1、2018-2020 年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（8）三角形）三角形 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1 （2020南开区一模）如图，矩形 ABCD 中，AB3，AD1，点 A，B 在数轴上，若以点 A 为圆心，对 角线 AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点 M，则点 M 表示的数为（ ） A10 1 B10 C5 1 D5 2 （2020北辰区一模）如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC2，点 P 是 AB 的中点，点 D，E 是 AC，BC 边上的动点，且 ADCE，连接 DE有下列结论： DPE90； 四边形 PDCE
2、 面积为 1； 点 C 到 DE 距离的最大值为 2 2 其中，正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 3 （2019河北区二模）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值” ，记 作 k，若 k= 1 2，则该等腰三角形的顶角为（ ） A30 B36 C45 D60 4 （2019河西区模拟）如图，RtABC 中，C90，BC10，A30，则 AC 的长度为（ ） A8 B12 C102 D103 5（2019滨海新区模拟） 如图， AD 平分BAC， ABAC， 连接 BC， 交 AD 于点 E， 下列说法正确的有 （ ） BACACB；S四边形ABDCADCE
3、；AB2+CD2AC2+BD2；ABBDACCD A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 （2018天津一模）如图，将两个大小、形状完全相同的ABC 和ABC拼在一起，其中点 A与 点 A 重合，点 C落在边 AB 上，连接 BC若ACBACB90，ACBC4，则 BC 的 长为（ ） A43 B8 C42 D30 7 （2018津南区一模）如图，ABC 纸片中，A56，C88沿过点 B 的直线折叠这个三角形， 使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD、则EDB 的度数为（ ） A76 B74 C72 D70 8 （2018东丽区一模）如图，点 D 在ABC 边 BC 的延长线
4、上，BABC，DBDA，若BACm，ADB n，则 m 与 n 之间的关系是（ ） A3m+n180 B4mn180 C3mn180 D2m+n180 9 （2018河西区一模）等边三角形的边心距为3，则该等边三角形的边长是（ ） A33 B6 C23 D2 10 （2018东丽区二模）如图，在ABC 中，ABAC，BDCF，BECD，若A40，则EDF 的度 数为（ ） A75 B70 C65 D60 11 （2020和平区三模）如图，在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，D 为边 BC 上一点，且 BD= 1 2CD点 E， F 分别在边 AB，AC 上，且EDF90，M 为边 EF 的
5、中点，连接 CM 交 DF 于点 N若 DFAB，则 CM 的长为（ ） A2 3 3 B3 4 3 C5 6 3 D3 二填空题（共二填空题（共 15 小题）小题） 12 （2020红桥区二模）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，点 D，E 分别是边 CA， CB 的中点，CAB 的平分线与 DE 交于点 F，则 CF 的长为 13 （2019北辰区二模）如图，在等边ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，CD= 1 2BC，E，F 分别是 BC， AD 的中点，若 AB2，则线段 EF 的长是 14 （2019滨海新区一模）如图，RtABC 中，ACB90，ACCB= 4
6、2，BADADE60， AD5，CE 平分ACB，DE 与 CE 相交于点 E，则 DE 的长等于 15 （2019滨海新区模拟）已知等边三角形 ABC 的边长为 12，D 是 AB 上的动点，过点 D 作 DEAC 于点 E，过点 E 作 EFBC，过点 F 作 FGAB 于点 G，当点 G 与点 D 重合时，AD 的长是 16 （2019滨海新区模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为 24cm、底面周长为 36cm，在杯内离杯底 8cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 8cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 cm 17 （2019红桥区模拟）如图，在
7、 RtABC 中，ABAC，D、E 是斜边 AC 上两点，且DAE45，若 BE4，CD3，则 AB 的长为 18 （2018红桥区模拟）如图，DE 是ABC 的中位线，F 是 DE 的中点，CF 的延长线交 AB 于 G，AB6， 则 AG 19 （2020滨海新区一模）如图，ABC 中，ABAC2，BAC90，CD 平分ACB，BECD，垂 足 E 在 CD 的延长线上，F 为 AB 的中点，则 EF 的长等于 20 （2020红桥区一模）我国古代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是 由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是 125
8、，小正方形面 积是 25，则 sin 的值为 21 （2020河北区模拟）如图，在 RtABC 和 RtBCD 中，BACBDC90，BC4，ABAC， CBD30，M，N 分别在 BD，CD 上，MAN45，则DMN 的周长为 22 （2019和平区模拟）如图，在ABC 中，BABC4，A30，D 是 AC 上一动点， （）AC 的长 ； （）BD+ 1 2DC 的最小值是 23 （2019西青区二模）如图，ABC 中，AC、BC 上的中线交于点 O，且 BEAD若 BD10，BO8， 则 AO 的长为 24 （2019南开区三模）如图，在ABC 中，ABAC，D，E 是ABC 内两点，AD
9、 平分BAC，EBC E60，若 BE9cm，DE3cm，则 BC cm 25 （2019河东区一模）如图，ABC 是等边三角形P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点 E， 线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF2，则 PE 的长为 26 （2018南开区三模） 在ABC 和ABC中， 已知AA， ACAC， 请你添加一个条件， 使ABCABC，你添加的条件是 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 27 （2019红桥区模拟）在ABC 中，C90，a、b、c 分别是A、B、C 的对边 （1）若 tanA= 3 4，b8，求 a 和 c； （2）若
10、 tanA2，c25，求 b 和 sinB 28 （2018河北区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（3，0） ，点 B（0，33） ，点 O 为原 点动点 C、D 分别在直线 AB、OB 上，将BCD 沿着 CD 折叠，得BCD （）如图 1，若 CDAB，点 B恰好落在点 A 处，求此时点 D 的坐标； （）如图 2，若 BDAC，点 B恰好落在 y 轴上，求此时点 C 的坐标； （）若点 C 的横坐标为 2，点 B落在 x 轴上，求点 B的坐标（直接写出结果即可） 29 （2020河东区一模）平面直角坐标系中，OAB 是等边三角形，点 O（0，0） ，点 A （8，0）
11、 ，点 P 是 OB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合） 直线 l 是经过点 P 的一条直线，把OAB 沿直线 l 折叠，点 O 的 对应点是 O （I）如图，当 OP5 时，若直线 lAB求点 O的坐标； （II）如图，当点 P 在 OB 边上运动时，若直线 lAB，求 ABO的面积； （III）当 OP6 时，在直线 l 变化过程中，求ABO面积的最大值（直接写出结果即可） 30 （2020和平区二模）在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ABC90，CAB60，点 O （0，0） ，点 A（1，0） ，点 B（1，0） ，点 C 在第二象限，点 P（2，3） （I）如图，求 C
12、点坐标及PCB 的大小； （II）将ABC 绕 C 点逆时针旋转得到MNC，点 A，B 的对应点分别为点 M，N，S 为PMN 的面积 如图，当点 N 落在边 CA 上时，求 S 的值； 求 S 的取值范围（直接写出结果即可） 31 （2019红桥区二模） 将一个直角三角形纸片 ABO 放置在平面直角坐标系中， 点 A （3， 0） ， 点 B （0， 4） ， 点 O（0，0） P 是边 AB 上的一点（点 P 不与点 A，B 重合） ，沿着 OP 折叠该纸片，得点 B 的对应点 B （）如图，当BOP30时，求点 B的坐标； （）如图，当点 B落在 x 轴上时，求点 P 的坐标； （）当
13、PB与坐标轴平行时，求点 B的坐标（直接写出结果即可） 32 （2020和平区三模）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（3，0） ，点 B（0，3） 以 AB 为一边 作等边三角形 ABC，点 C 在第二象限 （）如图，求点 C 的坐标； （）将AOB 绕点 B 顺时针旋转得AOB，点 A，O 旋转后的对应点为 A，O 如图，当旋转角为 30时，AB，AO与 AC 分别交于点 E，F，AO与 AB 交于点 G，求 AOB 与ABC 公共部分面积 S 的值； 若 P 为线段 CO的中点，求 AP 长的取值范围（直接写出结果即可） 33 （2020红桥区二模）在平面直角坐标系中，点 A（2，0
14、） ，点 B（2，2） 将OAB 绕点 B 顺时针旋转， 得OAB，点 A，O 旋转后的对应点为 A，O记旋转角为 （）如图，当 45时，求点 A的坐标； （）如图，当 60时，求点 A 的坐标； （） 连接 OA， 设线段 OA的中点为 M， 连接 OM， 求线段 OM 的长的最小值 （直接写出结果即可） 34 （2019红桥区一模）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（4，0） ，点 B（0，3） ，把ABO 绕点 A 顺时针旋转，得ABO，点 B，O 旋转后的对应点为 B，O记旋转角为 （）如图，若 90，求 BB的长； （）如图，若 120，求点 O的坐标； （）记 K 为 AB 的
15、中点，S 为KOB的面积，求 S 的取值范围（直接写出结果即可） 35 （2018红桥区二模）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（8，0） 、点 B（0，4） ，点 C、D 分别是边 OA、AB 的中点将ACD 绕点 A 顺时针方向旋转，得ACD，记旋转角为 （I）如图，连接 BD，当 BDOA 时，求点 D的坐标； （II）如图，当 60时，求点 C的坐标； （III）当点 B，D，C共线时，求点 C的坐标（直接写出结果即可） 36 （2018滨海新区一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点 A（0，2） ，B（3，0） ，C（2，0） （）如图，AOB 绕点 O 逆时针旋转 30，得到A
16、1OB1； （i）直接写出点 B1的坐标； （ii）连接 CA1交 OA 于点 D，求点 D 的坐标； （）如图，点 E （0，3） ，AOB 绕点 O 顺时针旋转得到A2OB2，A2恰好落在 EC 上， 求 EB2的长 37 （2018河西区模拟）在平面直角坐标系中，点 A（0，2） ，在 x 轴上任取一点 M，连接 AM，作 AM 的 垂直平分线 l1过点 M 作 x 轴的垂线 l2，l1与 l2交于点 P设 P 点的坐标为（x，y） （）当 M 的坐标取（3，0）时，点 P 的坐标为 ； （）求 x，y 满足的关系式； （）是否存在点 M，使得MPA 恰为等边三角形？若存在，求点 M 的
17、坐标；若不存在，说明理由 2018-2020 年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（8）三角形）三角形 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1 【解答】解：AC=2+ 2=12+ 32= 10， 则 AM= 10， A 点表示1， M 点表示10 1， 故选：A 2 【解答】解： （1）ACB90，ACCB4，P 是 AB 边上的中点， CPAPBP，CPAB， ABACPBCP45 在ADP 和CEP 中， = = = ， ADPCEP PDPE，APDCPE， DPEAPC90， 故（1）正确； （2）当
18、 PDAC 时， DCECDPDPE90， 四边形 CEDP 是矩形 PDPE， 矩形 CEDP 是正方形 ADPCEP， SADPSCEP， S四边形CEDPSAPC= 1 2SABC= 1 2 1 2 221 故（2）正确； （3）如图， 连接 CP 交 DE 于 F，由（1）知，DPE90， ACB90， 点 C，D，P，E 是以 DE 为直径的圆上， 当 DECP 时，点 C 到线段 DE 的距离最大，为 1 2CP， 在 RtABC 中，CP= 1 2AB= 1 2 22 = 2 即 1 2CP= 1 2 2 = 2 2 故（3）正确 综上所述： （1） （2） （3）正确 故选：D
19、 3 【解答】解： ABC 中，ABAC， BC， 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值” ，记作 k，若 k= 1 2， A：B1：2， 即 5A180， A36， 故选：B 4 【解答】解：C90，A30， AB2BC21020， 由勾股定理得：AC=2 2=202 102=103， 故选：D 5 【解答】解：AD 平分BAC，ABAC， ADBC，CEBE， S四边形ABDCSABD+SACD= 1 2ADBE+ 1 2ADCE= 1 2AD（BE+CE）ADCE，故正确； AD 平分BAC， BADCAD， 在ABD 与ACD 中， = = = ， ABDACD
20、（SAS） ， BDCD， AB2+CD2AC2+BD2；ABBDACCD，故正确； ABC 不一定是等边三角形，BACACB 不一定成立， 故不一定正确 所以正确的有共 3 个 故选：C 6 【解答】解：ACBACB90，ACBC4， AB=2+ 2=42+ 42=42，CAB45， ABC 和ABC大小、形状完全相同， CABCAB45，ABAB42， CAB90， BC=2+ 2=42+ (42)2=43， 故选：A 7 【解答】解：A56，C88， ABC180568836， 沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为 BD， CBDDBE18，C
21、DEB88， EDB180188874 故选：B 8 【解答】解：BABC， BACBCAm，B1802m， DBDA， DABB1802m， DAC1802m1803m， ACBCAD+D， m1803m+n， 4mn180， 故选：B 9 【解答】解：如图所示， ABC 是等边三角形，边心距 OD= 3， OBD30， BD= 30 = 3 3 3 =3 ODBC， BC2BD6 故选：B 10 【解答】解：ABAC，A40 BC70， BED 和CDF 中， = = = BEDCDF（SAS） BDECFD，BEDCDF EDF180CDFBDE180（CDF+BDE） B70 BDE+
22、BED110即CDF+BDE110 EDF18011070 故选：B 11 【解答】解：等边三角形边长为 2，BD= 1 2CD， BD= 2 3，CD= 4 3， 等边三角形 ABC 中，DFAB， FDCB60， EDF90， BDE30， DEBE， BE= 1 2BD= 1 3，DE= 3 3 ， 如图，连接 DM，则 RtDEF 中，DM= 1 2EFFM， FDCFCD60， CDF 是等边三角形， CDCF= 4 3， CM 垂直平分 DF， DCN30，DNFN， RtCDN 中，DN= 2 3，CN= 23 3 ， M 为 EF 的中点， MN= 1 2DE= 3 6 ， C
23、MCN+MN= 23 3 + 3 6 = 53 6 ， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 15 小题）小题） 12 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4， AB5， 点 D，E 分别是边 CA，CB 的中点， DEAB，ADCD， AFDFAG， AF 是CAB 的平分线， CAFGAF， DAFAFD， ADDF， ADDFCD， AFC90， 延长 CF 交 AB 于 G， AFCAFG，AFAF， ACFAGF（ASA） ， AGAC3，CFGF， BG2， 过 G 作 GHBC 于 H， ACGH， BGHBAC， = = ， 2 5 = 3 = 4 ， GH=
24、 6 5，BH= 8 5， CH4 8 5 = 12 5 ， CG=2+ 2=(6 5) 2+ (12 5 )2= 65 5 ， CF= 1 2CG= 35 5 ， 故答案为：35 5 13 【解答】解：连接 AE ABC 是等边三角形，BEECCD1， AEBC，B60， AEABsin60= 3， DE2， AD=2+ 2=22+ (3)2= 7， AED90，AFDF， EF= 1 2AD= 7 2 ， 故答案为 7 2 14 【解答】解：延长 DE 交 AB 于 F，延长 CE 交 AB 于 G，如图所示： BADADE60， AFDF， ADF 是等边三角形， AFDFAD5，AFD
25、60， ACB90，ACBC42，CE 平分ACB， AB= 2AC8，CGAB，CG= 1 2ABAG4， GFAFAG541，GEF30， EF2GF2， DEDFEF523； 故答案为：3 15 【解答】解：如图，设 BDx ABC 是等边三角形， ABC60， DEAC 于点 E，EFBC 于点 F，FGAB， BDFDEAEFC90， BF2x， CF122x， CE2CF244x， AE12CE4x12， AD2AE8x24， AD+BDAB， 8x24+x12， x4， AD8x2432248 故答案为 8 16 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点
26、A， 连接 AC，则 AC 即为最短距离， AC2AD2+CD2 182+242 900， AC30（cm） 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是 30cm 17 【解答】 解：如图过 B 作 BC 的垂线，垂足为 B，并截取 BFCD，连接 FE，AF FBE90，FB3，BE4 在 RtFBE 中 FE2FB2+BE232+4252 FE5 又ABAC，BAC90 RtABC 是等腰直角三角形 ABCACB45 FBAFBCABC904545 在AFB 与ADC 中 = = = AFBADC（SAS） 23，AFAD 又1+EAD+290 1+245 FAE1+345 FAEDAE 在AFE
27、 与ADE 中 = = = AFEADE（SAS） FEDE5 BCBE+ED+DC4+5+312 又在 RtABC 中 ABcosABCBC 即 ABcos4512= 2 2 1262 18 【解答】解：过 E 作 EMAB 与 GC 交于点 M， EMFDGF， EMGD， DE 是中位线， CE= 1 2AC， 又EMAG， CMECGA， EM：AGCE：AC1：2， 又EMGD， AG：GD2：1 AB6， AD3， AG= 2 2+1 3 = 2， 故答案为：2 19 【解答】解：延长 BE、CA 交于点 G， ABAC2，BAC90， 由勾股定理可知：BC22， CD 平分ACB
28、， BCEACE， BECD， BECCEG BCG 是等腰三角形， BEGE，CGCB22， AC2， AGCGAC22 2， F 是 AB 的中点， BEGE， EF= 1 2AG= 1 2（22 2）= 2 1， 故答案为：2 1 20 【解答】解：大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25， 大正方形的边长为 55，小正方形的边长为 5， 设直角三角形中 所对的直角边为 x，则 x2+（x+5）2（55）2， 解得 x15，x210（舍去） ， sin= 5 55 = 5 5 故答案为： 5 5 21 【解答】解：将ACN 绕点 A 逆时针旋转，得到ABE，如图： 由旋转得：NAE
29、90，ANAE，ABEACD，EABCAN， BACD90， ABD+ACD3609090180， ABD+ABE180， E，B，M 三点共线， MAN45，BAC90， EAMEAB+BAMCAN+BAMBACMAN904545， EAMMAN， 在AEM 和ANM 中， = = = ， AEMANM（SAS） ， MNME， MNCN+BM， 在 RtBCD 中，BDC90，CBD30，BC4， CD= 1 2BC2，BD= 2 2=42 22=23， DMN 的周长为 DM+DN+MNDM+DN+BM+CNBD+DC23 +2， 故答案为：23 +2 22 【解答】解： （）如图，过
30、B 作 BEAC 于 E， BABC4， AECE， A30， AE= 3 2 AB23， AC2AE43； （）如图，作 BC 的垂直平分线交 AC 于 D， 则 BDCD，此时 BD+ 1 2DC 的值最小， BFCF2， BDCD= 43 3 ， BD+ 1 2DC 的最小值23， 故答案为：43，23 23 【解答】解：BEAD，BD10，BO8， OD=102 82=6， AC、BC 上的中线交于点 O， AO2OD12 故答案为：12 24 【解答】解；过点 E 作 EFBC，垂足为 F，延长 AD 到 H，交 BC 于点 H，过点 D 作 DGEF，垂足 为 G EFBC，EBF
31、60， BEF30， BF= 1 2 = 1 2 9 = 4.5， BED60，BEF30， DEG30 又DGEF， GD= 1 2 = 1 2 3 = 1.5， ABAC，AD 平分BAC， AHBC，且 BHCH AHBC，EFBC，DGEF， 四边形 DGFH 是矩形 FHGD1.5 BC2BH2（4.5+1.5）12 解法二：延长 ED 交 BC 于 M，证明BEM 是等边三角形，推出 BMBE9cm，证明 HM3cm 可得结 论 故答案为：12 25 【解答】解：ABC 是等边三角形P 是ABC 的平分线 BD 上一点， FBQEBP30， 在直角BFQ 中，BQBFcosFBQ2
32、 3 2 = 3， 又QF 是 BP 的垂直平分线， BP2BQ23 直角BPE 中，EBP30， PE= 1 2BP= 3 故答案是：3 26 【解答】解：添加的条件是 ABAB， 理由是：在ABC 和ABC中 = = = ， ABCABC（SAS） ， 故答案为：ABAB 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 27 【解答】解： （1）由 tanA= 3 4，b8 得到： = 8 = 3 4， a6 根据勾股定理得到：c=2+ 2=82+ 62=10 （2）由 tanA= =2 得到：a2b 由勾股定理得到：c2a2+b2，即（25）25b2，b2 所以 sinB= = 2 25
33、= 5 5 28 【解答】解： （）点 A（3，0） ，点 B（0，33） ， AO3，BO33 AB6 折叠 BDDA 在 RtADO 中，OA2+OD2DA2 9+OD2（33 OD）2 OD= 3 D（0，3） （）折叠 BDCCDO90 CDOA = 且 BDAC 33 = 6 6 BD123 18 OD33 （123 18）1893 tanABO= = 3 3 ABC30，即BAO60 tanABO= = 3 3 CD1263 C（1263，1893） （）如图：过点 C 作 CEAO 于 E CEAO OE2，且 AO3 AE1， CEAO，CAE60 ACE30且 CEAO AC
34、2，CE= 3 BCABAC BC624 若点 B落在原点右边， 折叠 BCBC4，CE= 3，CEOA BE=2 2 = 13 OB2+13 B（2+13，0） 若点 B落在原点左边， 折叠 BCBC4，CE= 3，CEOA BE=2 2 = 13 OB= 13 2 B（213，0） 综上所述：B（2+13，0） ， （213，0） 29 【解答】解： （）如图，记 OO与 AB 的交点为 D， 连接 OP 并延长交 y 轴于点 C， 由折叠得，CPPO，lOO， 直线 lAB， OOAB， OAB 是等边三角形， POOAOD= 1 2AOB30， POPO， POOOOP30， OOPA
35、OD， OPOA， OPy 轴， 在 RtOCP 中，COP90AOB30， CP= 1 2OP= 5 2， OC= 3CP= 53 2 ， 在 RtOCO中，OC= 3OC= 3 53 2 = 15 2 ， O（15 2 ，53 2 ） ； （）如图， 连接 OO，由折叠知，OOl，lAB， OOAB， SAOBSABO， 过点 B 作 BEOA 于 E， A（8，0） ， OA8， AOB 是等边三角形， BE= 1 2OA4， BE= 3OE43， SAOB= 1 2OABE= 1 2 8 43 =163， SAOB163； （）如图， A（8，0） ， OA8， AOB 是等边三角形，
36、 ABOA8， 过点 O作 OFAB 交 AB 的延长线于 F， SAOB= 1 2ABOF4OF， 当 OF 最大时，AOB 的面积最大， 由折叠知，POPO， 点 O是以点 P 为圆心，OP6 为半径的圆上的点， OF 过圆心点 P 时，OF 最大， 即点 O在点 O位置时，AOB 的面积最大， 过点 O作 OHAB 于 H， 在 RtPHB 中，PBH60，BPOBOP2， PH= 3， OF 最大OP+PH6+3， SAOB最大4OF4（6+3） 30 【解答】解： （）点 A（1，0） ，点 B（1，0） ， OA1，OB1， AB2， 在 RtABC 中，CAB60， tanCAB
37、= ， BCABtan602 3 =23， C（1，23） 如图 1，过点 P 作 PECB，垂足为点 E，过点 P 作 PFx 轴，垂足为点 F， PFBPEB90， ABCFBC90， 四边形 PFBE 为矩形， P（2，3） ， OF2，PF= 3， FBOFOB1， BEPF= 3，PEFB1， CECBBE23 3 = 3 在 RtCPE 中，tanPCE= = 3 3 ， PCB30 （）如图 2，过点 P 作 PH直线 MN，垂足为点 H，过点 P 作 PGAC，垂足为点 G， 则四边形 PHNG 为矩形， PHGN， MNC 是由ABC 旋转得到的， CNCB23，MNAB2，
38、 ABC90，CAB60， BCA30， 由（）可知PCB30，PE1， PC2，PCGPCB+BCA60 在 RtPCG 中，CPG30， CG= 1 2PC1 PHGNCNCGCBCG23 1 S= 1 2MNPH= 1 2 2PHPH23 1 S 的取值范围为 23 2 23 +2 如图 3，当点 N 在 PC 的延长线上时，SPMN最大 此时 PNPC+CN2+23， S= 1 2 2 (23 + 2) =23 +2 如图 4，当点 N 在 CP 的延长线上时，SPMN最小 此时 PNCNCP23 2， S= 1 2 2 (23 2) =23 2 23 2 23 +2 即 S 的取值范
39、围为 23 2 23 +2 31 【解答】解： （）过点 B作 BCx 轴于点 C， BOPBOP30，AOB90， COB30， 又OBOB4， BC= 1 2OB2，OCOBcos304 3 2 =23， B（23，2） ； （）如图 2，过点 P 作 PQOA 于点 Q， BOPBOP，AOB90， POQ45， 设 OQa，则 PQOQa，AQ3a， PQBO， APQABO， = ，即 4 = 3 3 ， 解得 a= 12 7 ， 则 P（12 7 ，12 7 ） ； （）若 PBx 轴，如图 3，过点 BFx 轴于点 F，OB与 AB 交于点 E， 则AOEBABO， ABO+BA
40、O90， AOE+BAO90， 则AEO90， OA3，OB4， AB5， OE= = 12 5 ， 则 AE= 9 5， AOEBOF， = = ，即 12 5 = 3 4 = 9 5 ， 解得 OF= 16 5 ，BF= 12 5 ， B（16 5 ，12 5 ） ； 若 PBy 轴，如图 4，过点 P 作 PQy 轴于点 Q， 则BPOBOP， BOPBOP，BPOBPO， BOPBOPBPOBPO， OBOBPBPB4， PBQABO， = = ，即 4 = 4 5 = 3 ， 解得 BQ= 16 5 ，PQ= 12 5 ， 则 OQ= 4 5， B（12 5 ， 16 5 ） ； 综
41、上，点 B的坐标为（16 5 ，12 5 ）或（12 5 ， 16 5 ） 32 【解答】解： （）如图中， 点 A（3，0） ，点 B（0，3） ， OA3，OB= 3， tanBAO= = 3 3 ， BAO30， AB2OB23， ABC 是等边三角形， ACB60，ACAB23， CAO90， C（3，23） （）如图中，过点 G 作 GHBC 于 H，设 AC 交 OA于 F AOB 绕点 B 顺时针旋转 30得到ABO， ABAB23，ABAO30，ABA30， AABA30， GAGB， GHBA， AHBH= 3， 在 RtAHG 中，tanBAG= ， GH= 3tan301
42、， SABG= 1 2BAGH= 3， CAB60，ABG30， AEA90， BEABsin6023 3 2 =3， AEABEB23 3， EFAEtan3023， SAEF= 1 2AEEF= 73 2 6， SSABGSAEF6 53 2 如图中，取 BC 的中点 N，连接 PN，AN PCPO，CNNB， PN= 1 2BO= 3 2 ， ABC 是等边三角形，CNBN， ANBC， CNBN= 3，AN= 3BN3， ANPNPAAN+PN， 3 3 2 AP3+ 3 2 33 【解答】解： （）如图中，过点 A作 ACOA 于 C A（2，0） ，B（2，2） ， OAOB2，O
43、AB90， AOBABO45，OB= 2AB22， AAB 是由OAB 绕 B 旋转得到，45， ABAB2，点 A落在线段 OB 上， OAOBAB22 2， OCCA= 2 2 （22 2）22， A（22，22） （）如图中，连接 AA，过点 A作 ADOA 于 D ABAB2，ABA60， AABAAB60，AAABAB2， AAO906030， 在 RtAAD 中，AD= 1 2AA1，AD= 3 2 AA= 3， ODOAAD23， A（23，1） （） 如图中，延长 OA到 D，使得 ADAO，在 OA 的延长线上取一点 C， 使得 ACOA， 取 AB 的中点 H，AD 的中点
44、 P，连接 PH，CH，PC，BC，BD，CD，OO OBCOBD， OBODBC， BOBOBDBC， OBODBC（SAS） ， OOCD，BOOBCD， BCABOA45， OOAACD， AOCA， OAOCAD（SAS） ， OMMA，DPPA， OMPC， APPD，AHHB， PH= 1 2BD= 2， CH=2+ 2=12+ 22= 5， PCCHPH， PC 5 2， PC 的最小值为5 2， OM 的最小值为5 2 34 【解答】解： （I）如图，点 A（4，0） ，点 B（0，3） ， OA4，OB3 在 RtABO 中，由勾股定理得 AB5 根据题意ABO 绕点 A 顺
45、时针旋转，得ABO， 由旋转的性质可得：BAB90，ABAB5， BB52 （II）如图，过 O作 ODx 轴于 D，则ODA90 由旋转的性质可得：OAO120，OAOA4， 在 RtOAD 中，由OAD60，AOD30 AD= 1 2OA2 由勾股定理 OD=42 22=23， ODOA+OD4+26 点 O的坐标为（6，23） ； （III）如图所示，当点 O在 AB 上时，KBO的面积最小，最小面积 S= 1 2 = 1 2 3 （42.5）= 9 4， 当点 O在 BA 的延长线上时，KBO的面积最大，最大面积 S= 1 2 KOBO= 1 2 (4 + 2.5) 3 = 39 4
46、， 综上所述，9 4 S 39 4 35 【解答】解： （I）如图， A（8，0） ，B（0，4） ， OB4，OA8， ACOCAC4， 当 OBAC，四边形 OBCA 是平行四边形， AOB90， 四边形 OBCA 是矩形， ACB90，ACD90， B、C、D共线， BDOA， ACCO，BDAD， CDCD= 1 2OB2， D（10，4） ， 根据对称性可知，点 D在线段 BC上时，D（6，4）也满足条件 综上所述，满足条件的点 D 坐标（10，4）或（6，4） （II）如图，当 60时，作 CKAC 于 K 在 RtACK 中，KAC60，AC4， AK2，CK23， OK6， C
47、（6，23） （III）如图中，当 B、C、D共线时，由（）可知，C（8，4） 如图中，当 B、C、D共线时，BD交 OA 于 F，易证BOFACF， OFFC，设 OFFCx， 在 RtABC中，BC=2 2=8， 在 RTBOF 中，OB4，OFx，BF8x， （8x）242+x2， 解得 x3， OFFC3，BF5，作 CKOA 于 K， OBKC， = = ， 4 = 3 = 3 5， KC= 12 5 ，KF= 9 5， OK= 24 5 ， C（24 5 ， 12 5 ） 36 【解答】解： （） （i）如图，过 B1作 B1Gx 轴于 G， 依题意得，BOB130，B1OBO3， BB1= 1 2B1O= 3 2，GO= 3B1G= 3 23， B1（ 3 23， 3 2） ； （ii）如图，过 A1作 A1HOB 于 H， 依题意得A1OH60， 在 RtA1OH 中，OHOA1cos601，A1HOA1sin60= 3， tanOCD= = 1 ， ODOC1 = 23 3 ， 点 D 的坐标为（0，23 3 ） ； （）如图，取点 F（4.5，0） ，连接 B2F， A2OEB2OF，2 2 = = 2 3， A2OEB2OF， OA2EOB2F， OB2OE3，OA2OC2，B2OEA2OC， OB2EOA2C， 又OA2C+OA2E180， OB2
