1、已知复数 zi（1+i） ，则|z|（ ） A B C1 D 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，B1，0，1，PAB，则 P 的子集共有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 3 （5 分）设向量 （m，1） ， （2，1） ，且 ，则 m（ ） A2 B C D2 4 （5 分）已知an是等差数列，a35，a2a4+a67，则数列an的公差为（ ） A2 B1 C1 D2 5 （5 分）已知命题 p：xR，x2x+10；命题 q：xR，x2x3，则下列命题中为真命 题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 6 （5 分）已知偶函数 f（x）满足 f（x）x（x0） ，则x
2、|f（x+2）1（ ） Ax|x4 或 x0 Bx|x0 或 x4 Cx|x2 或 x 2 Dx|x2 或 x4 7 （5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A，B 是圆上的定点，OBOA，P 是圆上的动点，点 P 关于直线 OB 的对称点为 P，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，将|表 示为 x 的函数 f（x） ，则 yf（x）在0，上的图象大致为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 8 （5 分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ） A （7+2） B （10+2） C （
3、10+4） D （11+4） 9 （5 分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e， 设地球半径为R， 该卫星近地点离地面的距离为r， 则该卫星远地点离地面的距离为 （ ） Ar+R Br+R Cr+R Dr+R 10 （5 分）已知函数 f（x）xalnx1 存在极值点，且 f（x）0 恰好有唯一整数解，则 实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （0，1） C （0，） D （，+） 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线 C：y21（a0）的两个焦点，过点 F1且垂直于 x 轴的直线与 C 相交于 A，B 两点，若|AB|，则ABF2的内切圆的半
4、径为（ ） 第 3 页（共 23 页） A B C D 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别是棱 AD，CC1，C1D1 的中点，给出下列四个命题： EFB1C； 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60； 过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形； 三棱锥 BEFG 的体积为 其中，正确命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 已知函数 yf （x） 的图象与 y2x的图象关于直线 yx 对称， 则 f （4） 14
5、 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为 15 （5 分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成某班级从 3 名男生 A1， A2，A3和 3 名女生 B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛 球混合双打比赛，则 A1和 B1两人组成一队参加比赛的概率为 16 （5 分） 记 Sn为数列an的前 n 项和， 若 2Snan， 则 a3+a4 ， 数列an+2 an的前 n 项和 Tn 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题
6、，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了 80 个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm） ，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01） ； （2）已知尺寸在63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品将这 80 个零件尺寸 的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取 1 个零件，试估计所抽取的零件是二等
7、品的 概率 第 4 页（共 23 页） 18 （12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2A+sin2CsinAsinC sin2B （1）求 sinB 的值； （2）若 b2，ABC 的面积为，求ABC 的周长 19 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PAPC，ABBC，APC120，ABC90， ACPB2 （1）求证：ACPB； （2）求点 C 到平面 PAB 的距离 20 （12 分）已知点 P 是抛物线 C：y3 的顶点，A，B 是 C 上的两个动点，且 4 （1）判断点 D（0，1）是否在直线 AB 上？说明理由； （2）设点 M 是PAB
8、的外接圆的圆心，求点 M 的轨迹方程 21 （12 分）已知函数 f（x）alnx，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 为 2xy2e0 （1）求 a，b 的值； （2）证明函数 f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 f（x0）2ln22 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如如果多做，则按所做的第一果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 23 页） 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C2的参数方程为
9、 （ 为参数） （1）求 C1与 C2的普通方程； （2）若 C1与 C2相交于 A，B 两点，且|AB|，求 sin 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）求+的最小值； （2）证明： 第 6 页（共 23 页） 2020 年广东省广州市高考数学模拟试卷（文科） （年广东省广州市高考数学模拟试卷（文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是
10、符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数 zi（1+i） ，则|z|（ ） A B C1 D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 【解答】解：zi（1+i）1+i， |z| 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，B1，0，1，PAB，则 P 的子集共有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【分析】先求出 PAB0，1，由此能求出 P 的子集的个数 【解答】解：集合 A0，1，2，3，B1，0，1， PAB0，1， P 的子集共有 224 故选：B 【点评】
11、本题考查交集的求法，考查集合的子集个数的求法，是基础题，解题时要认真 审题，注意交集定义的合理运用 3 （5 分）设向量 （m，1） ， （2，1） ，且 ，则 m（ ） A2 B C D2 【分析】由，得2m10，由此能求出 x 的值 【解答】解：向量 （m，1） ， （2，1） ，且， 2m10，解得 m， 第 7 页（共 23 页） 实数 m 故选：C 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 4 （5 分）已知an是等差数列，a35，a2a4+a67，则数列an的公差为（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】利用等差数
12、列通项公式列出方程组，能求出数列an的公差 【解答】解：an是等差数列，a35，a2a4+a67， ， 解得 a11，d2 数列an的公差为 2 故选：D 【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 5 （5 分）已知命题 p：xR，x2x+10；命题 q：xR，x2x3，则下列命题中为真命 题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】根据条件判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：x2x+1（x）2+0 恒成立，故命题 p：xR，x2x+10 为假命 题， 当 x1 时，x2x3，成立，即命题 q
13、：xR，x2x3，为真命题， 则pq 为真，其余为假命题， 故选：B 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件判断命题的真假是解决本题 的关键比较基础 6 （5 分）已知偶函数 f（x）满足 f（x）x（x0） ，则x|f（x+2）1（ ） Ax|x4 或 x0 Bx|x0 或 x4 Cx|x2 或 x 2 Dx|x2 或 x4 第 8 页（共 23 页） 【分析】偶函数 f（x）满足 f（x）x（x0） ，在（0，+）递增，根据单调性判 断即可 【解答】解：偶函数 f（x）满足 f（x）x（x0） ，在（0，+）递增， 且 f（2）1， 故 f（x+2）1，即|x+2|2， 解得
14、x|x0 或者 x4， 故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，基础题 7 （5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A，B 是圆上的定点，OBOA，P 是圆上的动点，点 P 关于直线 OB 的对称点为 P，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，将|表 示为 x 的函数 f（x） ，则 yf（x）在0，上的图象大致为（ ） A B C D 【分析】设 PP的中点为 M，则|，当 x0，时，在 RtOMP 中，利用三角函数可知，|PM|cosx，所以 f（x）2cosx，从而得解 【解答】解：设 PP的中点为 M，则|， 当 x0，时，在 RtOMP 中，|OP|1，OPMPO
15、Ax，所以 cosx， 第 9 页（共 23 页） 所以|PM|cosx，|2cosx，即 f（x）2cosx，x0， 从四个选项可知，只有选项 A 正确， 故选：A 【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合运用，考查学生灵活运用知识的能力和运 算能力，属于基础题 8 （5 分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ） A （7+2） B （10+2） C （10+4） D （11+4） 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱
16、，下部是圆锥， 几何体的表面积为：（10+4） 故选：C 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键 9 （5 分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e， 设地球半径为R， 该卫星近地点离地面的距离为r， 则该卫星远地点离地面的距离为 （ ） Ar+R Br+R Cr+R Dr+R 【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴 a， 第 10 页（共 23 页） 半焦距 c，即可确定该卫星远地点离地面的距离 【解答】解：椭圆的离心率：e（0，1） ， （c 为半焦距；a 为长半轴） ， 只要求出椭圆的
17、c 和 a，即可确定卫星远地点离地面的距离， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为 m，n， 由题意，结合图形可知，acr+R，远地点离地面的距离为：na+cR，macR， a， c， 所以远地点离地面的距离为：na+cR 故选：A 【点评】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解 题的关键，考查学生的作图视图能力 10 （5 分）已知函数 f（x）xalnx1 存在极值点，且 f（x）0 恰好有唯一整数解，则 实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （0，1） C （0，） D （，+） 【分析】利用导数可知函数 f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）
18、单调递增，再分 0a1 及 a1 讨论即可得出结果 【解答】解：函数的定义域为（0，+） ，且， 又函数 f（x）存在极值点，即 yf（x）有变号零点，故 a0， 故函数 f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增， 注意到 f（1）0，x0 时，f（x）0， 当 0a1 时，显然 f（x）0 恰好有唯一整数解 x1，满足题意； 当 a1 时，只需满足 f（2）0，即 1aln20，解得； 第 11 页（共 23 页） 综上，实数 a 的取值范围为 故选：C 【点评】本题考查导数的运用，考查分类讨论思想，难度不大 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线 C：y21（a0）的两个焦点，
19、过点 F1且垂直于 x 轴的直线与 C 相交于 A，B 两点，若|AB|，则ABF2的内切圆的半径为（ ） A B C D 【分析】设左焦点 F1的坐标，由过 F1垂直于 x 轴的直线与椭圆联立可得弦长 AB，再由 椭圆可得 a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形 ABF2 的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割 3 个三角形的面积之和可得内切圆的半径 【解答】解：由双曲线的方程可设左焦点 F1（c，0） ，由题意可得 AB， 再由 b1，可得 a，所以双曲线的方程为：y21， 所以 F1（，0） ，F2（，0） ，所以 SF1F2， 三角形ABF2的周长为CAB+AF
20、2+BF2AB+ （2a+AF1） + （2a+BF1） 4a+2AB4+2 6， 设内切圆的半径为 r，所以三角形的面积 S3， 所以 3，解得：r， 故选：B 【点评】本题考查求椭圆的方程和椭圆的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与 三角形周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别是棱 AD，CC1，C1D1 的中点，给出下列四个命题： EFB1C； 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60； 过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形； 三棱锥 BEFG 的体积为 其中，正
21、确命题的个数为（ ） 第 12 页（共 23 页） A1 B2 C3 D4 【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可 【解答】解：如图；连接相关点的线段，O 为 BC 的中点，连接 EFO，因为 F 是中点， 可知 B1COF，EOB1C，可知 B1C平面 EFO，即可证明 B1CEF，所以正确； 直线 FG 与直线 A1D 所成角就是直线 A1B 与直线 A1D 所成角为 60；正确； 过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形 EHFGI所以 不正确； 三棱锥 BEFG 的体积为：VGEBM VFEBM所以三棱锥 BEFG 的体积 为 正确； 故
22、选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位 第 13 页（共 23 页） 置关系的应用，平面的基本性质，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 yf（x）的图象与 y2x的图象关于直线 yx 对称，则 f（4） 2 【分析】先利用反函数的定义求出函数 f（x）的解析式，即可求出 f（4）的值 【解答】解：由题意可知，函数 yf（x）与函数 y2x互为反函数， f（x）log2x， f（4）log242， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了反函数的定义，是基础
23、题 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为 1 【分析】先根据条件画出可行域，设 zx2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化 为 y 轴上的截距最大，只需求出直线 zx2y，取得截距的最小值，从而得到 z 最小值 即可 【解答】解：由约束条件得到如图可行域，由目标函数 zx2y 得到 yxz； 当直线经过 A 时，直线在 y 轴的截距最大，使得 z 最小， 由 得到 A（1，1） ， 所以 z 的最小值为 1211； 故答案为：1 【点评】本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问 题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常
24、是利用平移直线法确 第 14 页（共 23 页） 定 15 （5 分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成某班级从 3 名男生 A1， A2，A3和 3 名女生 B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛 球混合双打比赛，则 A1和 B1两人组成一队参加比赛的概率为 【分析】先设分为甲乙两队，求出基本事件的总数，再根据 A1和 B1两人组成一队，求 出符合条件的个数，相比即可求解 【解答】解：设分为甲乙两队； 则甲队的人任选的话有：9 种情况，乙队去选时有：4 种情况； 故共有 9436 种情况； 若 A1和 B1两人组成一队，在甲队时，乙队有4 种情况；
25、 在乙队时，甲队有4 种情况； 故共有 4+48 种情况； 所以：A1和 B1两人组成一队参加比赛的概率为： 故答案为： 【点评】本题考查了计数原理，考查了排列组合，属于基础题 16（5 分） 记 Sn为数列an的前 n 项和， 若 2Snan， 则 a3+a4 ， 数列an+2 an的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）直接利用递推关系式的应用求出结果 （2）利用数列的递推关系式的应用和分组求和的应用求出结果 【解答】解： （1）由于数列an满足 2Snan， 当 n2 时， 得：， 整理得， 所以 第 15 页（共 23 页） （2）由于， 故， 所以， 得：， 所以+， 2（）+， （）
26、+（） ， 故答案为： （1）， （2） 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的求和公式的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为题为选考题，考生根据要求作答选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了 80 个零件
27、进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm） ，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01） ； （2）已知尺寸在63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品将这 80 个零件尺寸 的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取 1 个零件，试估计所抽取的零件是二等品的 概率 第 16 页（共 23 页） 【分析】 （1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小； （2）计算尺寸在63.0，64.5）外的频率，用频率估计概率，即可得出结论 【解答】解： （1）由频率分布直方图的性质得： （0.075+0.225）0
28、.50.15，0.15+0.750.50.525， 所以中位数在63.0，63.5）内，设为 a， 则 0.15+（a63.0）0.750.5， 解得 a63.47， 所以估计中位数为 63.47； （2）尺寸在63.0，64.5）上的频率为（0.750+0.650+0.200）0.50.8， 且 10.80.2， 所以从生产线上随机抽取 1 个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为 0.2 【点评】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、概率的应用问题，是基础题 18 （12 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2A+sin2CsinAsinC sin2B （1
29、）求 sinB 的值； （2）若 b2，ABC 的面积为，求ABC 的周长 【分析】（1） 由已知结合正弦定理及余弦定理可求 cosB， 然后结合同角平方关系可求 sinB； （2）由已知结合三角形的面积公式可求 ac，然后结合余弦定理即可求解 a+c，进而可求 三角形的周长 【解答】解： （1）因为 sin2A+sin2CsinAsinCsin2B 由正弦定理可得， 第 17 页（共 23 页） 由余弦定理可得，cosB， 故 sinB； （2）SABC， 所以 ac3， 因为， 所以4+812， 所以 a+c+b2+2 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，
30、属于中 档试题 19 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PAPC，ABBC，APC120，ABC90， ACPB2 （1）求证：ACPB； （2）求点 C 到平面 PAB 的距离 【分析】 （1）取 AC 的中点为 O，连接 BO，PO，证明 POAC，BOAC，推出 AC平 面 OPB，即可证明 ACBP； （2）在直角三角形 ABC 中，由 AC2，O 为 AC 的中点，得 BO1，求解 PO， 结合 PB，可得 POBO，又 POAC，得到 PO平面 ABC，然后利用等体积法 求点 C 到平面 PAB 的距离 【解答】 （1）证明：取 AC 的中点为 O，连接 BO，PO 在PAC
31、 中，PAPC，O 为 AC 的中点，POAC， 在BAC 中，BABC，O 为 AC 的中点，BOAC， OPOBO，OP，OB平面 OPB，AC平面 OPB， PB平面 POB，ACBP； 第 18 页（共 23 页） （2）解：在直角三角形 ABC 中，由 AC2，O 为 AC 的中点，得 BO1， 在等腰三角形 APC 中，由APC120，得 PO， 又PB，PO2+BO2PB2，即 POBO， 又 POAC，ACOBO，PO平面 ABC， 求解三角形可得 PA， 又 AB， 得 设点 C 到平面 PAB 的距离为 h， 由 VPABCVCPAB，得h， 解得 h， 故点 C 到平面
32、PAB 的距离为 【点评】本题考查等体积法的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象 能力以及计算能力，是中档题 20 （12 分）已知点 P 是抛物线 C：y3 的顶点，A，B 是 C 上的两个动点，且 4 （1）判断点 D（0，1）是否在直线 AB 上？说明理由； （2）设点 M 是PAB 的外接圆的圆心，求点 M 的轨迹方程 【分析】 （1）由抛物线的方程可得顶点 P 的坐标，设直线 AB 的方程，与抛物线联立求 出两根之和及两根之积， 求出数量积， 再由题意4 可得直线 AB 恒过 （0， 1） ，即得 D 在直线 AB 上； （2）设 A，B 的坐标，可得直线 PA，PB
33、的斜率及线段 PA，PB 的中点坐标，进而求出 线段 PA，PB 的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心 M 的坐标，由（1）可得 M 的横纵坐标关于参数 k 的表达式，消参数可得 M 的轨迹方程 第 19 页（共 23 页） 【解答】解： （1）由抛物线的方程可得顶点 P（0，3） ，由题意可得直线 AB 的斜率存 在，设直线 AB 的方程为：ykx+4，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立直线与抛物线的方程：， 整理可得： x24kx4 （b+3） 0， 16k2+16 （3+b）0，即 k2+3+b0， x1+x24k，x1x24（b+3） ，y1y2k2x1x2+kb（
34、x1+x2）+b24k2（b+3）+4k2b+b2b2 12k2，y1+y2k（x1+x2）+2b4k2+2b， 因为（x1，y1+3） （x2，y2+3）x1x2+y1y2+3（y1+y2）+94（b+3）+b212k2+3 （4k2+2b）+9b2+2b3， 而4，所以 b2+2b34，解得 b1，m 满足判别式大于 0， 即直线方程为 ykx1，所以恒过（0，1） 可得点 D（0，1）在直线 AB 上 （2）因为点 M 是PAB 的外接圆的圆心，所以点 M 是三角形 PAB 三条边的中垂线的交 点， 设线段 PA 的中点为 F，线段 PB 的中点为为 E， 因为 P（0，3） ，设 A（
35、x1，y1） ，B（x2，y2） 所以 F（，） ，E（，） ，kPA，kPB， 所以线段 PA 的中垂线的方程为：y（x） ， 因为 A 在抛物线上，所以 y1+3， PA 的中垂线的方程为：y+3（x） ，即 yx+1， 同理可得线段 PB 的中垂线的方程为：yx+1， 联立两个方程，解得， 第 20 页（共 23 页） 由（1）可得 x1+x24k，x1x24（b+3）8， 所以 xMk，yM2k2， 即点 M（k，2k2） ，所以 xM2， 即点 M 的轨迹方程为：x2y 【点评】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综 合应用，属于中难题 21 （12 分
36、）已知函数 f（x）alnx，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 为 2xy2e0 （1）求 a，b 的值； （2）证明函数 f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 f（x0）2ln22 【分析】 （1）求导，可得 f（1）a，f（1）be，结合已知切线方程即可求得 a，b 的值； （2）利用导数可得，x0（1，2） ，再构造新函数 ，利用导数求其最值即可得证 【解答】解： （1）函数的定义域为（0，+） ， 则 f（1）a，f（1）be， 故曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 axyabe0， 又曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 2xy2e
37、0， a2，b1； （2）证明：由（1）知，则， 令 g（x）2xxex+ex，则 g（x）2xex，易知 g（x）在（0，+）单调递减， 又 g（0）20，g（1）2e0， 故存在 x1（0，1） ，使得 g（x1）0， 且当 x（0，x1）时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x（x1，+）时，g（x） 第 21 页（共 23 页） 0，g（x）单调递减， 由于 g（0）10，g（1）20，g（2）4e20， 故存在 x0（1，2） ，使得 g（x0）0， 且当 x（0，x0）时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增，当 x（x0，+）时， g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减，
38、故 函 数 存 在 唯 一 的 极 大 值 点x0， 且， 即 ， 则， 令，则， 故 h（x）在（1，2）上单调递增， 由于 x0（1，2） ，故 h（x0）h（2）2ln22，即， f（x0）2ln22 【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查 推理论证能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数
39、） ，曲线 C2的参数方程为 （ 为参数） （1）求 C1与 C2的普通方程； （2）若 C1与 C2相交于 A，B 两点，且|AB|，求 sin 的值 【分析】 （1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程； （2）把直线的参数方程代入 C2的普通方程，化为关于 t 的一元二次方程，再由根与系 数的关系及此时 t 的几何意义求解 【解答】解： （1）由曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，消去参数 t，可得 yxtan+1； 第 22 页（共 23 页） 由曲线 C2的参数方程为（ 为参数） ，消去参数 ，可得， 即（y0） （2）把（t 为参数）代入， 得（1+cos2）t2
40、+2tsin10 ， |AB|t1t2| 解得：cos21，即 cos1，满足0 sin0 【点评】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数 t 的几何意义的应 用，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）求+的最小值； （2）证明： 【分析】 （1）利用基本不等式即可求得最小值； （2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证 【解答】解： （1），当且仅当 “”时取等号， 故+的最小值为； （2）证明： ， 当且仅当时取等号，此时 a+b1 第 23 页（共 23 页） 故 【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题
