1、已知集合 AxZ|2x4，Bx|x22x30，则 AB（ ） A （2，1） B （1，3） C1，0 D0，1，2 2 （5 分）i 为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ） A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限 3 （5 分）在集合1，2和3，4，5中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被 4 整除的概率为（ ） A B C D 4 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）是单调函数，且 f（x）满足，则（ ） A B C D 5 （5 分）已知实数 x，y 满足则 z3x+y 的最小值为（ ） A1 B3 C5 D11 6 （5 分）公元 263 年左右，
2、我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积 求圆周率 ， 他从单位圆内接正六边形算起， 令边数一倍一倍地增加， 即 12， 24， 48， ， 192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形， 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似 值是 3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥 细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽这种想法的 可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想 极其重要，对后世产生了巨大影响按照上面“割圆
3、术” ，用正二十四边形来估算圆周率， 则 的近似值是（ ） （精确到 0.01） （参考数据 sin150.2588） A3.14 B3.11 C3.10 D3.05 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分）已知，则 sin2（ ） A B C D 8（5 分） 在ABC 中， BC60， AB2， 且点 M 满足2， 则 （ ） A3 B6 C8 D12 9 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B C D 10 （5 分）已知 F1、F2为双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，点 P 在双 曲线 C 上，且线段 PF1的中点坐标为（0，b） ，则双曲线 C
4、 的离心率为（ ） A B C D2 11 （5 分）下列函数图象中，函数 f（x）xe|x|（Z）的图象不可能的是（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）（aR） ，若函数 f（x）有四个零点，则 a 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 22 页） A （，0） B （e，+） C （4，+） D （4，e2） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置）把答案填在答题卡的相应位置） 13 （5 分）已知圆 C 的圆心坐标是（0，m） ，若直线 xy+10 与圆 C 相切于点 A（
5、2， 1） ，则 m 14 （5 分）已知数列an满足 an0，且 lgan，lgan+1，lgan+2成等差数列，若 a3a4a6a74， 则 a5 15 （5 分）已知椭圆 C：（ab0）的右焦点为 F，直线 l：与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AFBF，则椭圆 C 的离心率为： 16 （5 分）已知ABC 内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且（2ac）cosB bcosC，则ABC 面积的最大值为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.其中其中 17 至至 21 题为必考题，题为必考题，22、23 题为选考题题为选考题. 解
6、答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考部分：共解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考部分：共 60 分分 17 某学习小组在生物研究性学习中， 对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系 进行研究，于是小组成员在 3 月份的 31 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每 天昼夜温差与每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 3 月 2 日 3 月 8 日 3 月 15 日 3 月 22 日 3 月 28 日 温差 x/C 10 11 13 12 8 发芽数 y/颗 23 25 30 26 14 （1）在这个学习小组中负责统计数据的
7、那位同学为了减少计算量，他从这 5 天中去掉了 3 月 2 日与 3 月 28 日的两组数据，请根据这 5 天中的另三天的数据，求出 y 关于 x 的线 性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过 2 颗，则认 为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式：，） （参考数据：， ） 第 4 页（共 22 页） 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，点 D 是 AB 的中点，BCAC，AB 2DC2， （1）求证：平面 A1DC平面 ABB1A1； （2）求点 A 到平面 A1DC 的距离 19
8、已知数列an满足，a1+ （1）求 a1，a2的值 （2）求数列an的通项公式； （3）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：nN*，1 20已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，点 P（x0，y0）在抛物线 C 上，且满足|PF| y0+1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过抛物线 C 上的任意一点 M 作抛物线 C 的切线，交抛物线 C 的准线于点 N在 y 轴上是否存在一个定点 H，使以 MN 为直径的圆恒过 H若存在，求出 H 的坐标，若不 存在，则说明理由 21设函数 g（x）lnx+aex，h（x）axex， （1）求 g（x）在 x1 处的切线的一般式方程
9、； （2）请判断 g（x）与 h（x）的图象有几个交点？ （3）设 x0为函数 g（x）h（x）的极值点，x1为 g（x）与 h（x）的图象一个交点的横 坐标，且 x1x0，证明：3x0x12 （二）选考部分：共（二）选考部分：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分，作答时，请用的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22设 A 为椭圆 C1：上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C2的极
10、坐标方程为 210cos+240，B 为 C2上任意一点 第 5 页（共 22 页） （）写出 C1参数方程和 C2普通方程； （）求|AB|最大值和最小值 23已知函数 f（x）|2x2a|（aR） ，对xR，f（x）满足 f（x）f（2x） （）求 a 的值； （）若xR，使不等式，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2020 年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小題，每小题小題，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项
11、中，有且在每小题给出的四个选项中，有且 只有一只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 AxZ|2x4，Bx|x22x30，则 AB（ ） A （2，1） B （1，3） C1，0 D0，1，2 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：A1，0，1，2，3，Bx|1x3， AB0，1，2 故选：D 【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 2 （5 分）i 为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ） A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限 【分析】由题意分子分母同乘以 1+i，再进行化简求出实
12、部和虚部即可 【解答】解：1i， 在复平面内对应的点为（1，1） ， 故选：C 【点评】本题考查了复数的除法运算以及几何意义，关键利用共轭复数对分母实数化 3 （5 分）在集合1，2和3，4，5中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被 4 整除的概率为（ ） A B C D 【分析】 基本事件总数共有 12 个这个两位数能被 4 整除包含的基本事件有 3 个， 由此能 求出这个两位数能被 4 整除的概率 【解答】解：在集合1，2和3，4，5中各取一个数字组成一个两位数， 基本事件有： 13，14，15，23，24，25，31，41，51，32，42，52， 共有 12 个， 第 7 页（
13、共 22 页） 这个两位数能被 4 整除包含的基本事件为 24，32，52， 共有 3 个， 这个两位数能被 4 整除的概率为 p 故选：C 【点评】本题考查概率求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）是单调函数，且 f（x）满足，则（ ） A B C D 【分析】根据题意可得出 f（0）0，并得出 f（1）f（0） ，进而得出 f（x）在（ ，+）上是减函数，从而可判断出和 f（2）的大小关系 【解答】解：f（x）是 R 上的奇函数，且 f（x）是单调函数， f（0）0，f（1）f（0） ， f（x）在（，+）上单调递减，
14、故选：B 【点评】本题考查了奇函数、减函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值 为 0，考查了推理能力，属于基础题 5 （5 分）已知实数 x，y 满足则 z3x+y 的最小值为（ ） A1 B3 C5 D11 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z3x+y 为 y3x+z， 第 8 页（共 22 页） 联立； 由图可知，当直线 y3x+z 过 A（0，1）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 1 故选：A 【点评】本题考查简单的线性规划，考查
15、数形结合的解题思想方法，是中档题 6 （5 分）公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积 求圆周率 ， 他从单位圆内接正六边形算起， 令边数一倍一倍地增加， 即 12， 24， 48， ， 192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形， 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似 值是 3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥 细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽这种想法的 可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用
16、有限来逼近无穷，这种思想 极其重要，对后世产生了巨大影响按照上面“割圆术” ，用正二十四边形来估算圆周率， 则 的近似值是（ ） （精确到 0.01） （参考数据 sin150.2588） A3.14 B3.11 C3.10 D3.05 【分析】连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了 24 个面积相等的 等腰三角形，可以计算出每个等腰三角形的面积，再算出正二十四边形的面积，即可求 出 的近似值 【解答】解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了 24 个面积相 等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为 1，顶角为150，所以每个等腰三角 第 9 页（共 22 页）
17、 形的面积 s，所以正二十四边形的面积为 24s 12sin15120.25883.11， 故选：B 【点评】本题主要考查了类比推理，是中档题 7 （5 分）已知，则 sin2（ ） A B C D 【分析】直接利用诱导公式和同角三角函数关系式的变换求出结果 【解答】解：，故：，解得 tan2 所以 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变 换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8（5 分） 在ABC 中， BC60， AB2， 且点 M 满足2， 则 （ ） A3 B6 C8 D12 【分析】由题意画出图形，再由平面向量的
18、数量积运算及向量的加法与减法运算求解 【解答】解：如图， 三角形 ABC 为等边三角形，且边长为 2， 由2，得， （）22cos60+46 故选：B 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法与减法运算，是基础题 9 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 22 页） A2 B C D 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底边为直角三角形，高为 2 的三棱锥体 如图所示： 所以 V 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的
19、应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用， 属于基础题型 10 （5 分）已知 F1、F2为双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，点 P 在双 曲线 C 上，且线段 PF1的中点坐标为（0，b） ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 【分析】利用双曲线的通径的一半为 2b，列出方程，转化求解双曲线的离心率即可 【解答】解：F1、F2为双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，点 P 在双 曲线 C 上，且线段 PF1的中点坐标为（0，b） ， 第 11 页（共 22 页） 可得：2b，可得 2ab， 所以双曲线的离心率为：e 故选：C 【点评】本题考
20、查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，抓住通径与已知条件的转 化是解题的关键 11 （5 分）下列函数图象中，函数 f（x）xe|x|（Z）的图象不可能的是（ ） A B C D 【分析】结合函数定义域，奇偶性以及幂函数的性质分别进行判断即可 【解答】解：A 图象中函数的定义域为 R，函数是偶函数，则 为正偶数时，满足对应 图象， B 图象中函数的定义域为x|x0，函数是偶函数，则 为负偶数时，满足对应图象， C 图象中函数的定义域为 R，函数是奇函数，则 为正奇数，函数为增函数，且递增的 速度越来越快，故 C 不满足条件 D 图象中函数的定义域为 R，函数是奇函数，则 为正奇数，函数为增函
21、数，且递增的 速度越来越快，故 D 满足条件 故选：C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断结合函数的定义域，奇偶性，得到 是 奇偶数是解决本题的关键难度中等 12 （5 分）已知函数 f（x）（aR） ，若函数 f（x）有四个零点，则 a 的取值范围是（ ） 第 12 页（共 22 页） A （，0） B （e，+） C （4，+） D （4，e2） 【分析】当 a0 时，显然不符合题意，舍去；当 a0 时，f（x）xalnx 为（1，+） 上的增函数，在区间（1，+）上至多有一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去； 当 a0 时，使 f（x）在（，1上有两个零点，在（1，+）上有两个零点
22、即可 【解答】解：当 a0 时，显然不符合题意，舍去； 当 a0 时，f（x）xalnx 为（1，+）上的增函数，在区间（1，+）上至多有 一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去； 当 a0 时，则 f（x）在（，1上有两个零点，在（1，+）上有两个零点 当 x1 时，f（x）ax2ax+1a（x）2+，由于对称轴是 x，f（0）f（1） 10，故只要 f（）0，即 a4； 当 x1 时，f（x）xalnx，f（x）1，令 f（x）0，则 xa， 当 0a1 时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，与条件矛盾，不符合题意， 舍去； 当 a1 时，x（1，a）时，f（x）0，f（x）单调递
23、减；当 x（a，+）时，f（x） 0，f（x）单调递增； 且根据不同函数的增长率的知识知，必然存在 x0（a，+） ，使得 f（x0）x0alnx0 0； 故 xa 时 f（x）有极小值，要满足条件，只要 f（a）aalna0，即 ae； 综上所述，a4 且 ae，故 a4； 故选：C 【点评】本题考查了分段函数的零点问题，要分类讨论，注意数形结合，属于中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置）把答案填在答题卡的相应位置） 13 （5 分）已知圆 C 的圆心坐标是（0，m） ，若直线 xy+
24、10 与圆 C 相切于点 A（2， 1） ，则 m 3 【分析】由题意可得圆心 C（0，m）到直线 xy+10 的距离 dr，ACr，结合点到 直线的距离及两点间的距离公式可求 【解答】解：根据题意可得，圆心 C（0，m）到直线 xy+10 的距离 dr， 第 13 页（共 22 页） 又直线 xy+10 与圆 C 相切于点 A（2，1） ， 所以 r， 联立可得，m3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了直线与圆相切的性质及两点间距离公式及点到直线距离公式的 简单应用，属于基础试题/ 14 （5 分）已知数列an满足 an0，且 lgan，lgan+1，lgan+2成等差数列，若 a3a4a
25、6a74， 则 a5 【分析】由已知结合对数的运算性质可得，即数列an为等比数列， 然后结合等比数列的性质即可求解 【解答】解：由题意可得，lgan+lgan+22lgan+1， 即，即数列an为等比数列， 由等比数列的性质可得，a3a4a6a74， an0， 则 a5 故答案为： 【点评】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题 15 （5 分）已知椭圆 C：（ab0）的右焦点为 F，直线 l：与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AFBF，则椭圆 C 的离心率为： 【分析】求出点 A 的坐标，利用椭圆的定义，解出 e 即可 【解答】解：由椭圆 C：（ab0）的右焦点为 F，直线
26、 l：与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AFBF， 可知三角形 OAF 是正三角形，A（，） ，所以 FBc， 由椭圆的定义可得c+c2a， 可得 e1 第 14 页（共 22 页） 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属 中档题 16 （5 分）已知ABC 内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且（2ac）cosB bcosC，则ABC 面积的最大值为 3 【分析】利用正弦定理化简已知的等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化 简，根据 sinA 不为 0 求出 cosB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值
27、 即可求出角 B 的大小，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形，求出 ac 的最 大值，即可确定出三角形面积的最大值 【解答】解：在ABC 中，利用正弦定理化简（2ac）cosBbcosC，得（2sinAsinC） cosBsinBcosC， 整理得：2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，即 2sinAcosBsin（C+B）sinA， sinA0， cosB， B（0，） ， B， ， 根据余弦定理 b2a2+c22accosB，即 12a2+c2ac， a2+c22ac（当且仅当时取“”号） ， 12a2+c2ac2acacac，即 ac12，当且仅当 ac 时取等号
28、， SABCacsinBac3， 则ABC 面积的最大值为 3 故答案为：3 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的 运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.其中其中 17 至至 21 题为必考题，题为必考题，22、23 题为选考题题为选考题. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考部分：共解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考部分：共 60 分分 17 某学习小组在生物研究性学习中， 对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间
29、的关系 第 15 页（共 22 页） 进行研究，于是小组成员在 3 月份的 31 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每 天昼夜温差与每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 3 月 2 日 3 月 8 日 3 月 15 日 3 月 22 日 3 月 28 日 温差 x/C 10 11 13 12 8 发芽数 y/颗 23 25 30 26 14 （1）在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这 5 天中去掉了 3 月 2 日与 3 月 28 日的两组数据，请根据这 5 天中的另三天的数据，求出 y 关于 x 的线 性回归方程； （2）若由线性回归方
30、程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过 2 颗，则认 为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式：，） （参考数据：， ） 【分析】 （1）由数据计算 x，y 的值，求出回归系数，写出线性回归方程； （2）利用回归方程计算 x10、8 时，验证误差是否满足条件即可 【解答】解： （1）根据题意， ， 又， ，272.5123， 故线性回归方程为 y2.5x3； （2）当 x10 时，y2.510322，|2223|2， 当 x8 时，y2.58317，|1417|2 所得到的线性回归方程是不可靠 第 16 页（共 22 页） 【点评】本题考查了
31、求线性回归方程和线性回归方程的应用问题，中档题 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，点 D 是 AB 的中点，BCAC，AB 2DC2， （1）求证：平面 A1DC平面 ABB1A1； （2）求点 A 到平面 A1DC 的距离 【分析】 （1） 推导出 CDAB， CDAA1， 从而 CD平面 ABB1A1， 由此能证明平面 A1DC 平面 ABB1A1 （2）设点 A 到平面 A1DC 的距离为 d，由，能求出点 A 到平面 A1DC 的距离为 1 【解答】解： （1）证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC， 点 D 是 AB 的中点，BCAC，C
32、D平面 ABC， CDAB，CDAA1， ABAA1A，CD平面 ABB1A1， CD平面 A1DC，平面 A1DC平面 ABB1A1 （2）解：设点 A 到平面 A1DC 的距离为 d， 点 D 是 AB 的中点，BCAC，AB2DC2， 设点 A 到平面 A1DC 的距离为 d， ， ， d， 解得 d， 点 A 到平面 A1DC 的距离为 第 17 页（共 22 页） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知数列an满足，a1+ （1）求 a1，a2的值 （2）求数列an的通项公式；
33、 （3）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：nN*，1 【分析】 （1）直接利用递推关系式求出结果 （2）利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 （3）利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果 【解答】解： （1）数列an满足，a1+ 当 n1 时，a11 当 n2 时，解得 a24 解： （2）当 n2 时，a1+， 得：n， 所以（首项符合通项） 故： 证明： （3）根据题意， 所以11， 当 n1 时， 且函数为增函数， 故：nN*，1 第 18 页（共 22 页） 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，函数的单
34、调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于中档题型 20已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，点 P（x0，y0）在抛物线 C 上，且满足|PF| y0+1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过抛物线 C 上的任意一点 M 作抛物线 C 的切线，交抛物线 C 的准线于点 N在 y 轴上是否存在一个定点 H，使以 MN 为直径的圆恒过 H若存在，求出 H 的坐标，若不 存在，则说明理由 【分析】 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得 p 的值，进而得 到所求抛物线方程； （2）设 M（n，） ，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切线方程，可令
35、 y1 可得 N 的坐标，假设存在 H（0，t） ，使以 MN 为直径的圆恒过 H，可得 MHNH，由垂 直的条件可得切线的斜率值为1，化简整理，结合恒成立思想可得 H 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F（0，） ，准线方程为 y， 由抛物线的定义可得|PF|y0+1y0+，即 p2， 可得抛物线的方程为 x24y； （2）设 M（n，） ，由 y的导数为 yx，可得切线的斜率为n， 切线的方程为 yn（xn） ，即 ynx， 由抛物线的准线方程 y1，可得 N（，1） ， 假设存在 H（0，t） ，使以 MN 为直径的圆恒过 H，可得 MHNH， 可得 k
36、MHkNH1，即1， 即有（t1）t2+t2， 当 t1 时，上式对任意的实数 n 均成立， 则存在定点 H（0，1） 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，抛物线的切线方程的求法和运用，考查 第 19 页（共 22 页） 直径所对的圆周角为直角，以及两直线垂直的条件，考查化简运算能力，属于中档题 21设函数 g（x）lnx+aex，h（x）axex， （1）求 g（x）在 x1 处的切线的一般式方程； （2）请判断 g（x）与 h（x）的图象有几个交点？ （3）设 x0为函数 g（x）h（x）的极值点，x1为 g（x）与 h（x）的图象一个交点的横 坐标，且 x1x0，证明：3x0x12
37、 【分析】 （1）利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程 （2）构造函数 f（x）g（x）h（x） ，利用导数研究 f（x）的单调区间和零点，由此 判断 g（x）与 h（x）的图象的交点个数 （3）结合（2）以及题意得到，化简得到，利用放缩 法以及取对数运算，化简证得 3x0x12 成立 【解答】解： （1）由得切线的斜率为 kg（1）1+ae，切点为（1， ae） 切线方程为：yae（1+ae） （x1） ， 所求切线的一般式方程为（1+ae）xy10 （2）令 f（x）g（x）h（x）lnx+aexaxex由题意可知，f（x）的定义域为（0，+ ） ， 且 令 m（x）1ax2e
38、x，得 m（x）a（2xex+x2ex） ， 由，x0 得，可知 m（x）在（0，+）内单调递减， 又 m（1）1ae0，且， 故 m（x）0 在（0，+）内有唯一解， 从而 f（x）0 在（0，+）内有唯一解，不妨设为 x0， 则，当 x（0，x0）时， f（x）在（0，x0）内单调递增； 当 x（x0，+）时， 第 20 页（共 22 页） f（x）在（x0，+）内单调递减，x0是 f（x）的唯一极值点 令 （x）lnxx+1，则当 x1 时，故 （x）在（1，+）内单 调递减， 当 x1 时，（x）（1）0，即 lnxx1， 从而， 又f（x0）f（1）0，f（x）在（x0，+）内有唯一
39、零点， 又 f（x）在（0，x0）内有唯一零点 1，从而，f（x）在（0，+）内恰有两个零点 g（x）与 h（x）的图象有 2 交点； （3）由（2）及题意，即， ， 当 x1 时，lnxx1，又 x1x01，故， 两边取对数，得， 于是 x1x02lnx02（x01） ，整理得 3x0x12，命题得证 【点评】本题考查了利用导数求切线方程，利用导数研究两个函数图象的交点个数，利 用导数研究函数的单调性和极值，利用导数证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思 想，属难题 （二）选考部分：共（二）选考部分：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做两题中
40、任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分，作答时，请用的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22设 A 为椭圆 C1：上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 210cos+240，B 为 C2上任意一点 （）写出 C1参数方程和 C2普通方程； （）求|AB|最大值和最小值 【分析】 （）先将直线 l 的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，将曲线 C 的 第 21 页（共 22 页） 方程先去分母，再将 ysin，x2+y22代入，化简即可求解； （）先将
41、曲线 C 的方程化为参数形式，再利用两点间的距离公式，结合三角函数求最 值，即可得解 【解答】解： （）椭圆 C1：转换为参数方程为（ 为参数） 曲线 C2的极坐标方程为 210cos+240， 转换为直角坐标方程为 x2+y210x+240， 整理得（x5）2+y21 （）椭圆上点 A（2cos，2sin）到曲线 C2的圆心（5，0）的距离 d ， 当时， 当 cos1 时，|AO|min3， 所以， |AB|min312 【点评】本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化、二次函数性质 的应用，两点间的距离公式的应用，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想 23已知函数 f
42、（x）|2x2a|（aR） ，对xR，f（x）满足 f（x）f（2x） （）求 a 的值； （）若xR，使不等式，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）由题意可得 f（x）的图象关于直线 x1 对称，再由绝对值函数的对称轴， 可得 a 的值； （）运用绝对值不等式的性质和二次不等式的解法，即可得到所求范围 【解答】解： （）函数 f（x）|2x2a|（aR） ，对xR，f（x）满足 f（x）f（2x） ， 可得 f（x）的图象关于直线 x1 对称，可得 a1； （）由（）可得 f（x）2|x1|， 若xR，使不等式， 可得 m2+m|x1|2x+2|的最大值， 由|x1|2x+2|x1|x+1|x+1|x1x1|1+1|2， 当且仅当 x1 时，取得等号，即最大值 2， 第 22 页（共 22 页） 则 m2+m2，解得2m1 【点评】本题考查函数的对称性的判断和运用，不等式成立问题解法，注意运用绝对值 不等式的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题
