【精品原创】三年级奥数培优教程讲义第09讲-周期问题(教师版)

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资源描述

1、第第 09 讲讲 周期问题周期问题 学会对一个周期问题进行分析、推理; 利用我们的规律来解决一些较简单的问题; 通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 一、周期问题一、周期问题 在日常生活中,有一些按照一定的规律不断重复的现象,如:人的十二生肖,一年有春夏 秋冬四个季节,一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题,我们称为 简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。 二、解题策略二、解题策略 在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出现的规律,也就 是找出循环的固定数,然后利用除法算式求出余

2、数,最后根据余数得出正确的结果。 考点一:一般周期问题考点一:一般周期问题 例例 1 1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先 2 个红的、后 1 个白的、再 3 个黑的的规律排列 (如下图),请你算一算,第 32 个珠子是什么颜色? 【解析】 从上图可以看出, 珠子是按 “两红一白三黑” 的规律重复排列, 即 6 个珠子为一周期。 326=5(组)2(个),32 个珠子中含有 5 个周期多 2 个,所以第 32 个珠子就是重复 5 个周期后的第 2 个珠子,应为红色。 例例 2 2、你能找出下面每组图形的排列规律吗?根据发现的规律,算出每组第 20 个图形分别是 什么。 (1) (2) 教学目

3、标 知识梳理 典例分析 【解析】第(1)题排列规律是“”两个图形重复出现,202=10,即“”重复出现 10 次,所以第 20 个图形是。第(2)题的排列规律是“”三个图形重复出现,20 3=62,即“”重复出现 6 次后又出现了两个图形“”,所以第 20 个图形是。 例例 3 3、100 个 3 相乘,积的个位数字是几? 【解析】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1 个 3.积的个位是 3;2 个 3 相乘积的 个位数字是 9;3 个 3 相乘积的个位数字是 7;4 个 3 相乘积的个位数字是 1;5 个 3 相乘积的 个位数字是 3可以发现,积的个位数字分别以 3、9、7、1 不断重

4、复出现,即每 4 个 3 积 的个位数字为一周期。1004=25(个),因此 100 个 3 相乘积的个位数字是第 25 个周期中的 最后一个,即是 1。 例例 4 4、有一列数按“432791864327918643279186”排列,那么前 54 个数字之和是多少? 【解析】上面一列数中,从第 1 个数字开始重复出现的部分是“43279186”,周期数是 8。要 求出这列数字的和,就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。 548=6(组)6(个) 因此,前 6 组数字和是(43279186)6=240,余下 6 个数字之和是 43 2791=26。所以,这列数中前 54 个数字之

5、和是 24026=266。 例例 5 5、小红买了一本童话书,每两页文字之间有 3 页插图,也就是说 3 页插图前后各有 1 页文 字。如果这本书有 128 页,而第 1 页是文字,这本童话书共有插图多少页? 【解析】已知这本童话书 3 页插图前后各有 1 页文字,也就是说这本书是按“1 页文字 3 页插 图“的规律重复排列的,把“1 页文字 3 页插图”看作一周期,128 页中含有 128(13) =32 个周期,所以这本童话书共有插图 332=96 页。 考点二:较复杂周期问题考点二:较复杂周期问题 例例 1 1、有一列数,按 5、6、2、4、5、6、2、4排列。 (1)第 129 个数是

6、多少?(2)这 129 个数相加的和是多少? 【解析】(1)从排列可以看出,这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列, 那么一个循环就是 4 个数,则 1294=321,可知有 32 个“5、6、4、2”还剩一个。所以第 129 个数是 5。(2)每组四个数之和是 5+6+4+2=17,所以,这 129 个数相加的和是 1732 5=549。 例例 2 2、假设所有的自然数排列起来,如下所示 39 应该排在哪个字母下面?88 应该排在哪个字 母下面? A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】从排列情况可以知道,这些自然数是按从小到大 4 个数一个循环,我们可

7、以根据这些 数除以 4 所得的余数来分析。 394=93 884=22 所以,39 应排在第 10 个循环的第三个字母 C 下面,88 应排在第 22 个循环的第四个字母 D 下面。 例例 3 3、 1991 年 1 月 1 日是星期二, (1) 该月的 22 日是星期几?该月 28 日是星期几? (2) 1994 年 1 月 1 日是星期几? 【解析】(1)一个星期是 7 天,因此,7 天为一个循环,这类题在计算天数时,可以采用“算 尾不算头”的方法。 (221)7=3,没有余数,该月 22 日仍是星期二; (281)7=36, 从星期三开始(包括星期三)往后数 6 天,28 日是星期一。

8、(2) 1991 年、 1993 年是平年, 1992 年是闰年, 从 1991 年 1 月 2 日到 1994 年 1 月 1 日共 1096 天,10967=1564,从星期三开始往后数 4 天,1994 年 1 月 1 日是星期六。 例例 4 4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流 代表年号,例如,第一年如果属鼠年,第二年就属牛年,第三年就是虎年。如果公元 1 年属 鸡年,那么公元 2001 年属什么年? 【解析】一共有 12 种动物,因此 12 为一个循环,为了便于思考,我们把“狗、猪、鼠、牛、 虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环

9、,从公元 2 年到公元 2001 年共经历了 2000 年(算头不算尾),200012=1668,从狗年开始往后数 8 年,公元 2001 年是蛇年。 课堂狙击课堂狙击 1、“数学趣味题数学趣味题”依次重复排列,第 2010 个字是什么? 【解析】20105=402 所以第 2010 个字是第 402 循环周期的最后一个字,是“题”。 2、盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一第 2001 个字是什么字? 【解析】20018=250.1 所以第 2001 个字是“盼”。 3、2001 年 8 月 1 日是星期三,8 月 28 日是星期几? 【解析】28-1 等于 27 天,27 除以

10、 7 等于 3 个星期余六天 那么往后退六天正好是星期二,所以是星期二。 4、100 个 2 相乘,积的个位数字是几? 【解析】5 个 2 相乘等于 32,那么 5 个 32 相乘个位数也是 2 因此 25 个 2 相乘个位数是 2。因此以 25 为一份,100 个 2 相乘可以分为 4 份,每份 25 个 2 相 乘 100 个 2 相乘,个位数相当于 2*2*2*2,因此个位数是 6 5、有一列数按“9453672945367294”排列,那么前 50 个数字之和是多少? 【解析】“9453672945367294” 9 4 5 3 6 7 2 这 7 个数字循环 50/7=71 9 +4

11、 +5 +3 +6 +7+ 2=36 前 50 个数字之和是 367+9=261 6、同学们做早操,36 个同学排成一列,每两个女生中间是两个男生,第一个是女生,这列队 伍中男生有多少人? 实战演练 【解析】每 3 个人循环一次,依次按照女生,男生,男生的顺序循环排列,363=12, 所以 36 人一共有 12 个循环周期;一共有男生:122=24(人)。 7、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12 种动物按顺序轮流代表 年号。 (1)如果公元 3 年属猪年,那么公元 2000 年属什么年? (2)如果公元 6 年属虎年,那么公元 21 世纪的第一个虎年是哪一年? (3

12、)公元 2001 年属蛇年,公元 2 年属什么年? 【解析】(1)龙年;(2)2000 是龙年,第一个虎年是 2010 年;(3)狗年。 8、有 a、b、c 三条直线,从 a 线开始,从 1 起依次在三条直线上写数(如下图),22、59、 2001 各在哪一条线上? 【解析】用 22,59,2001,分别除 3,22 除 3 余 1,所以和 1 在一条线上,59 余 2 所以和 2 在一条 线上,2001 刚好除尽,所以和 3 在一条线上,所以是 a,b,c。 课后反击课后反击 1、把 38 面小三角旗按下图排列,其中有多少面白旗? 【解析】27+2=29。 2、公园门口挂了一排彩灯泡按“二红

13、三黄四蓝”重复排列,第 63 只灯泡是什么颜色?第 112 只呢? 【解析】9 个一组,一共 7 组。所以第 63 个是蓝色的。 3、2001 年 6 月 1 日是星期五,9 月 1 日是星期几? 【解析】2001 年 6 月 1 日到 9 月 1 日有 92 天,92 除以 7 余数是 1,9 月 1 日是星期六。 4、50 个 7 相乘,积的个位数字是几? 【解析】7 的一次方尾数是 7,二次方尾数是 9,三次方尾数是 3,四次方是 1,五次方是 7, 然后再是 9, 依次循环 50 个 7 相乘,应该是 7 的 50 次方,个位数字应该是 9 5、有一列数“723165231652316

14、5”,请问从左起第 2 个数字到第 25 个数字之间(含第 2 个与第 25 个数字)所有数字的和是多少? 【解析】7 23165 23165 23165,2+3+1+6+5=17,175=85 从左起第 2 个数字到第 25 个数字 之间所有数字的和是 85-5=80。第二个数是 2,第 25 个数是 6。 6、一个圆形花辅周围长 30 米,沿周围每隔 3 米插一面红旗,每两面红旗中间插两面黄旗。花 辅周围共插了多少面黄旗? 【解析】3032=102=20(面)。 7、河岸上种了 100 棵桃树,第一棵是蟠桃,后面两棵是水蜜桃,再后面三棵是大青桃。接下 去一直这样排列。问:第 100 棵是什

15、么桃树?三种树各有多少棵? 【解析】1+2+3=6,每 6 棵一轮回,96 共可有 16 个回次,100-96=4,余下的是 1+2+1,就是 1 棵蟠 桃,2 棵水蜜桃,1 棵大青桃,16+1=17, 162+2=34, 163+1=49, 有 17 棵蟠桃,34 棵水蜜桃,49 棵大青桃,第 100 棵是大青桃 8、2001 个学生按下列方法编号排成五列: 一 二 三 四 五 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 问:最后一个学生应该排在第几列? 【解析】 根据给出的排列方式找出一下规律: 1.奇数行的最后一个数字是 (该奇数*4+1) 得到;

16、 2.偶数行的第一个数字是(该偶数*4+1)得到;而 2001=500*4+1。500 为偶数,根据规律就可 以得到 2001 是在第 500 行的第一列 1、表示实心圆,表示空心圆,若干个实心圆与空心圆排成一行如下: 在前 200 个圆中有 _个实心圆。 (第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 2 试) 【解析】2009=222,226+1=133(个),在前 200 个圆中有 133 个实心圆 2、今天(2010 年 4 月 11 日)是星期日,则 2010 年的六一儿童节是星期 。 (第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第 2 试) 【解析】4 月 11 日到 4 月 30 日经过了:30-11=19(天); 5 月份有 31 天,那么一共经过了:19+31+1=51(天); 517=7(周)2(天);余数是 2,那么 6 月 1 日就是星期二 (1)能够发现周期问题的规律; (2)利用我们的规律来解决的问题; 直击赛场 重点回顾 名师点拨 重点和难点突破:重点和难点突破: (1)在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出现的规律,也 就是找出循环的固定数 (2)然后利用除法算式求出余数,最后根据余数得出正确的结果。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 学霸经验

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