1、若 ab，且 a24a+10，b24b+10，则的值为（ ） A B1 C.4 D3 2 （4 分）关于 x 的方程 kx2+2x10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 3 （4 分）函数 y与 ykx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 4 （4 分）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道 路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所列 方程正确的是（ ） A （322x） （20x）570 B32x+220x3220570 C
2、 （32x） （20x）3220570 D32x+220x2x2570 5 （4 分）如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n） ，且与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间则下列结论： 第 2 页（共 20 页） ab+c0； 3a+b0； b24a（cn） ； 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 6 （4 分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装从开始加工到加工完这批服装甲车间工作 了 9 小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工， 直到与甲车间同时
3、完成这批服装的加工任务为止设甲、乙两车间各自加工服装的数量 为 y（件） 甲车间加工的时间为 x（时） ，y 与 x 之间的函数图象如图所示，则下列结论 错误的是（ ） A甲车间每小时加工服装 80 件 B这批服装的总件数为 1140 件 C乙车间每小时加工服装为 60 件 D乙车间维修设备用了 4 小时 7 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2） ，B（1，1） ，C（2，2） ，抛物线 yax2 （a0）经过ABC 区域（包括边界） ，则 a 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 20 页） Aa1 或 a2 Ba2 C1a0 或 1a D1a0 或 0a2 8 （4 分）如图，在
4、单位为 1 的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜边 在 x 轴上，斜边长分别为 2，4，6，的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别 为 A1（2，0） ，A2（1，1） ，A3（0，0） ，则依图中所示规律，A2019的坐标为（ ） A （1008，0） B （1006，0） C （2，504） D （1，505） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 9 （5 分）因式分解：x39x 10 （5 分）已知+，则实数 A 11 （5 分）如图，菱形 ABCD 的顶点 A，B 的横坐标分别为 1，4，BDx 轴、双曲线 y （x0
5、）经过 A，B 两点，则菱形 ABCD 的面积为 第 4 页（共 20 页） 12 （5 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽 度增加 m 13 （5 分）已知直线 ykx（k0）经过点（12，5） ，将直线向上平移 m（m0）个单位， 若平移后得到的直线与半径为 6 的O 相交（点 O 为坐标原点） ，则 m 的取值范围 为 三、解答题（满分三、解答题（满分 43 分）分） 14 （5 分）计算：+（） 1 15 （12 分） 如图， AB 为O 的直径， 弦 CDAB， E 是 AB 延长线上一点， CDBADE （1）DE 是O 的切线吗？
6、请说明理由； （2）求证：AC2CDBE 16 （12 分）某中学计划购买 A 型和 B 型课桌凳共 200 套经招标，购买一套 A 型课桌凳 比购买一套 B 型课桌凳少用 40 元，且购买 4 套 A 型和 5 套 B 型课桌凳共需 1820 元 （1）求购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买 A 型课桌凳的数量不能超过 B 型课桌凳数量的，求该校本次购买 A 型和 B 型课桌凳共有 第 5 页（共 20 页） 几种方案？哪种方案的总费用最低？ 17 （14 分）如图，二次函数 yax2+2
7、x+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求该二次函数的表达式； （2）过点 A 的直线 ADBC 且交抛物线于另一点 D，求直线 AD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，在 x 轴上是否存在一点 P，使得以 B、C、P 为顶点的三角形与 ABD 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 20 页） 2020 年山东省济宁市邹城八中中考数学一模试卷年山东省济宁市邹城八中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 1 （4 分）
8、若 ab，且 a24a+10，b24b+10，则的值为（ ） A B1 C.4 D3 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案 【解答】解：由题意可知：a、b 是方程 x24x+10 的两个不同的实数根， 由根与系数的关系可知：ab1，a+b4， a2+14a，b2+14b， 原式+ 1， 故选：B 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关 系，本题属于基础题型 2 （4 分）关于 x 的方程 kx2+2x10 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 且 k0 【分析】由于 k 的取值范围不能确定，故应分 k0 和 k0
9、 两种情况进行解答 【解答】解： （1）当 k0 时，6x+90，解得 x； （2）当 k0 时，此方程是一元二次方程， 关于 x 的方程 kx2+2x10 有实数根， 224k（1）0，解得 k1， 由（1） 、 （2）得，k 的取值范围是 k1 故选：A 【点评】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分 k0 和 k0 两种情况进行讨论 第 7 页（共 20 页） 3 （4 分）函数 y与 ykx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是 否一致 【解答】解：A、由双曲线的两支分别位于一、
10、三象限，可得 k0，则k0，抛物线开 口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故 A 错误 B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k0，则k0，抛物线开口方向向下、 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故 B 错误； C、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得 k0，则k0，抛物线开口方向向上、 抛物线与 y 轴的交点为 y 轴的负半轴上；本图象与 k 的取值相矛盾，故 C 错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k0，则k0，抛物线开口方向向下、 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图
11、象符合题意，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为： （1） 先根据图象的特点判断 k 取值是否矛盾； （2）根据二次函数图象判断抛物线与 y 轴的交 点是否符合要求 4 （4 分）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道 路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所列 方程正确的是（ ） 第 8 页（共 20 页） A （322x） （20x）570 B32x+220x3220570 C （32x） （20x）3220570 D32x+220x2x2570
12、 【分析】 六块矩形空地正好能拼成一个矩形， 设道路的宽为 xm， 根据草坪的面积是 570m2， 即可列出方程 【解答】解：设道路的宽为 xm，根据题意得： （322x） （20x）570， 故选：A 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的 思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程 5 （4 分）如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n） ，且与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间则下列结论： ab+c0； 3a+b0； b24a（cn） ； 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等
13、的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（2，0）和（1， 第 9 页（共 20 页） 0）之间，则当 x1 时，y0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线 x 1，即 b2a，则可对进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为 n 得到 n，则可对进行判断；由于抛物线与直线 yn 有一个公共点，则抛物线与 直线 yn1 有 2 个公共点，于是可对进行判断 【解答】解：抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对 称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（2，0）和（1，0）
14、之间 当 x1 时，y0， 即 ab+c0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1，即 b2a， 3a+b3a2aa，所以错误； 抛物线的顶点坐标为（1，n） ， n， b24ac4an4a（cn） ，所以正确； 抛物线与直线 yn 有一个公共点， 抛物线与直线 yn1 有 2 个公共点， 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根，所以正确 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ， 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a
15、共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号 时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常 数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c） ：抛物线与 x 轴交点个数 由决定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线 与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 6 （4 分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装从开始加工到加工完这批服装甲车间工作 了 9 小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工， 直到与甲车间同时完成这批服装的
16、加工任务为止设甲、乙两车间各自加工服装的数量 第 10 页（共 20 页） 为 y（件） 甲车间加工的时间为 x（时） ，y 与 x 之间的函数图象如图所示，则下列结论 错误的是（ ） A甲车间每小时加工服装 80 件 B这批服装的总件数为 1140 件 C乙车间每小时加工服装为 60 件 D乙车间维修设备用了 4 小时 【分析】根据图象确定两个车间的生产速度，再由乙车间剩余工作量推得复工后生产时 间，得到乙车间加工零件数量 y 与 x 之间的函数关系式即可 【解答】解：由图象可知，甲车间每小时加工零件个数为 720980 个，则 A 正确； 由题意总零件个数为 720+4201140 个，则
17、 B 正确； 乙车间生产速度为 120260 个/时，则 C 正确； 乙车间复工后生产时间为（420120）605 小时，故乙车间维修设备时间为 952 2 小时，则 D 错误 故选：D 【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数图象的实际意义和根据图象确 定一次函数关系式 7 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2） ，B（1，1） ，C（2，2） ，抛物线 yax2 （a0）经过ABC 区域（包括边界） ，则 a 的取值范围是（ ） 第 11 页（共 20 页） Aa1 或 a2 Ba2 C1a0 或 1a D1a0 或 0a2 【分析】当抛物线经过点 A 时，a2，当抛物
18、线经过点 B 时，a1，当抛物线经过 C 时，a，根据二次函数开口大小的性质可得结论 【解答】解：如图所示，A（1，2） ，B（1，1） ，C（2，2） ， 当抛物线经过点 A 时，a2， 当抛物线经过点 B 时，a1， 当抛物线经过 C 时，a， a0 时，a 越大，开口越小；a0 时，a 越大，开口越大； 抛物线 yax2（a0）经过ABC 区域（包括边界） ， a 的取值范围是：0a2 或1a0； 故选：D 【点评】本题考查二次函数的开口大小的性质、图象上点的坐标等知识，解题的关键是 理解题意，学会利用特殊点解决问题 8 （4 分）如图，在单位为 1 的方格纸上，A1A2A3，A3A4A
19、5，A5A6A7，都是斜边 在 x 轴上，斜边长分别为 2，4，6，的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别 为 A1（2，0） ，A2（1，1） ，A3（0，0） ，则依图中所示规律，A2019的坐标为（ ） 第 12 页（共 20 页） A （1008，0） B （1006，0） C （2，504） D （1，505） 【分析】观察图形可以看出 A1A4；A5A8；每 4 个为一组，由于 20194 5043，A2019在 x 轴负半轴上，纵坐标为 0，再根据横坐标变化找到规律即可解答 【解答】解：观察图形可以看出 A1A4；A5A8；每 4 个为一组， 201945043 A201
20、9在 x 轴负半轴上，纵坐标为 0， A3、A7、A11的横坐标分别为 0，2，4， A2019的横坐标为（20193）1008 A2019的坐标为（1008，0） 故选：A 【点评】本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依 据规律解答 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 9 （5 分）因式分解：x39x x（x+3） （x3） 【分析】先提取公因式 x，再利用平方差公式进行分解 【解答】解：x39x， x（x29） ， x（x+3） （x3） 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二 次分解，
21、分解因式要彻底 10 （5 分）已知+，则实数 A 1 第 13 页（共 20 页） 【分析】先计算出+，再根据已知等式得出 A、B 的方程组， 解之可得 【解答】解：+ + ， +， ， 解得：， 故答案为：1 【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则，并根据 题意得出关于 A、B 的方程组 11 （5 分）如图，菱形 ABCD 的顶点 A，B 的横坐标分别为 1，4，BDx 轴、双曲线 y （x0）经过 A，B 两点，则菱形 ABCD 的面积为 【分析】连接 AC，与 BD 交于点 M，通过 A、B 两点的横坐标，求得 AM，BM3， 即可求得 AC，BD6，根
22、据菱形的面积公式即可求得 【解答】解：连接 AC，与 BD 交于点 M， 菱形对角线 BDx 轴， ACBD， 点 A、B 横坐标分别为 1 和 4，双曲线 y（x0）经过 A，B 两点， AM5，BM413， 第 14 页（共 20 页） AC，BD6， 菱形 ABCD 的面积：ACBD， 故答案为 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是求 出菱形的对角线本题属于基础题，难度不大 12 （5 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽 度增加 （44） m 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式
23、，再通过把 y2 代 入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OAOBAB2 米，抛物线顶点 C 坐标 为（0，2） ， 通过以上条件可设顶点式 yax2+2，其中 a 可通过将 A 点坐标（2，0）代入抛物线解 析式可得出：a0.5， 第 15 页（共 20 页） 所以抛物线解析式为 y0.5x2+2， 当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直
24、线 y2 与抛物线相交的两 点之间的距离， 可以通过把 y2 代入抛物线解析式得出： 20.5x2+2， 解得：x2，所以水面宽度增加到 4米，比原先的宽度当然是增加了（44） 米， 故答案为：44 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析 式是解决问题的关键 13 （5 分）已知直线 ykx（k0）经过点（12，5） ，将直线向上平移 m（m0）个单位， 若平移后得到的直线与半径为 6 的O 相交（点 O 为坐标原点） ，则 m 的取值范围为 0 m 【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点 的坐标，转化为直角三角形中的
25、问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答 【解答】解：把点（12，5）代入直线 ykx 得， 512k， k； 由 yx 平移 m （m0） 个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为 yx+m （m0） ， 设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， （如下图所示） 当 x0 时，ym；当 y0 时，xm， A（m，0） ，B（0，m） ， 即 OAm，OBm； 在 RtOAB 中， AB， 第 16 页（共 20 页） 过点 O 作 ODAB 于 D， SABOODABOAOB， ODmmm， m0，解得 ODm 由直线与圆的位置关系可知6，解得 0m 故答案为：0m 【点评】此题
26、主要考查直线与圆的关系，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆 的位置关系等知识解答 三、解答题（满分三、解答题（满分 43 分）分） 14 （5 分）计算：+（） 1 【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及二次根式性质化简，合并即可得到结果 【解答】解：原式2+ 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 15 （12 分） 如图， AB 为O 的直径， 弦 CDAB， E 是 AB 延长线上一点， CDBADE （1）DE 是O 的切线吗？请说明理由； （2）求证：AC2CDBE 【分析】 （1）连接 OD只要证明 ODDE 即可； （2）只要证明：ACBD，CDBDB
27、E 即可解决问题； 第 17 页（共 20 页） 【解答】 （1）解：结论：DE 是O 的切线 理由：连接 OD CDBADE， ADCEDB， CDAB， CDADAB， OAOD， OADODA， ADOEDB， AB 是直径， ADB90， ADBODE90， DEOD， DE 是O 的切线 （2）CDAB， ADCDAB，CDBDBE， ， ACBD， DCBDAB，EDBDAB， EDBDCB， CDBDBE， ， BD2CDBE， 第 18 页（共 20 页） AC2CDBE 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，准
28、确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 16 （12 分）某中学计划购买 A 型和 B 型课桌凳共 200 套经招标，购买一套 A 型课桌凳 比购买一套 B 型课桌凳少用 40 元，且购买 4 套 A 型和 5 套 B 型课桌凳共需 1820 元 （1）求购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买 A 型课桌凳的数量不能超过 B 型课桌凳数量的，求该校本次购买 A 型和 B 型课桌凳共有 几种方案？哪种方案的总费用最低？ 【分析】 （1）根据购买一套 A 型课桌凳比购买一套 B 型课桌凳少用
29、40 元，以及购买 4 套 A 型和 5 套 B 型课桌凳共需 1820 元，得出等式方程求出即可； （2）利用要求购买这两种课桌凳总费用不能超过 40880 元，并且购买 A 型课桌凳的数量 不能超过 B 型课桌凳数量的，得出不等式组，求出 a 的值即可，再利用一次函数的增 减性得出答案即可 【解答】解： （1）设 A 型每套 x 元，则 B 型每套（x+40）元 由题意得：4x+5（x+40）1820 解得：x180，x+40220 即购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需 180 元、220 元； （2）设购买 A 型课桌凳 a 套，则购买 B 型课桌凳（200a）套 由题意得：
30、， 解得：78a80 a 为整数， a78、79、80 共有 3 种方案， 设购买课桌凳总费用为 y 元， 则 y180a+220（200a）40a+44000 400，y 随 a 的增大而减小， 第 19 页（共 20 页） 当 a80 时，总费用最低，此时 200a120， 即总费用最低的方案是：购买 A 型 80 套，购买 B 型 120 套 【点评】 此题主要考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用以及一次函数的增减性， 根据已知得出不等式组，求出 a 的值是解题关键 17 （14 分）如图，二次函数 yax2+2x+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点
31、C（0，3） （1）求该二次函数的表达式； （2）过点 A 的直线 ADBC 且交抛物线于另一点 D，求直线 AD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，在 x 轴上是否存在一点 P，使得以 B、C、P 为顶点的三角形与 ABD 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把 A（1，0） ，C（0，3）代入 yax2+2x+c 即可得到结果； （2）在 yx2+2x+3 中，令 y0，则x2+2x+30，得到 B（3，0） ，由已知条件得直 线 BC 的解析式为 yx+3，由于 ADBC，设直线 AD 的解析式为 yx+b，即可得 到结论； （3）由 BCAD，
32、得到DABCBA，只要当或时，PBC ABD， 求出 AD5，AB4，BC3，代入比例式解得 BP 的长度，即可得到 P （， 0）或 P（，0） 【解答】解： （1）次函数 yax2+2x+c 的图象经过点 A（1，0）和点 C（0，3） ， ， 解得 ， 二次函数的表达式为 yx2+2x+3； 第 20 页（共 20 页） （2）在 yx2+2x+3 中，令 y0，则x2+2x+30， 解得：x11，x23， B（3，0） ， 由已知条件得直线 BC 的解析式为 yx+3， ADBC， 设直线 AD 的解析式为 yx+b， 01+b， b1， 直线 AD 的解析式为 yx1 （3）BCAD， DABCBA， 又D（4，5） ， ABD45，点 P 在点 B 得到左侧， 只可能ABDBPC 或ABDBCP， 或时， A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ，D（4，5） ， AD5，AB4，BC3， 即 或， 解得 BP或 BP， 3，3， P（，0）或 P（，0） 【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法，锐角三角函数， 最值的求法，相似三角形的判定和性质，解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解或错解
