1、设集合 Ax|1x2，Bx|ylg（x1），则 A（RB）（ ） A1，2） B2，+） C （1，1 D1，+） 2 （5 分）棣莫弗公式（cosx+isinx）ncosnx+isinnx（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫 弗（16671754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos+isin）6在复平面内 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，则实数 a 的取值范围 是（ ） Aa7 或 a24 Ba7 或 a24 C24a7 D7a24 4 （5 分）已知 f（x）是（，+）上的
2、减函数，那么实数 a 的取值范围是（ ） A （0，1） B0， C， D，1 5 （5 分）一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如表： 组别 （0，10 （10，20 （20，30 （30，40 （40，50 （50，60 （60，70 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在（10，40上的频率为（ ） A0.13 B0.52 C0.39 D0.64 6 （5 分）在ABC 中，D 是 BC 边上一点，ADAB，则 （ ） A B C D 7 （5 分）sin163sin223+sin253sin313等于（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D
3、 8 （5 分）已知抛物线 y28x，过点 A（2，0）作倾斜角为的直线 l，若 l 与抛物线交于 B、C 两点，弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P，则线段 AP 的长为（ ） A B C D 9 （5 分）如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，现有下列结论： ACBDAC截面 PQMN ACBD异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 10 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期是 ，若其图 象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A函数 f（x）的图象关于直线 x对称
4、B函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 C函数 f（x）在区间上单调递减 D函数 f（x）在上有 3 个零点 11 （5 分）已知函数 yf（x）是 R 上的奇函数，函数 yg（x）是 R 上的偶函数，且 f（x） g（x+2） ，当 0x2 时，g（x）x2，则 g（10.5）的值为（ ） A1.5 B8.5 C0.5 D0.5 12 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为 坐标原点，点 P 是双曲线在第一象限内的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 的左、右支 第 3 页（共 24 页） 于另一点 M，N，若|PF1|2|PF2|，且MF2N1
5、20，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 x 轴为曲线 f（x）4x3+4（a1）x+1 的切线，则 a 的值为 14 （5 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an2，则 S5S4 15 （5 分）在ABC 中，若，则的值为 16 （5 分）已知球 O 的半径为 r，则它的外切圆锥体积的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每
6、个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的首项，an+1an+an+12an （1）证明：数列是等比数列； （2）数列的前 n 项和 Sn 18 （12 分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知 经销某种商品的电商在任何一个销售季度内， 每售出 1 吨该商品可获利润 0.5 万元， 未售 出的商品，每 1 吨亏损 0.3 万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量 的频率分布直方图如图所示已知电
7、商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品现以 x （单位：吨，100x150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示 该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润 （1）将 T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润 T 不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小 （保留到小数点后一位） 第 4 页（共 24 页） 19 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ABCBAD90， ABADSA1，BC2，M 为 SB 的中点 （1）求证：AM平面 SCD； （2
8、）求点 B 到平面 SCD 的距离 20 （12 分）已知椭圆，F1、F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，M 为椭圆上的 动点 （1）求F1MF2的最大值，并证明你的结论； （2） 若 A、 B 分别是椭圆 C 长轴的左、 右端点， 设直线 AM 的斜率为 k， 且， 求直线 BM 的斜率的取值范围 21 （12 分）已知函数（e 为自然对数的底数） ，其中 a0 （1）在区间上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在， 请说明理由 （2） 若函数 f （x） 的两个极值点为 x1， x2（x1x2） ， 证明： （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 2
9、2、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分的题目如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 24 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：（t 为参数，） ， 曲线 C1：（ 为参数） ，l1与 C1相切于点 A，以坐标原点为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 C1的极坐标方程及点 A 的极坐标； （2）已知直线 l2：与圆 C2：交于 B，C 两点， 记AOB 的面积为 S1，COC2的面积为 S2，求的值 选修选修
10、 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|x2a| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）2x+1； （2）若存在实数 a（1，+） ，使得关于 x 的不等式 f（x）+m 有实数解， 求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省深圳市高考数学模拟试卷（文科） （二） （年广东省深圳市高考数学模拟试卷（文科） （二） （4 月份）月份） 参考答参考答案与试题解析案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项
11、是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，Bx|ylg（x1），则 A（RB）（ ） A1，2） B2，+） C （1，1 D1，+） 【分析】求函数的定义域得集合 B，再根据补集与交集的定义运算即可 【解答】解：集合 Ax|1x2， Bx|ylg（x1）x|x10x|x1， RBx|x1， A（RB）x|1x1（1，1 故选：C 【点评】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题 2 （5 分）棣莫弗公式（cosx+isinx）ncosnx+isinnx（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫 弗（16671754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos+isin）6在复平
12、面内 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由题意可得（cos+isin）6cos+isin，再由 三角函数的符号得答案 【解答】解：由（cosx+isinx）ncosnx+isinnx， 得（cos+isin）6cos+isin， 复数（cos+isin）6在复平面内所对应的点的坐标为（，sin） ，位 于第三象限 故选：C 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题 3 （5 分）已知点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，则实数 a 的取值范围 是（ ） 第 7 页（共 24 页） Aa7 或 a2
13、4 Ba7 或 a24 C24a7 D7a24 【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可 求解 【解答】解：点（3，1）与 B（4，6） ，在直线 3x2y+a0 的两侧， 两点对应式子 3x2y+a 的符号相反， 即（92+a） （1212+a）0， 即（a+7） （a24）0， 解得7a24， 故选：D 【点评】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子 符号相反是解决本题的关键 4 （5 分）已知 f（x）是（，+）上的减函数，那么实数 a 的取值范围是（ ） A （0，1） B0， C， D，1 【分析】根据分段函数单调性的
14、性质，列出不等式组，求解即可得到结论 【解答】解：f（x）是（，+）上的减函数， 满足， 即， 解得， 故选：C 第 8 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的 关键 5 （5 分）一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如表： 组别 （0，10 （10，20 （20，30 （30，40 （40，50 （50，60 （60，70 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在（10，40上的频率为（ ） A0.13 B0.52 C0.39 D0.64 【分析】由频率分布表计算样本数据落在（10，40上的频率值 【
15、解答】解：由频率分布表知，样本数据落在（10，40上的频率为： 0.52 故选：B 【点评】本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题 6 （5 分）在ABC 中，D 是 BC 边上一点，ADAB，则 （ ） A B C D 【分析】将转化成（+），化简后得，然后转化成 （） ，再进行化简可得结论 【解答】解：在ABC 中，ADAB， 0 （+） + （） 第 9 页（共 24 页） 故选：D 【点评】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查 了转化的思想，属于中档题 7 （5 分）sin163sin223+sin253sin313等于（ ） A B
16、C D 【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果 【解答】解：原式sin163sin223+cos163cos223 cos（163223） cos（60） 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦函数的两角和与差要熟练掌握三角函数中的两角和公式 8 （5 分）已知抛物线 y28x，过点 A（2，0）作倾斜角为的直线 l，若 l 与抛物线交于 B、C 两点，弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P，则线段 AP 的长为（ ） A B C D 【分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程 3x220x+120，利用韦达定理， 可求弦 BC 的中点坐标，求出弦 BC 的中垂线的方程，可得 P
17、的坐标，即可得出结论 【解答】解：由题意，直线 l 方程为：y（x2） ， 代入抛物线 y28x 整理得：3x212x+128x， 3x220x+120， 设 B（x1，y1） 、C（x2，y2） ， x1+x2， 弦 BC 的中点坐标为（，） ， 第 10 页（共 24 页） 弦 BC 的中垂线的方程为 y（x） ， 令 y0，可得 x， P（，0） ， A（2，0） ， |AP| 故选：A 【点评】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用， 解题的关键是联立方程，利用韦达定理 9 （5 分）如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，现有下列结论： A
18、CBDAC截面 PQMN ACBD异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】 在四面体ABCD中， 截面PQMN是正方形， 由ACMN， 可得： AC截面PQMN 由 ACPQ，BDQM，PQQM，可得 ACBD进而判断出结论 【解答】解：在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形， 由 ACMN，可得：AC截面 PQMN 由 ACPQ，BDQM，PQQM，ACBD ，BP+AP1，PNPQ，可得：+，AC 与 BD 不一定相 等 BDQM，PM 与 QM 所成的角为 45，异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 其中所有正确
19、结论的编号是 故选：B 第 11 页（共 24 页） 【点评】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题 10 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期是 ，若其图 象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A函数 f（x）的图象关于直线 x对称 B函数 f（x）的图象关于点（，0）对称 C函数 f（x）在区间上单调递减 D函数 f（x）在上有 3 个零点 【分析】函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期是 ，解 得 2f（x）sin（2x+） ，若其图象向右平移个单位后得
20、到的函数 g（x）为奇 函数，g（x）sin（2x+） ，可得 g（0）sin（+）0，可得 ，f（x） 利 用三角函数的图象与性质即可判断出结论 【解答】解：函数 f（x）sin（x+） （0，|）的最小正周期是 ， ，解得 2 f（x）sin（2x+） ， 若其图象向右平移个单位后得到的函数 g（x）为奇函数， g（x）sin（2x+） ，可得 g（0）sin（+）0， +k，kZ，取 k1，可得 f（x）sin（2x） ， 验证：f（）0，f（）1，因此 AB 不正确 若 x， 则 （2x） ， ， 因此函数 f （x） 在区间 上单调递减，正确 若 x，则（2x），因此函数 f（x）在
21、区间 x 上只有两个零点，不正确 第 12 页（共 24 页） 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）已知函数 yf（x）是 R 上的奇函数，函数 yg（x）是 R 上的偶函数，且 f（x） g（x+2） ，当 0x2 时，g（x）x2，则 g（10.5）的值为（ ） A1.5 B8.5 C0.5 D0.5 【分析】根据函数 yf（x）是 R 上的奇函数，并且 f（x）g（x+2） ，得到 g（x+2） g（x+2） 结合 g（x）是 R 上的偶函数，得到 g（x+2）g（x2） ，进而推出函
22、数的周期为 8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案 【解答】解：由题意可得：因为函数 yf（x）是 R 上的奇函数，并且 f（x）g（x+2） ， 所以 f（x）f（x） ，即 g（x+2）g（x+2） 又因为函数 yg（x）是 R 上的偶函数， 所以 g（x+2）g（x2） ， 所以 g（x）g（x4） ， 所以 g（x4）g（x8） ，所以 g（x）g（x8） ，所以函数 g（x）是周期函数， 并且周期为 8 所以 g（10.5）g（2.5）g（1.5）g（1.5）0.5 故选：D 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性 等性质 12 （5 分）已知双
23、曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为 坐标原点，点 P 是双曲线在第一象限内的点，直线 PO，PF2分别交双曲线 C 的左、右支 于另一点 M，N，若|PF1|2|PF2|，且MF2N120，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，可得|PF1|4a，|PF2|2a，由MF2N 120，可得F1PF2120，由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos120， 即可求出双曲线 C 的离心率 【解答】解：由题意，|PF1|2|PF2|， 第 13 页（共 24 页） 由双曲线的定义可得，|PF
24、1|PF2|2a， 可得|PF1|4a，|PF2|2a 由四边形 PF1MF2为平行四边形， 又MF2N120，可得F1PF2120， 在三角形 PF1F2中，由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos120， 即有 4c220a2+8a2，即 c27a2， 可得 ca， 即 e 故选：B 【点评】本题考查双曲线 C 的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考 查学生的计算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 x 轴为曲线 f（x）4x3+4（a1）x+1 的切线，则
25、a 的值为 【分析】先对 f（x）求导，然后设切点为（x0，0） ，由切线斜率和切点在曲线上得到关 于 x0和 a 的方程，再求出 a 的值 【解答】解：由 f（x）4x3+4（a1）x+1，得 f（x）12x2+4（a1） ， x 轴为曲线 f（x）的切线，f（x）的切线方程为 y0， 设切点为（x0，0） ，则， 又， 第 14 页（共 24 页） 由，得， a 的值为 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题 14 （5 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，若 Sn2an2，则 S5S4 32 【分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公
26、式，然后即可求解结论 【解答】解：因为 Sn为数列an的前 n 项和， 若 Sn2an2， 则 a12a12a12； 则 Sn12an12， 得：an2an2an1an2an1数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 故 an2n； S5S42532 故答案为：32 【点评】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目 15 （5 分）在ABC 中，若，则的值为 【分析】在ABC 中，若，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为 +2cos2A1，运算求得结果 【解答】解：在ABC 中，若， 则+cos2A+2cos2A1 +1， 故答案为 【点评】本题主要考查同角三角函数的
27、基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用， 属于基础题 16 （5 分）已知球 O 的半径为 r，则它的外切圆锥体积的最小值为 【分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为 h，圆锥的底面半径为 R，利用三角形相似可 第 15 页（共 24 页） 得 R，h，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值 【解答】解：作出截面图如图， 设圆锥的高为 h，圆锥的底面半径为 R，OCODr， SCBSDO90，又OSDBSC， SODSBC， ，即， R 圆锥体积 V，V 令 h（r）0，得 h4r 故答案为： 【点评】本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了 利用导数求最
28、值，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的首项，an+1an+an+12an （1）证明：数列是等比数列； （2）数列的前 n 项和 Sn 第 16 页（共 24 页） 【分析】 （1）由 an+1an+an+12an，变形为，可得， 即可证明； （2） 由 （1）
29、可得：， 设 Tn+ +，利用“错位相减法”可得 Tn，即可得出数列的前 n 项和 SnTn+ 【解答】 （1）证明：an+1an+an+12an， ， ， 又， 数列1为等比数列； （2）解：由（1）可得：，化为， 设 Tn+， +， +， Tn， 数列的前 n 项和 SnTn+ 【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法” ， 考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题 18 （12 分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知 经销某种商品的电商在任何一个销售季度内， 每售出 1 吨该商品可获利润 0.5 万元，
30、未售 出的商品，每 1 吨亏损 0.3 万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量 的频率分布直方图如图所示已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品现以 x 第 17 页（共 24 页） （单位：吨，100x150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示 该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润 （1）将 T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润 T 不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小 （保留到小数点后一位） 【分析】 （1）计算 x100，130）和 x1
31、30，150时 T 的值，用分段函数表示 T 的解析式； （2）计算利润 T 不少于 57 万元时 x 的取值范围，求出对应的频率值即可； （3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数， 根据中位数两边频率相等求出中位数的大小 【解答】解： （1）当 x100，130）时，T0.8x39；（1 分） 当 x130，150时，T0.513065，（2 分） 所以，T （3 分） （2）根据频率分布直方图及（）知， 当 x100，130）时，由 T0.8x3957，得 120x130，（4 分） 当 x130，150时，由 T6557，（5 分） 所以，利润 T 不少于 57 万元当且
32、仅当 120x150， 于是由频率分布直方图可知市场需求量 x120，150的频率为 （0.030+0.025+0.015）100.7， 所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 万元的概率的估计值为 0.7； （7 分） （3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为 1050.1+1150.2+1250.3+1350.25+1450.15126.5（吨） ；（9 分） 第 18 页（共 24 页） 由频率分布直方图易知，由于 x100，120）时， 对应的频率为（0.01+0.02）100.30.5， 而 x100，130）时，对应的频率为（0.01+0.02+0.03）100.6
33、0.5，（10 分） 因此一个销售季度内市场需求量 x 的中位数应属于区间120，130） ， 于是估计中位数应为 120+（0.50.10.2）0.03126.7（吨） （12 分） 【点评】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目 19 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ABCBAD90， ABADSA1，BC2，M 为 SB 的中点 （1）求证：AM平面 SCD； （2）求点 B 到平面 SCD 的距离 【分析】 （1） 取 SC 的中点 N， 连结 MN 和 DN， 可证明得到四边形 AMND 是平行四边形， 进而 AM平面 SC
34、D； （2） 先证明得到 AM平面 SBC， 进而得到平面 SCD平面 SBC， 作 BESC 交 SC 于 E， 则 BE平面 SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离 【解答】解： （1）取 SC 的中点 N，连结 MN 和 DN， M 为 SB 的中点， MNBC，且 MNBC， ABCBAD90，AD1，BC2， ADBC，且 ADBC， AD 平行且等于 MN， 四边形 AMND 是平行四边形， AMDN， AM平面 SCD，DN平面 SCD， 第 19 页（共 24 页） AM平面 SCD （2）ABAS1，M 为 SB 中点， AMSB， SA平面 ABCD，SABC， A
35、BCBAD90， BCAB， BC平面 SAB， BCAM， AM平面 SBC， 由（1）可知 AMDN， DN平面 SBC， DN平面 SCD， 平面 SCD平面 SBC， 作 BESC 交 SC 于 E，则 BE平面 SCD， 在直角三角形 SBC 中，SBBCSCBE， BE， 即点 B 到平面 SCD 的距离为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想， 等面积法，属于中档题 20 （12 分）已知椭圆，F1、F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，M 为椭圆上的 动点 （1）求F1MF2的最大值，并证明你的结论； （2） 若 A、 B 分别是椭圆 C 长轴
36、的左、 右端点， 设直线 AM 的斜率为 k， 且， 第 20 页（共 24 页） 求直线 BM 的斜率的取值范围 【分析】 （1） 由题意可知|MF1|+|MF2|4， 在F1MF2中， 利用余弦定理可得： cosF1MF2 1，再利用基本不等式得到 cosF1MF2，当且仅当|MF1| |MF2|时等号成立，再结合 0F1MF2 以及余弦函数的图象，即可得到F1MF2的 最大值； （2）设直线 BM 的斜率为 k，M（x0，y0） ，则，再根据 k 的范围即可得到 k 的范围 【解答】解： （1）由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF2|4， 在F1MF2中，由余弦定理可得： 11， 0F1
37、MF2， F1MF2的最大值为，此时|MF1|MF2|， 即点 M 为椭圆 C 的上、下顶点时F1MF2取最大值，其最大值为； （2）设直线 BM 的斜率为 k，M（x0，y0） ，则， ， 又， ， 第 21 页（共 24 页） ， ， 故直线 BM 的斜率的取值范围为（，） 【点评】本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题 21 （12 分）已知函数（e 为自然对数的底数） ，其中 a0 （1）在区间上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在， 请说明理由 （2） 若函数 f （x） 的两个极值点为 x1， x2（x1x2） ， 证明： 【分析】
38、（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可 求最值； （2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函 数，结合导数研究新函数的范围可证 【解答】解： （1）由条件可知，函数在（，0）上有意义， ，a0， 令 f（x）0 可得，0，0， xx1时，f（x）0，函数单调递增，当 x1x0 时，f（x）0，函数单调递减， 由，可得 f（a）0，当 xa 时，f（x）0，当ax0 时，f （x）0， 因为ax1a+0， 所以 x1a0， 又函数在（x1，0）上单调递减且0， 所以 f（x）在（上有最小值 f（）e， 第 22 页（共 24 页
39、） （2）由（1）可知 a0 时，f（x）存在两个极值点为 x1，x2（x1x2） ， 故 x1，x2是 x2+axa0 的根， 所以 x1+x2x1x2a，且 x1x21， 因为， 同理 f（x2）（1x1）， lnf（x2）ln（1x1）+x2，lnf（x1）ln（1x2）+x1， ， 又 1， 由（1）知，1x11x20， 设 m1x1，n1x2， 令 h（t）lnt，t1， 则0， 所以 h（t）在（1，+）上单调递增，h（t）h（1）0， 即 lnt， 令 t则 从而 【点评】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算 的能力，属于中档题 （二）选考题：共（
40、二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分的题目如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：（t 为参数，） ， 曲线 C1：（ 为参数） ，l1与 C1相切于点 A，以坐标原点为极点，x 轴的 第 23 页（共 24 页） 非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 C1的极坐标方程及点 A 的极坐标； （2）已知直线 l2：与圆 C2：交于 B，C 两点， 记AOB 的面
41、积为 S1，COC2的面积为 S2，求的值 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转 换求出结果 （2）利用三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1：（ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 x2+（y 4）24 将代入得到 28sin+120 直线 l1：（t 为参数，） ，转换为极坐标方程为 （R） 将 代入 28sin+120 得到 28sin+120， 由于（8sin）24120，解得， 故此时， 所以点 A 的极坐标为（2） （2） 由于圆 C2：， 转换为直角坐标方程为 所以圆心坐标为（2） 设 B（） ，C（） ，将代入，
42、 得到 26+20， 所以 1+26，122 由于， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三 第 24 页（共 24 页） 角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|x2a| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）2x+1； （2）若存在实数 a（1，+） ，使得关于 x 的不等式 f（x）+m 有实数解， 求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由绝对值的定义，讨论 x2，x2，去绝对值，解不等式，求并集，可得 所求解集； （2）运用绝对值不等式的
43、性质可得 f（x）+的最小值，由题意可得 m 大于这 个最小值，解不等式可得所求范围 【解答】解： （1）当 a1 时，即解不等式|x2|2x+1， 当 x2 时，原不等式等价为 x22x+1，所以 x3，则原不等式的解集为； 当 x2 时，原不等式等价为 2x2x+1，解得 x， 综上可得原不等式的解集为（，） ； （2）f（x）+|x2a|+|2a+|，显然等号可取， 由 a1，故原问题等价为关于 a 的不等式 2a+m 在（1，+）有解， 又因为 2a+2（a1）+22+26， 当且仅当 a2 取得等号，即 m6， 即 m 的范围是（6，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和 转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题
