1、第第 1717 讲讲 最大最小问题最大最小问题 学会在题目中判断出限制条件； 学会分数知识的综合运用； 从题目限制条件中分析最大最小问题。 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最 少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为： 在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较； 2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩 短解题过程。 人们碰到的
2、各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段 的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各 种知识。 考点一：简单最大最小问题考点一：简单最大最小问题 例例 1、把 1、2、3、16 分别填进图中 16 个三角形里，使每边上 7 个小三角形内数的和相等。问这个和 最大值是多少？ 典例分析 知识梳理 教学目标 【解析】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处 D 中填的数和三条边 上的和没有关系，因此，应填最小的数 1。而三个角上的 a、b、c 六个三角形中的数都被用过两次，所以要 尽可能填大数，即填 111
3、6。然后根据“三角形三边上 7 个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计 算出这个和的最大值了。 （23416111213141516）3=72 例例 2、有 8 个西瓜，它们的重量分别是 2 千克、3 千克、4 千克、4 千克、5 千克、6 千克、8.5 千克、10 千 克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？ 【解析】3 堆西瓜的总重量是 42.5 千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。 根据 42.53=14 千克0.5 千克可知： 最重的一堆是 140.5=14.5 千克， 即由 6 千克和 8.5 千克组成，另外两堆分别是 1
4、4 千克。 例例 3、一次数学考试满分 100 分，6 位同学平均分为 91 分，且 6 人分数互不相同，其中得分最少的同学仅 得 65 分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数） 【解析】除得 65 分的同学外，其余 5 位同学的总分是 91665=481 分。 根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得 100 分和 99 分，而 接近的三个不同分是 93、94、95。所以，第三名至少得 95 分。 例例 4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。 现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不
5、割好、捆好，不准运输），这两组从开工到 完工最少经过多少小时？ 【解析】 先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来： 大豆 7+5=12 小时， 谷子 3+6=9 小时， 高梁 5+1=6 小时，小米 5+9=14 小时。平均每个小组用（12+9+6+14）2=20.5 小时，但实际做不到。因此，根据各类 庄稼所需时间相加，使其最接近 20.5 小时。 12+9=21 小时是最少经过的时间。 例例 5、A、B、C 是三个风景点，从 A 出发经过 B 到达 C 要走 18 千米，从 A 经过 C 到 B 要走 16 千米，从 B 经 过 A 到 C 要走 24 千米。相距最近的是哪两个风景点
6、？它们之间相距多少千米？ 【解析】根据题意可知，AB+BC=18 千米，AC+BC=16 千米，AB+AC=24 千米，用（18+16+24）2 就能算出 AB+BC+AC=29 千米。 因此，AC=29-18=11 千米，AB=29-16=13 千米，BC=29-24=5 千米。 B、C 两个风景点的距离最近，只相距 5 千米。 考点二：数论中的极端思想考点二：数论中的极端思想 例例 1、18 这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数 各是多少？ 【解析】8531 和 7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是 8，7，百位分别是 6，5
7、。 两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是 85，另一个数的前两位是 76。 同理可确定十位和个位数。 例例 2、有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 257，1459 等等，这类数中最大的自然数是多少？ 【解析】要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故 10112358 满足条件如 果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取 1 与 0。 例例 3、某国家的货币中有 1 元、3 元、5 元、7 元、9 元五种，为了能支付 1 元、2 元100 元的钱数（整
8、数元），那么至少需要准备货币多少张？ 【解析】为了使货币越少越好，那么 9 元的货币应该尽量多才行。当有 10 张 9 元时，容易看出 1、1、3、5 这四张加上后就可以满足条件。当 9 元的货币超过 11 张时，找不到比 14 张更少的方案。当 9 元的货币少 于 10 张时，至少有 19 元需要由 5 元以下的货币构成，且 1 元的货币至少 2 张，这样也找不到比 14 张更少 的方案。综上分析可以知道，最少需要 10 张 9 元的、2 张 1 元的、1 张 3 元的、1 张 5 元的，共 14 张货币。 例例 4、a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数，求ab a+b 的最大值。
9、 【解析】根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以 b=1；由 b=1 可知，分母比分子大 2，也就 是说，所有的分数再添两个分数单位就等于 1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此 a=99 ab a+b 的最大值是991 99+1 =49 50 答：ab a+b 的最大值是49 50 例例 5、有甲、乙两个两位数，甲数2 7 等于乙数的 2 3 。这两个两位数的差最多是多少？ 【解析】甲数：乙数=2 3 ： 2 7 =7：3，甲数的 7 份，乙数的 3 份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是 14， 甲数与乙数相差 4 份，所以，甲、乙两数的差是 14（7-3）=56。 例例
10、6、将前 100 个自然数依次无间隔地写成一个 192 位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100 从中划去 100 个数字，那么剩下的 92 位数最大是多少？最小是多少？ 【解析】要得到最大的数，左边应尽量多地保留 9。因为 159 中有 109 个数码，其中有 6 个 9，要想左边 保留 6 个 9，必须划掉 159 中的 109-6103（个）数码，剩下的数码只有 192103=89（个），不合题意， 所以左边只能保留 5 个 9，即保留 149 中的 5 个 9，划掉 149 中其余的 84 个数码。然后，在后面再划 掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：
11、 所求最大数是 999997859606199100。 同理，要得到最小的数，左边第一个数是 1，之后应尽量保留 0。250 中有 90 个数码，其中有 5 个 0，划 掉其余 90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉 15 个数码，尽量保留小数（见下图）： ；所求最小数是 10000012340616299100。 考点三：智巧趣题的极端思想考点三：智巧趣题的极端思想 例例 1、99 个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一 个苹果问：这群小朋友最多有几位? 【解析】1+2+3+13=9199，1+2+3+14=10599，说明若 13 位各分得
12、 1，2，3，13 个苹果，未 分完 99 个，若 14 位各分得 1，2，3，14 个苹果，则超出 99 个因 91+8=99，在 13 位上述分法中若把 剩下的 8 个苹果分别加到后 8 位人上，就可得合题意的一个分法：13 人依次分 1，2，3，4，5，7，8，9， 10，11，12，13，14 个。所以最多有 13 位小朋友。(注：13 人的分法不唯一) 例例 2、某学校，星期一有 15 名学生迟到，星期二有 12 名学生迟到，星期三有 9 名学生迟到，如果有 22 名 学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？ 【解析】三天都迟到的要尽量多，则将迟到的 22 人
13、次分为仅迟到一次和三天都迟到的。可求出三天都迟到 的学生最多有： (15+12+9-22) 2=7(人)。 例例 3、如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车。第一站上了一批学生，以后 每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少学生？ 【解析】因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有 1 个学生上车假如第五站只 有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是 2，4，8，16 个因此 五个站上车的人数共有 1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一个学生上 车，那么上车的总人数一定多于 31 个。所以，最少有 31 个学生
14、。 例例 4、若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和 老师共有 22 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 2 人，至少有 1 名男老师，那么在这 22 人中，爸爸有多少人？ 【解析】家长比老师多，所以老师少于 22 2=11 人，即不超过 10 人；相应的，家长就不少于 12 人。在至 少 12 个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于 12 2=6 人，即不少于 7 人。因为女老师比妈妈多 2 人， 所以女老师不少于 9 人。但老师最多就 10 个，并且还至少有 1 个男老师，所以老师必定是 9 个女老师和 1 个男老师，共 10
15、个。那么，在 12 个家长中，就有 7 个是妈妈。所以，爸爸有 12-7=5 人。 例例 5、三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数的和是 2886。求所有这样的 6 个三位数中的最小 的三位数。 【解析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了 2 次。所以，2886222 能得到三个数字的和。 设三个数字为 a、b、c，那么 6 个不同的三位数的和为 abc+acb+bac+bca+cab+cba （a+b+c）1002+（a+b+c）1002+（a+b+c）1002 （a+b+c）222 2886 即 a+b+c288622213 答：所有这样的 6 个三位数中，最小的三
16、位数是 139。 课堂狙击 1、两个自然数的和是 15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？ 【解析】将两个自然数的和为 15 的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面 7 种情况： 15=1+14，1 14=14； 15=2+13，2 13=26； 15=3+12，3 12=36； 15=4+11，4 11=44； 15=5+10，5 10=50； 15=6+9，6 9=54； 15=7+8，7 8=56。 由此可知把 15 分成 7 与 8 之和，这两数的乘积最大。 结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时， 他们
17、的乘积最大。 2、设自然数 n 有下列性质：从 1、2n 中任取 50 个不同的数，其中必有两数之差等于 7，这样的 n 最大 不能超过多少？ 【解析】当 n=98 时，将 1、298 按每组中两数的差为 7 的规则分组：1，8、2、9、7，14、 15，2290，97、91、98。一共有 49 组，所以当任取 50 个数时，必有两个数在同一组，他们的差 等于 7。当 n=99 时，取上面每组中的前一个数，即 1、27、1521、2935、4349、5763、 7177、8591 和 99 一共是 50 个数，而它们中任 2 个的差不为 7。因此 n 最大不能超过 98。 3、设 x 和 y
18、是选自前 100 个自然数的两个不同的数，求xy x+y 的最大值。 实战演练 【解析】 99 101 4、有甲、乙两个两位数，甲数的 3 10 等于乙数的 4 5 。这两个两位数的差最多是多少？ 【解析】甲、乙两数的比是 8：3，甲数最大是 96 ，差最大是 60。 5、在 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成 一个算式。要求：（1）算式的结果等于 37； （2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最 大乘 积是多少？ 【解析】把 10 个数都添上加号，它们的和是 55，如果把其中一个数
19、的前面的加号换成减号，使这个数成为 减数，那么和数将要减少这个数的 2 倍。因为 55-3718，所以我们变成减数的这些数之和是 18 2=9。对 于大于 2 的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包 括 1）。9 最多可拆成三数之和 234=9，因此这些减数的最大乘积是 2 3 424，添上加、减号的算式 是：10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 137。 6、149 位议员中选举一位议长，每人可投一票。候选人是 A，B，C 三人。开票中途，A 已得 45 票，B 已 得 20 票，C 已得 35 票。如果票数最多者当选，那么 A 至少再有多
20、少票才能一定当选？ 【解析】由题意得：45+20+35=100，还有 149-100=49(票)。 45-35=10，如果 49 票中有 10 票都给 C，49-10=39； 那么 A 至少还要有 20 票才能当选。 7、某班学生 50 人，年龄均为整数，年龄的平均值为 12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过 3。那么这 班学生中年龄最大的能是多少岁？如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不 是最小的学生最多有多少人？ 【解析】因为全班 50 人的年龄总和比平均 12 岁的年龄总和多(12.2-12) 50=10(岁)， 所以年龄最大的能是 12+3=15(岁)。 如
21、果有人年龄达到 15 岁，那么剩下的 49 人的年龄和比平均 12 岁的年龄和多 103=7(岁)； 所以最多有 7 人的年龄大于 12 岁，小于 15 岁。 8、阶梯教室座位有 10 排，每排有 16 个座位，当有 150 个人就座，某些排坐着的人数就一样多。我们希望 人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？ 【解析】至少有 4 排。如果 10 排人数各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)； 如果最多有 2 排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12) 2=140(人)； 如果最多有 3 排人数一样，那么最多坐：(16+1
22、5+14) 3+13=148(人)； 如果最多有 4 排人数一样，那么至多坐：(16+15) 4+14 2=152(人)。148150152， 所以，至少有 4 排。 课后反击 1、如果一个自然数 N 的各个位上的数字和是 1996，那么这个自然数最小是几？ 【解析】19969=2217，N= 2219 799.9 个 。 2、有四个数，其中每三个数的和分别是 45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？ 【解析】把 4 个数全加起来就是每个数都加了 3 遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52） 3=64。用 总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即：64-
23、52=12。 3、有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过 60 块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？ 【解析】最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数，故不小于 61 3= 1 20 3 ，即它不小于 21。从而四袋糖总 和不小于 21 十 61=82(块)。比如四袋糖数量分别为 21，21，20，20 即可。 4、设 x 和 y 是选自前 200 个自然数的两个不同的数，且 xy，（1）求 x+y xy 的最大值；（2）求 x+y xy 的最 小值。 【解析】（1）399 （2） 201 199 5、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的5 6 恰好等于乙数的 1 4 。这两个两位数的和最小是多少？
24、【解析】甲、乙两数的比是 3：10，甲数最小是 102，和最小是 442。 6、如果两个四位数的差等于 8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？ 【解析】在这些数对中，被减数最大是 9999，此时减数是 999989211078，被减数和剑术同时减去 1 后， 又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去 78，因此： 这样的数对共有 78+179 个。 7、要砌一个面积为 72 米 2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多 少米？ 【解析】将 72 分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是 9-8=1
25、，猪圈围墙长 9 米、宽 8 米时， 围墙总长最少，为（8+9） 2=34（米）。 8、某班有 50 名学生，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 23 人，参加英语竞赛的有 20 人，每人 最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？ 【解析】因为参加竞赛的有 28+23+20=71(人)。让这 71 人尽可能多地重复，712=351； 所以至多有 35 人参加两科。 9、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各 10 个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”， 黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出 8 个球，它们的数字和是 39，其中最 多可能有
26、多少个球是红色的？ 【解析】假设摸出的 8 个球全是红球，则数字之和为（4 8=）32，与实际的和 39 相差 7，这是因为将摸出 的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（64=）2，用一个黄球换一 个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在 72=31，因此 可用 3 个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样 8 个球的数字之和正好等于 39。所以要使 8 个球的数字 之和为 39，其中最多可能有（8-3-1=）4 个是红球。 1、（第四届希望杯 1 试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了 5 次，每次的搬运量相同，运到的货
27、物 比这批货物的 3 5 多一些，比 3 4 少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运 次，最多共要 运 次。 【解析】这道题目用到了极值判断法，体会极值判断法： 假定 5 次运的恰好等于 5 3 ，则每一次最少运 5 3 5= 25 3 ，所以最多运 125 3 = 1 8 3 9 次； 假定 5 次运的恰好等于 3 4 ，则每一次最多运 3 4 5= 3 20 ，所以最少运 1 3 20 = 2 6 3 7 次。 2、（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）将 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数分成三组，分别计算各组数 的和。已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的 2 倍。问：
28、最小的和是多少？ 【解析】因为 1+2+3+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的和是最小和的 2 倍。所以，最小 和比总和 36 的 4 1 要小，而比总和 36 的 5 1 要大。因此，最小的和是 8。 3、（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）一组互不相同的自然数，其中最小的数是 1，最大的数是 25。 除 1 之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍，或者等于这组数中某两个数之和。问： 这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。 【解析】观察自然数 1、2、3、4、5、25 这 25 个数，发现它们除 1 之外，
29、每个数都能用其中某一个 数的 2 倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是 1+2+3+25=325。 下面考虑数组中各数之和的最小值。 1 和 25 是必取的，25 不能表示成一个数的 2 倍，而表示成两个数之和的形式，共有 12 种。我们取两 个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取 1、5、20、25 时，还需取 2、3、 直击赛场 10 三个；当取 1、10、15、25 时，还需取 2、3、5。经比较这两组数，可知当取 1、2、3、4、5、10、15、 25 时，和最小是 61。 4、（第五届从小爱数学邀请赛试题）把 20 以内的质数分别填入
30、中（每个质数只用一次）： 使 A 是整数。A 最大是多少？ 【解析】要使 A 最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。 分母分别取 2、3、5 时，A 都不能为整数。当分母取 7 时， 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题， 这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或 最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较； 2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小 问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。 名师点拨 本节课我学到了 我需要努力的地方是 学霸经验
