 第 6 页（共 24 页） 2020 年山东
10、省济宁市嘉祥一中高考数学一模试卷年山东省济宁市嘉祥一中高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若全集 UR，集合 AxZ|x216，Bx|x10，则 A（UB）（ ） Ax|1x4 Bx|1x4 C1，2，3 D2，3 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行补集和交集的运算即可 【解答】解：AxZ|4x43，2，1，0，1，2，3，Bx|x1， UBx|x1，
11、A（UB）2，3 故选：D 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属 于基础题 2 （5 分）复数 z 满足，则|z|（ ） A2i B2 Ci D1 【分析】根据已知条件，先求出复数 z 的代数形式，代入模长公式即可 【解答】解：依题意，因为复数 z 满足， 所以 zi， 所以|z|1， 故选：D 【点评】本题考查了复数的代数形式的运算，复数的模，属于基础题 3 （5 分）已知向量（3，4） ，（6，3） ，（2m，m+1） 若，则 实数 m 的值为（ ） A B C3 D 【分析】先求得得（3，1） ，再由，则这两个向量的坐标对应成 比例，解方程求得实数
12、 m 的值，可得结论 【解答】解：由题意可得（3，1） ，若， 第 7 页（共 24 页） 则这两个向量的坐标对应成比例，即 ， 解得 m3， 故选：C 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题 4 （5 分）函数 f（x）的部分图象是（ ） A B C D 【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得 f（x）为奇函数，排除 B，结合函数的解 析式可得当 0x1 时，f（x）0，排除 C，当 x1 时，f（x）0，排除 D；据此即可 得答案 【解答】解：根据题意，f（x），其定义域为x|x0， 又由 f（x）f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，排除 B， 当
13、0x1 时，ln|x|lnx0，x30，则有 f（x）0，排除 C， 当 x1 时，ln|x|lnx0，x30，则有 f（x）0，排除 D， 故选：A 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性，属于基础题 5 （5 分） “a1”是“x0R，asinx0+10”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】设 f（x）asinx+1，分类求得函数的值域，由x0R，asinx0+10 求得 a 的范 围，可知“a1”是“x0R，asinx0+10”的不必要条件；取，当 a1 时，asinx0+10 成立，说明“a1”是“x0R，asin
14、x0+10”的充分条件 第 8 页（共 24 页） 【解答】解：必要性：设 f（x）asinx+1，当 a0 时，f（x）1a，1+a，1a0， 即 a1； 当 a0 时，f（x）1+a，1a，1+a0，即 a1 故 a1 或 a1； 充分性：取，当 a1 时，asinx0+10 成立 “a1”是“x0R，asinx0+10”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查三角函数的有界性，体现了数学转化思想 方法，是中档题 6 （5 分）若，则 a+2b 的最小值为（ ） A6 B C3 D 【分析】，变形 log3（2a+b）1+log3ab，可得 a，b0， +3，可
15、得 a+2b（a+2b） （+）（5+） ，利用基本不等式的性质 即可得出 【解答】解：，log3（2a+b）1+log3ab， 2a+b3ab，a，b0 化为：+3 则 a+2b（a+2b） （+）（5+）（5+22）3，当且仅 当 ab1 时取等号 故选：C 【点评】本题考查了对数运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 7 （5 分）已知圆 C：x2+y210y+210 与双曲线的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是（ ） A B C D 【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离 dr，列方程求 第 9 页（共 24 页） 出离心率 e的值
16、【解答】解：双曲线1 的渐近线方程为 bxay0， 圆 C：x2+y210y+210 化为标准方程是：x2+（y5）24， 则圆心 C（0，5）到直线 bxay0 的距离为 dr； 即2， 解得， 即双曲线的离心率是 e 故选：C 【点评】本题考查了圆与双曲线的标准方程和应用问题，是基础题 8 （5 分）已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 4，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的 表面积是（ ） A16 B20 C32 D64 【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的 半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出 表面积 【解
17、答】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O，接圆的半径 r， 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上，设为 O，连接 OA 得， ： r，r2，即 OA2，所以三棱锥的高 h 第 10 页（共 24 页） 6， 由勾股定理得，R2r2+（Rh）2，解得：R4， 所以外接球的表面积 S4R264 故选：D 【点评】考查正三棱锥的外接球的表面积，属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多项符项符 合题目要求，全部选对的得合题目
18、要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，cd，则 acbd B若 ab0，bcad0，则 C若 ab，cd，则 adbc D若 ab，cd0，则 【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可 【解答】解：若 ab0，cd0，则 acbd，所以 A 不正确； 若 ab0，bcad0，可得，即0，所以 B 正确； 若 ab，cd，则 a+cb+d，即 adbc，所以 C 正确； 若 ab，cd0，则不正确，反例 a1，b1，c2，d3， 显
19、然，所以 D 不正确 故选：BC 【点评】本题考查命题的真假的判断，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查， 基础题 10 （5 分）已知 ， 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确 的是（ ） A若 mn，m，则 n B若 m，n，则 mn C若 m，m，则 D若 m，mn，n，则 【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论 【解答】解：A由 mn，m，则 n，正确； B由 m，n，则 m 与 n 的位置关系不确定； 第 11 页（共 24 页） C由 m，m，则 正确 D由 m，mn，n，则 ，因此不正确 故选：AC 【点评】本题考查了空间线面、面面位置
20、关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 11 （5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E 为 BC 边 上一点，且，F 为 AE 的中点，则（ ） A B C D 【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出 【解答】解：由 AB2AD2DC 知： ， ， 故 A 选项正确 又， ， 故 B 选项正确 ， ， 故 C 正确 第 12 页（共 24 页） ， D 不正确 故选：ABC 【点评】本题考查向量的加法法则的合理运用，解题时要注意向量间的关系以及转化的 思想 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x
21、）ex（x+1） ，则下 列命题正确的是（ ） A当 x0 时，f（x）e x（x1） B函数 f（x）有 3 个零点 Cf（x）0 的解集为（，1）（0，1） Dx1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|2 【分析】函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，设 x0 时， x0，可得 f（x）f（x）e x（x1） ，x0 时，f（0）0当 x0 时，f（x） ex（x+1） ，f（x）ex（x+2） ，可得 x2 时，函数 f（x）取得极小值，进而判 断出结论 【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，
22、 设 x0 时，x0，f（x）e x（x+1） ，f（x）f（x）ex（x1） ， x0 时，f（0）0因此函数 f（x）有三个零点：0，1 当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，f（x）ex（x+2） ，可得 x2 时，函数 f（x） 取得极小值， 第 13 页（共 24 页） f（2）可得其图象： f（x）0 时的解集为： （，1）（0，1） x1，x2R，都有|f（x1）f（x2）|f（0+）f（0）|2 因此 BCD 都正确 故选：BCD 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解集、函数的奇偶性， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题
23、：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若， b2+c2a2bc，则 tanB 4 【分析】先由余弦定理求出 cosA 的值，结合正弦定理进行化简即可 【解答】解：由 b2+c2a2bc 得 cosA， 则 sinA， 若， 则+1， 即+1， 得，得 tanB4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合余弦定理以及正弦定理进行转化是解决 本题的关键，考查学生的计算能力，难度中等 14 （5 分）我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每 个节气晷（
24、gu）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长 度） ，夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是 连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节 气日影子长之和为 16.5 尺， 这十二节气的所有日影子长之和为 84 尺， 则夏至的日影子长 第 14 页（共 24 页） 为 1.5 尺 【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式去求解，即得 【解答】解：由题意知为单调递增的等差数列， 设为 a1，a2，a12，公差为 d， ， 代入得， 联立方程解得 a11.5， 故答案为：1.5 【点评】考查等
25、差数列的性质，属于基础题 15 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F（4，0） ，过 F 作直线 l 交抛物线于 M， N 两点，则 p 8 ，的最小值为 【分析】先有焦点坐标求出 p，再讨论当直线 l 的斜率不存在时，求出答案，当直线 l 的 斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出 +，代入， 根据基本不等式即可求最小值 【解答】解：抛物线 y22px 的焦点 F，因为 F（4，0） ， 4p8y216x； 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4， 由，可得 M（4，8） ，N（4，8） ， |MF|NF|8， ； 当直线 l 的斜率存在时，设过点 F 作直线
26、 l 的方程为 yk（x4） ，不妨设 M（x1，y1 ） ， N （x2，y2 ） ， 由 ，消 y 可得 k2x（16+8k2）x+16k20， 第 15 页（共 24 页） x1+x28+，x1x216， |MF|x1+x1+4，|NF|x2+x2+4， + 4 （） +121（当且仅当|NF| 6 时等号成立） 故答案为：8， 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的定义，基本不等式的应用，考 查了运算能力和转化能力，是中档题 16 （5 分）设函数 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，x（0，+） ，ff（x）ex+x e，若不等式 f（x）+f（x）ax 对 x（0，
27、+）恒成立，则实数 a 的取值范围是 a|a 2e1 【分析】由已知可得 f（x）exx+t，且 f（t）et，进而可求 t 及 f（x） ，然后代入已知 不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求 【解答】解：令 tf（x）ex+x， 所以 f（x）exx+t， 因为 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数，x（0，+） ，ff（x）ex+xe， 故 t 为常数且 f（t）ete， 所以，t1，f（x）exx+1，f（x）ex1 因为 f（x）+f（x）ax 对 x（0，+）恒成立， 所以 2ex（a+1）x 对 x（0，+）恒成立， 即 a+1对 x（0，+）恒成立， 令 g（x），x0，
28、 则 g（x）， 当 x1 时，g（x）0，g（x）单调递增，当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调 第 16 页（共 24 页） 递减， 故当 x1 时，函数取得最小值 g（1）2e， 故 a+12e 即 a2e1 故答案为：a|a2e1 【点评】本题主要考查了不等式的恒成立与最值求解的相互转化思想的应用，解题的关 键是根据已知条件求出 f（x） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 asinA4bs
29、inB， ac（a2b2c2） （）求 cosA 的值； （）求 sin（2BA）的值 【分析】 （）由正弦定理得 asinBbsinA，结合 asinA4bsinB，得 a2b再由 ， 得， 代入余弦定理的推论可求 cosA 的值； （）由（）可得，代入 asinA4bsinB，得 sinB，进一步求得 cosB利 用倍角公式求 sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得 sin（2BA）的值 【解答】 （）解：由，得 asinBbsinA， 又 asinA4bsinB，得 4bsinBasinA， 两式作比得：，a2b 由，得， 由余弦定理，得； （）解：由（） ，可得，代入 asinA
30、4bsinB，得 由（）知，A 为钝角，则 B 为锐角， 于是， 故 【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中 第 17 页（共 24 页） 档题 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn3n2+8n，bn是等差数列，且 anbn+bn+1 （）求数列bn的通项公式； （）令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）求出数列an的通项公式，再求数列bn的通项公式； （）求出数列cn的通项，利用错位相减法求数列cn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （）Sn3n2+8n， n2 时，anSnSn16n+5， n1 时，a1S111，an6
31、n+5； anbn+bn+1， an1bn1+bn， anan1bn+1bn1 2d6， d3， a1b1+b2， 112b1+3， b14， bn4+3（n1）3n+1； （）cn 6（n+1） 2n， Tn622+322+（n+1） 2n， 2Tn6222+323+n2n+（n+1） 2n+1， 可得 Tn622+22+23+2n（n+1） 2n+1 12+66（n+1） 2n+1 （6n） 2n+13n2n+2， 第 18 页（共 24 页） Tn3n2n+2 【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用， 考查分析与运算能力，属于中档题 19 （12 分）
32、如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AB侧面 BB1C1C，已知BCC1，BC 1，ABC1C2，点 E 是棱 C1C 的中点 （1）求证：C1B平面 ABC； （2）在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为，若 存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）推导出 BC1BC，ABBC1，由此证明 C1B平面 ABC； （2）以 B 为原点，BC，BC1，BA 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设在棱 CA 上存在点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为，由，0，1， 求出的坐标及平面 A1B1E 的法向量，利用法向量
33、求出 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦 值，列方程求出 的值即可 【解答】 （1）证明：BC1，CC12，BCC1， BC1， BC2+BC12CC12，得 BC1BC， 又 AB侧面 BB1C1C，ABBC1， 又 ABBCB，C1B平面 ABC； （2）以 B 为原点，BC，BC1，BA 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（0，0，0） ，A（0，0，2） ，B1（1，0） ，A1（1，2） ， E（，0） ，C（1，0，0） 第 19 页（共 24 页） 则（，0） ，（0，0，2） 设平面 A1EB1的法向量为 （x，y，z） ， 则，令 x1，求得 （1，0）
34、 假设在棱 CA 上存在一点 M （a， b， c） ， 使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为， 不妨设，0，1 又（a1，b，c） ，（1，0，2） ， ，M（1，0，2） ， （，2） ， 又平面 A1B1E 的法向量为 （1，0） ， 则 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为： |cos， |， 化简得 69238+50，解得 或 在棱 CA 上存在点 M，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为 此时或 【点评】本题考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角、面面角的计算问题，考查 第 20 页（共 24 页） 了运算求解能力，是中档题 20 （12 分）为了解
35、某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区 8 所学校学生的体质健 康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格良好及其以上的比例之和超过 40%的学校为先进校各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表： 学校 比例 等级 学校 A 学校 B 学校 C 学校 D 学校 E 学校 F 学校 G 学校 H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38% 不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （）从 8 所学校中随机选
36、出一所学校，求该校为先进校的概率； （）从 8 所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于 30%的学校个 数为 X，求 X 的分布列； （）设 8 所学校优秀比例的方差为 S12，良好及其以下比例之和的方差为 S22，比较 S12 与 S22的大小 （只写出结果） 【分析】 （）8 所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例 超过 40%，即可得出从 8 所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率 （）8 所学校中，学生不及格率低于 30%的学校有学校 B、F、H 三所，所以 X 的取值 为 0，1，2利用超几何分布列即可得出随机变量 X 的分布列 （）经过
37、计算即可得出 S12与 S22的关系 【解答】解： （）8 所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的 比例超过 40%， 所以从 8 所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为 （）8 所学校中，学生不及格率低于 30%的学校有学校 B、F、H 三所，所以 X 的取值 为 0，1，2 ， 所以随机变量 X 的分布列为： 第 21 页（共 24 页） X 0 1 2 P （）S12S22 【点评】本题考查了超几何分布列、概率与方差的计算，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：3x2+4y212 （）求椭圆 C 的离心率； （）设 A，B 分
38、别为椭圆 C 的左右顶点，点 P 在椭圆 C 上，直线 AP，BP 分别与直线 x4 相交于点 M，N当点 P 运动时，以 M，N 为直径的圆是否经过 x 轴上的定点？试 证明你的结论 【分析】 （）将方程化成标准方程，可得 a，b，c 进而求出离心率； （）分两种方法解题，由题意求出 A，B 的坐标，设直线 AP，BP 与 x4 联立求出 M， N 的坐标，设 x 轴一点 Q，使得0，求出 Q 的坐标，即为定点 【解答】解： （）由得， 那么 a24，b23， 所以 c2a2b21， 解得 a2，c1 所以离心率； （）解法一：A（2，0） ，B（2，0） ， 设 P（x0，y0） ，则，
39、直线 AP 的方程：， 令 x4，得，从而 M 点坐标为， 直线 BP 的方程：， 令 x4，得，从而 N 点坐标为， 第 22 页（共 24 页） 设以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的定点 Q（x1，0） ，则 MQNQ， 由得， 由式得，代入得， 解得 x11 或 x17， 所以以 MN 为直径的圆是否经过 x 轴上的定点（1，0）和（7，0） ， 解法二：A（2，0） ，B（2，0）设 P（x0，y0） ，则， ， 设直线 AP 的方程：yk（x+2） ， 令 x4，得 yM6k，从而 M 点坐标为（4，6k） ， 则直线 BP 的方程：， 令 x4，得，从而 N 点坐标为， 设以 M
40、N 为直径的圆经过 x 轴上的定点 Q（x1，0） ，则 MQNQ， 由得， 可得，解得 x11 或 x17， 所以以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的定点（1，0）和（7，0） 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）msin（1x）+lnx （1）当 m1 时，求函数 f（x）在（0，1）的单调性； （2）当 m0 且时，求函数 g（x）在（0，e上的最小值； （3）当 m0 时，有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证：x1+x21 【分析】 （1）将 m1 代入 f（x）中，然后求导判断 f（x）在（0，1）上的单调性； （2）由条件求出 g
41、（x）的解析式，然后求导判断 g（x）在（0，e上的单调性，再求出 其最小值； 第 23 页（共 24 页） （3）求出个零点 x1，x2，得到，构造函数， 根据函数的单调性证明即可 【解答】解： （1）当 m1 时，f（x）sin（1x）+lnx，则 f（x）cos（1x）+， 当 x（0，1） ，f（x）在（0，1）上单调递减，f（x）f（1）0， 当 x（0，1）时，f（x）在（0，1）上单调递增 （2）当 m0 时，（，0xe） ， 则， ，g（x）0，g（x）在（0，e上单调递减， （3）当 m0 时， x1，x2是函数的两个零点， ， 两式相减，可得，即， ， 令（0t1） ，则 记，则 0t1，F（t）0 恒成立，F（t）F（1） ， 即， 故 x1+x21 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和不等式的证明，考查了转化思 第 24 页（共 24 页） 想和函数思想，属难题
