1、2020 年天津市红桥区中考数学一模试卷年天津市红桥区中考数学一模试卷 一、选择题 1计算（2）6 的结果等于（ ） A12 B12 C4 D4 2sin60的值等于（ ） A B C D1 3下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 4北京大兴国际机场主航站楼和配套服务楼、停车楼总建筑规模约 1400000m3将 1400000 用科学记数法表示应为（ ） A0.14108 B1.4107 C1.4106 D14105 5右图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 6估计的值应在（ ） A5 和 6 之间 B4 和 5 之间
2、 C3 和 4 之间 D2 和 3 之间 7计算的结果是（ ） A2 B2a2 C1 D 8方程 x2+x120 的两个根为（ ） Ax12，x26 Bx16，x22 Cx13，x24 Dx14，x23 9若点 A（3，y1），B（2，y2），C（1，y3）都在反比例函数 y的图象上，则 y1， y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy3y2y1 10 如图， 在ABC 中， BAC90， ABAC6， 点 D 为ABC 内一点， BAD15， AD3，连接 BD，将ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应 点为点
3、E，连接 DE 交 AC 于点 F，则 AF 的长为（ ） A B C3 D 11如图，在四边形 ABCD 中，AD90，AB5，AD4，CD3，点 P 是边 AD 上的动点，则PBC 周长的最小值为（ ） A8 B C12 D 12对于一个函数：当自变量 x 取 a 时，其函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动 点若二次函数 yx2+2x+c（c 为常数）有两个不相等且都小于 1 的不动点，则 c 的取值 范围是（ ） Ac3 B3c2 C2c Dc 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13x2 x3的计算结果是 14计算（）（）的结果等于 15不透
4、明袋子中装有 9 个球，其中有 2 个红球、4 个绿球和 3 个蓝球这些球除颜色外无 其他差别从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 16直线 y3x2 与 x 轴的交点坐标为 17我国古代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个 全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是 125， 小正方形面积是 25，则 sin 的值为 18如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，ABC 的顶点 A，B，C 均落在格点上； （）AC 的长等于 ； （）点 P 落在格点上，M 是边 BC 上任意一点，点 B 关于直线 AM 的对称点为 B，当
5、PB最短时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点 B，并简要说明点 B的位 置是如何找到的（不要求证明） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 ； （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （）原不等式组的解集为 20 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况， 随机调查了本校部分八年级学生在第一 学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图和图，请根据图中提 供的信息，回答下列问题： （）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图中的 m 的值为
6、 ； （）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （）若该校八年级学生有 200 人，估计参加社会实践活动时间大于 7 天的学生人数 21已知 PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，APB80，C 为O 上点 （）如图，求ACB 的大小； （）如图，AD 为O 的直径，若 ABBC，求DAC 的大小 22如图，航拍无人机在 C 处测得正前方一栋建筑物顶部 A 处的仰角为 45，测得底部 B 的俯角为 31已知该建筑物的高度 AB 为 32m，根据测得的数据，计算此时航拍无人 机距地面的高度 CD（结果保留整数）参考数据：tan310.60 23甲、乙两家商场平时以同样的价格出售
7、相同的商品“五一”节期间两家商场都让利酬 宾在甲商场按累计购物金额的 80%收费：在乙商场累计购物金额超过 200 元后，超出 200 元的部分按 70%收费设小红在同一商场累计购物金额为 x 元，其中 x200 （）根据题意，填写下表（单位：元）： 累计购物金额 500 700 900 在甲商场实际花费 560 在乙商场实际花费 550 （）设小红在甲商场实际花费 y1元，在乙商场实际花费 y2元，分别求 y1，y2关于 x 的 函数解析式； （）“五一”节期间小红如何选择这两家商场去购物更省钱？ 24将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 O（0，0），点 A（8，0），点
8、C （0，6）P 是边 OC 上的一点（点 P 不与点 O，C 重合），沿着 AP 折叠该纸片，得 点 O 的对应点 O （）如图，当点 O落在边 BC 上时，求点 O的坐标； （）若点 O落在边 BC 的上方，OP，OA 与分别与边 BC 交于点 D，E 如图，当OAP30时，求点 D 的坐标； 当 CDOD 时，求点 D 的坐标（直接写出结果即可） 25已知抛物线 yax22x+c（a，c 为常数，a0）与直线 ykx+b 都经过 A（0，3）， B（3，0）两点，P 是该抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 Q （）求此抛物线和直线 AB 的解析式； （）当点
9、 P 在直线 AB 下方时，求 PQ+BQ 取得最大值时点 P 的坐标； （） 设该抛物线的顶点为 C， 直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E， 当以点 P， Q， C， E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，有一项 是符合题目要求的） 1计算（2）6 的结果等于（ ） A12 B12 C4 D4 【分析】根据有理数乘法法则计算即可 解：（2）6（26）12 故选：A 2sin60的值等于（ ） A B C D1 【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可 解：根据特殊角的三角函
10、数值可知：sin60 故选：C 3下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可 解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C 4北京大兴国际机场主航站楼和配套服务楼、停车楼总建筑规模约 1400000m3将 1400000 用科学记数法表示应为（ ） A0.14108 B1.4107 C1.4106 D14105 【分析】科学记数法的表示
11、形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：14000001.4106 故选：C 5右图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图 解：从正面看，共有 3 列，每列的小正方形的个数从左到右依次为 1、2、1 故选：B 6估计的值应在（ ） A5 和 6 之间 B4 和 5 之间 C3 和 4 之间 D2 和 3 之间 【分析】直接利用
12、估算无理数的方法分析得出答案 解：45， 则的值应在 4 和 5 之间 故选：B 7计算的结果是（ ） A2 B2a2 C1 D 【分析】根据同分母的分式相加减的法则求出即可 解： 2， 故选：A 8方程 x2+x120 的两个根为（ ） Ax12，x26 Bx16，x22 Cx13，x24 Dx14，x23 【分析】将 x2+x12 分解因式成（x+4） （x3），解 x+40 或 x30 即可得出结论 解：x2+x12（x+4）（x3）0， 则 x+40，或 x30， 解得：x14，x23 故选：D 9若点 A（3，y1），B（2，y2），C（1，y3）都在反比例函数 y的图象上，则 y1
13、， y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy3y2y1 【分析】 分别计算出自变量为3、 2 和 1 对应的函数值， 然后比较函数值的大小即可 解：当 x3 时，y11；当 x2 时，y2 ；当 x1 时，y3 3， 所以 y3y1y2 故选：B 10 如图， 在ABC 中， BAC90， ABAC6， 点 D 为ABC 内一点， BAD15， AD3，连接 BD，将ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应 点为点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，则 AF 的长为（ ） A B C3 D 【分析】过点 A 作 A
14、GDE 于点 G，由旋转的性质推出AEDADG45，AFD 60，利用锐角三角函数分别求出 AG，GF，AF 的长 解：如图，过点 A 作 AGDE 于 G， 将ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合， ADAE3，DAE90，BADCAE15 ADEAED45，DEAD3， AGDE， AGDGGE， AFGCAE+AED60， AGGF，AF2GF， GF，AF2GF， 故选：B 11如图，在四边形 ABCD 中，AD90，AB5，AD4，CD3，点 P 是边 AD 上的动点，则PBC 周长的最小值为（ ） A8 B C12 D 【分析】作点 C 关于 AD 的对称点
15、 E，连接 EB 交 AD 于点 P，连接 CP，则 EP CP， EDCD， 此时PBC 周长最小为： PC+PB+BCPE+PB+BCEB+BC， 作 BFDC 的延长线于点 F，在 RtBCF 和 RtBFE 中，根据勾股定理即可得PBC 周长的最小值 解：作点 C 关于 AD 的对称点 E，连接 EB 交 AD 于点 P， 连接 CP，则 EPCP，EDCD， 此时PBC 周长最小为： PC+PB+BCPE+PB+BCEB+BC， 作 BFDC 的延长线于点 F， AADC90， 四边形 ABFD 是矩形， BFAD4，DFAB5， CFDFCD532， EFDF+ED5+38， 在
16、RtBCF 和 RtBFE 中，根据勾股定理，得 BC 2， BE 4， BC+BE6 所以PBC 周长的最小值为 6 故选：D 12对于一个函数：当自变量 x 取 a 时，其函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动 点若二次函数 yx2+2x+c（c 为常数）有两个不相等且都小于 1 的不动点，则 c 的取值 范围是（ ） Ac3 B3c2 C2c Dc 【分析】由函数的不动点概念得出 x1、x2是方程 x2+2x+cx 的两个实数根，由 x11x2 知0 且 x1 时 y0，即可求解 解：由题意知二次函数 yx2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2是方程 x2+2x+cx
17、 的两个 不相等实数根，且 x1、x2都小于 1， 整理，得：x2+x+c0， 由 x2+x+c0 有两个不相等的实数根知：0，即 14c0， 令 yx2+x+c，画出该二次函数的草图如下： 而 x1、x2（设 x2在 x1的右侧）都小于 1，即当 x1 时，yx2+x+c2+c0， 联立并解得：2c； 故选：C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13x2 x3的计算结果是 x5 【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案 解：x2 x3x5， 故答案为：x5 14计算（）（）的结果等于 4 【分析】利用平方差公式计算 解：原式73 4 故答案为 4 15不透明袋子中装
18、有 9 个球，其中有 2 个红球、4 个绿球和 3 个蓝球这些球除颜色外无 其他差别从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得 解： 从袋子中随机取出 1 个球， 共有 9 种等可能结果， 其中摸到的是红球的有 2 种结果， 所以从袋子中随机取出 1 个球，它是红球的概率为， 故答案为： 16直线 y3x2 与 x 轴的交点坐标为 （，0） 【分析】交点既在 x 轴上，又在直线直线 y3x2 上，而在 x 轴上的点其纵坐标为 0， 因此令 y0，代入关系式求出 x 即可 解：当 y0 时，即 3x20，解得：x； 直线 y3x2 与 x 轴的交点坐
19、标为（，0） 故答案为：（，0） 17我国古代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个 全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是 125， 小正方形面积是 25，则 sin 的值为 【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为 5，小正方形的边长为 5，再 根据直角三角形的边角关系列式即可求解 解：大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25， 大正方形的边长为 5，小正方形的边长为 5， 设直角三角形中 所对的直角边为 x，则 x2+（x+5）2（5）2， 解得 x15，x210（舍去）， sin 故答案为： 18如图，在每个小正方
20、形的边长为 1 的网格中，ABC 的顶点 A，B，C 均落在格点上； （）AC 的长等于 ； （）点 P 落在格点上，M 是边 BC 上任意一点，点 B 关于直线 AM 的对称点为 B，当 PB最短时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点 B，并简要说明点 B的位 置是如何找到的（不要求证明） 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题 （2）连接 AP，想办法在 AP 上取一点 B，使得 AB2 时，PB的值最小方法： 取格点 G，H，连接 GH 交 AP 于点 B，由平行线分线段成比例定理可知 AB2，点 B即为所求 解：（1）AC 故答案为 （2）如图，点 B即为所求 三、解答题（本
21、大题共 7 小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 x2 ； （）解不等式，得 x2 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （）原不等式组的解集为 2x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 解：（）解不等式，得 x2； （）解不等式，得 x2； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （）原不等式组的解集为2x2， 故答案为：x2，x2，2x2 20 某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况， 随机调查了本校部分八年级学
22、生在第一 学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图和图，请根据图中提 供的信息，回答下列问题： （）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 ，图中的 m 的值为 20 ； （）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （）若该校八年级学生有 200 人，估计参加社会实践活动时间大于 7 天的学生人数 【分析】（）根据 5 天的人数和所占的百分比求出抽样调查总人数，用 6 天的人数除 以总人数即可求出 m 的值； （）根据众数、中位数和平均数的计算公式分别进行解答即可； （）用八年级的人数乘以参加社会实践活动时间大于 7 天的学生人数所占的百分比即 可 解：（）本次接受
23、随机抽样调查的学生人数为：1435%40（人）， m%100%20%，则 m20； 故答案为：40，20； （）在这组样本数据中，5 出现了 14 次，出现的次数最多， 则众数是 5 天； 将这组数据从小到达排列，其中处于中间的两个数都是 6，有6， 则这组样本数据的中位数是 6 天； 这组数据的平均数是：6.4（天）； （）根据题意得： 200（10%+10%）40（人）， 答：参加社会实践活动时间大于 7 天的学生人数有 40 人 21已知 PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，APB80，C 为O 上点 （）如图，求ACB 的大小； （）如图，AD 为O 的直径，若 ABBC，求DAC
24、 的大小 【分析】（）连接 OA，OB，根据 PA，PB 与O 的相切于点 A，B，和四边形内角和 即可求出ACB 的大小； （）连接 BD，根据 AD 为O 的直径，可得ABD90，再根据同弧所对圆周角相 等即可求出DAC 的大小 解：（）如图，连接 OA，OB， PA，PB 与O 的相切于点 A，B， PAOPBO90， APB80， AOB360909080100， ACBAOB50； （）如图，连接 BD， AD 为O 的直径， ABD90， 由（1）知：ACB50， ADBACB50， BAD905040， ABBC， BACBCA50， DACBACBAD10 22如图，航拍无人机
25、在 C 处测得正前方一栋建筑物顶部 A 处的仰角为 45，测得底部 B 的俯角为 31已知该建筑物的高度 AB 为 32m，根据测得的数据，计算此时航拍无人 机距地面的高度 CD（结果保留整数）参考数据：tan310.60 【分析】过点 C 作 CEAB 于点 E，根据题意可得四边形 DBEC 是矩形，再根据锐角三 角函数即可求出航拍无人机距地面的高度 CD 解：如图，过点 C 作 CEAB 于点 E， 根据题意可知： CDBD，ABBD， 所以可得四边形 DBEC 是矩形， CDBE，CEBD， 在 RtBCD 中，ACE45， AECE， CEAEABBEABCD32CD， 在 RtBEC
26、 中，BCE31， tan31， 即 0.60， 解得 CD12（米） 答：此时航拍无人机距地面的高度 CD 约为 12 米 23甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品“五一”节期间两家商场都让利酬 宾在甲商场按累计购物金额的 80%收费：在乙商场累计购物金额超过 200 元后，超出 200 元的部分按 70%收费设小红在同一商场累计购物金额为 x 元，其中 x200 （）根据题意，填写下表（单位：元）： 累计购物金额 500 700 900 在甲商场实际花费 400 560 720 在乙商场实际花费 410 550 690 （）设小红在甲商场实际花费 y1元，在乙商场实际花费 y2元，
27、分别求 y1，y2关于 x 的 函数解析式； （）“五一”节期间小红如何选择这两家商场去购物更省钱？ 【分析】（）根据两种购买方案即可求解； （）根据题意即可得出 y1，y2关于 x 的函数解析式； （）利用（）所得代数式，分两种情况列不等式求解 解：（）在甲商场购买 x 元的金额时，实际花费是 0.8x（元）； 50080%400（元），90080%720（元）， 在乙商场购买 x（x200）元的金额时，实际花费是 200+（x200）70%0.7x+60 200+（500200）70%410（元），200+（900200）70%690（元）， 故答案是：400；720；410；690； （
28、）根据题意得，y10.8x， y2200+（x200）0.70.7x+60； （）设在甲、乙两个商场实际花费的差为 y 元，则 yy1y20.1x60， 当 y0 时，即 0.1x600，得 x600， 当 x600 时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同 0.10， y 随 x 的增大而增大， 当 200x600 时，有 y0，在甲商场购物更省钱 当 x600 时，有 y0，在乙商场购物更省钱 24将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 O（0，0），点 A（8，0），点 C （0，6）P 是边 OC 上的一点（点 P 不与点 O，C 重合），沿着 AP 折叠该纸片，得 点 O
29、的对应点 O （）如图，当点 O落在边 BC 上时，求点 O的坐标； （）若点 O落在边 BC 的上方，OP，OA 与分别与边 BC 交于点 D，E 如图，当OAP30时，求点 D 的坐标； 当 CDOD 时，求点 D 的坐标（直接写出结果即可） 【分析】 （） 由矩形的性质及已知点的坐标可得 AB、 OC、 OA、 CB 的长及B 的度数， 再由折叠的性质及勾股定理可得 OA 和 BO的值， 求得 CO的值即点 O的横坐标， 其纵坐 标为 6，则点 O的坐标可得 （）根据 OPOA tan30、CP6OP 及 CDCP tan60，求得 CD 的长，则 可知点 D 的横坐标，其纵坐标为 6，
30、则点 D 的坐标可得； 连接 AD，设 CDx，则 BDBCCD8x，ODCDx，在 RtADO中和在 Rt ABD 中，分别由勾股定理得出 AD2，从而得出关于 x 的方程，解得 x 的值，则问题可 解 解：（）点 A（8，0），点 C（0，6），OABC 为矩形， ABOC6，OACB8，B90 根据题意，由折叠可知AOPAOP， OAOA8 在 RtAOB 中，BO2 COBCBO82 点 O的坐标为（82，6） （）OAP30， OPA60， OPAOPA， CPD180OPAOPA60 OA8， OPOA tan30 CP6OP6 CDCP tan6068 点 D 的坐标为（68，6
31、） 连接 AD，如图： 设 CDx，则 BDBCCD8x，ODCDx， 根据折叠可知 AOAO8，POAPOA90， 在 RtADO中，AD2AO2+DO282+x2x2+64； 在 RtABD 中，AD2BD2+AB2（8x）2+62x216x+100； x2+64x216x+100， 解得：x， CD， D（，6） 25已知抛物线 yax22x+c（a，c 为常数，a0）与直线 ykx+b 都经过 A（0，3）， B（3，0）两点，P 是该抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 Q （）求此抛物线和直线 AB 的解析式； （）当点 P 在直线 AB 下方时，求 P
32、Q+BQ 取得最大值时点 P 的坐标； （） 设该抛物线的顶点为 C， 直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E， 当以点 P， Q， C， E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标 【分析】（）根据抛物线 yax22x+c（a，c 为常数，a0）与直线 ykx+b 都经过 A（0，3），B（3，0）两点，可以得到抛物线和一次函数的解析式； （）根据点 P 在直线 AB 下方，可以设出点 P 的坐标，得到点 P 横坐标的取值范围， 然后即可得到 PQ+BQ 取得最大值时点 P 的坐标； （）根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得满足条件的点 P 的坐标，本题得以解 决 解：（）抛物线
33、 yax22x+c（a，c 为常数，a0）过 A（0，3），B（3，0）两 点， ，得， 即抛物线的解析式为 yx22x3； 直线 ykx+b 经过 A（0，3），B（3，0）两点， ，得， 即直线 AB 的解析式为 yx3； （）设点 P（m，m22m3），则点 Q（m，m3）， 点 P 在直线 AB 下方， 0m3， PQ（m3）（m22m3）m2+3m， 设直线 PQ 与 x 轴交于点 H，则 H（m，0）， OAOB3，AOB90， OBA45， BQBH（3m）， PQ+BQ（m2+3m）+ （3m）（m）2+， 当 m时，PQ+BQ 取得最大值，此时点 P 的坐标为（，）， 即当
34、PQ+BQ 取得最大值时点 P 的坐标是（ ，）； （）yx22x3（x1）24， 点 C 的坐标为（1，4）， CEy 轴， 点 E 的横坐标为 1， 将 x1 代入直线 AB 的解析式 yx3，得 y2， 点 E（1，2）， CE（2）（4）2， 当点 P 在直线 AB 下方时，四边形 ECPQ 是平行四边形，则 CEPQ， m2+3m2， 解得，m12，m21（舍去）， 点 P 的坐标为（2，3）； 当点 P 在直线 AB 上方时，四边形 ECQP 是平行四边形，则 CEPQ， m23m2， 解得，m3，m4 ， 点 P 的坐标为（，），（，）； 综上所示，点 P 的坐标为（2，3）或（，）或（，）
