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【精品】六年级奥数培优教程讲义第17讲最大最小问题(教师版)

1、第第 1717 讲讲 最大最小问题最大最小问题 学会在题目中判断出限制条件; 学会分数知识的综合运用; 从题目限制条件中分析最大最小问题。 在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最 少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为: 在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法: 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较; 2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩 短解题过程。 人们碰到的

2、各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段 的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各 种知识。 考点一:简单最大最小问题考点一:简单最大最小问题 例例 1、把 1、2、3、16 分别填进图中 16 个三角形里,使每边上 7 个小三角形内数的和相等。问这个和 最大值是多少? 典例分析 知识梳理 教学目标 【解析】为了方便描述,我们把图中部分三角形注上字母,从图中可以看出:中心处 D 中填的数和三条边 上的和没有关系,因此,应填最小的数 1。而三个角上的 a、b、c 六个三角形中的数都被用过两次,所以要 尽可能填大数,即填 111

3、6。然后根据“三角形三边上 7 个小三角形内数的和相等”这一条件,就可以计 算出这个和的最大值了。 (23416111213141516)3=72 例例 2、有 8 个西瓜,它们的重量分别是 2 千克、3 千克、4 千克、4 千克、5 千克、6 千克、8.5 千克、10 千 克。把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克? 【解析】3 堆西瓜的总重量是 42.5 千克,要使最重的一堆尽可能轻些,另两堆就得尽可能重些。 根据 42.53=14 千克0.5 千克可知: 最重的一堆是 140.5=14.5 千克, 即由 6 千克和 8.5 千克组成,另外两堆分别是 1

4、4 千克。 例例 3、一次数学考试满分 100 分,6 位同学平均分为 91 分,且 6 人分数互不相同,其中得分最少的同学仅 得 65 分,那么排第三名的同学至少得多少分?(分数取整数) 【解析】除得 65 分的同学外,其余 5 位同学的总分是 91665=481 分。 根据第三名同学得分要至少,也就说其他四人得分要尽量高,第一、第二名分别得 100 分和 99 分,而 接近的三个不同分是 93、94、95。所以,第三名至少得 95 分。 例例 4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好、捆好,然后往回运输。 现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表(一种庄稼不

5、割好、捆好,不准运输),这两组从开工到 完工最少经过多少小时? 【解析】 先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来: 大豆 7+5=12 小时, 谷子 3+6=9 小时, 高梁 5+1=6 小时,小米 5+9=14 小时。平均每个小组用(12+9+6+14)2=20.5 小时,但实际做不到。因此,根据各类 庄稼所需时间相加,使其最接近 20.5 小时。 12+9=21 小时是最少经过的时间。 例例 5、A、B、C 是三个风景点,从 A 出发经过 B 到达 C 要走 18 千米,从 A 经过 C 到 B 要走 16 千米,从 B 经 过 A 到 C 要走 24 千米。相距最近的是哪两个风景点

6、?它们之间相距多少千米? 【解析】根据题意可知,AB+BC=18 千米,AC+BC=16 千米,AB+AC=24 千米,用(18+16+24)2 就能算出 AB+BC+AC=29 千米。 因此,AC=29-18=11 千米,AB=29-16=13 千米,BC=29-24=5 千米。 B、C 两个风景点的距离最近,只相距 5 千米。 考点二:数论中的极端思想考点二:数论中的极端思想 例例 1、18 这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数 各是多少? 【解析】8531 和 7642。高位数字越大,乘积越大,所以它们的千位分别是 8,7,百位分别是 6,5

7、。 两数和一定时,这两数越接近乘积越大,所以一个数的前两位是 85,另一个数的前两位是 76。 同理可确定十位和个位数。 例例 2、有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如 257,1459 等等,这类数中最大的自然数是多少? 【解析】要想使自然数尽量大,数位就要尽量多,所以数位高的数值应尽量小,故 10112358 满足条件如 果最前面的两个数字越大,则按规则构造的数的位数较少,所以最前面两个数字尽可能地小,取 1 与 0。 例例 3、某国家的货币中有 1 元、3 元、5 元、7 元、9 元五种,为了能支付 1 元、2 元100 元的钱数(整

8、数元),那么至少需要准备货币多少张? 【解析】为了使货币越少越好,那么 9 元的货币应该尽量多才行。当有 10 张 9 元时,容易看出 1、1、3、5 这四张加上后就可以满足条件。当 9 元的货币超过 11 张时,找不到比 14 张更少的方案。当 9 元的货币少 于 10 张时,至少有 19 元需要由 5 元以下的货币构成,且 1 元的货币至少 2 张,这样也找不到比 14 张更少 的方案。综上分析可以知道,最少需要 10 张 9 元的、2 张 1 元的、1 张 3 元的、1 张 5 元的,共 14 张货币。 例例 4、a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数,求ab a+b 的最大值。

9、 【解析】根据题意,应使分子尽可能大,使分母尽可能小。所以 b=1;由 b=1 可知,分母比分子大 2,也就 是说,所有的分数再添两个分数单位就等于 1,可见应使所求分数的分数单位尽可能小,因此 a=99 ab a+b 的最大值是991 99+1 =49 50 答:ab a+b 的最大值是49 50 例例 5、有甲、乙两个两位数,甲数2 7 等于乙数的 2 3 。这两个两位数的差最多是多少? 【解析】甲数:乙数=2 3 : 2 7 =7:3,甲数的 7 份,乙数的 3 份。由甲是两位数可知,每份的数量最大是 14, 甲数与乙数相差 4 份,所以,甲、乙两数的差是 14(7-3)=56。 例例

10、6、将前 100 个自然数依次无间隔地写成一个 192 位数:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100 从中划去 100 个数字,那么剩下的 92 位数最大是多少?最小是多少? 【解析】要得到最大的数,左边应尽量多地保留 9。因为 159 中有 109 个数码,其中有 6 个 9,要想左边 保留 6 个 9,必须划掉 159 中的 109-6103(个)数码,剩下的数码只有 192103=89(个),不合题意, 所以左边只能保留 5 个 9,即保留 149 中的 5 个 9,划掉 149 中其余的 84 个数码。然后,在后面再划 掉16个数码,尽量保留大数(见下图):

11、 所求最大数是 999997859606199100。 同理,要得到最小的数,左边第一个数是 1,之后应尽量保留 0。250 中有 90 个数码,其中有 5 个 0,划 掉其余 90-5=85(个)数码,然后在后面再划掉 15 个数码,尽量保留小数(见下图): ;所求最小数是 10000012340616299100。 考点三:智巧趣题的极端思想考点三:智巧趣题的极端思想 例例 1、99 个苹果要分给一群小朋友,每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样,且每位小朋友至少要有一 个苹果问:这群小朋友最多有几位? 【解析】1+2+3+13=9199,1+2+3+14=10599,说明若 13 位各分得

12、 1,2,3,13 个苹果,未 分完 99 个,若 14 位各分得 1,2,3,14 个苹果,则超出 99 个因 91+8=99,在 13 位上述分法中若把 剩下的 8 个苹果分别加到后 8 位人上,就可得合题意的一个分法:13 人依次分 1,2,3,4,5,7,8,9, 10,11,12,13,14 个。所以最多有 13 位小朋友。(注:13 人的分法不唯一) 例例 2、某学校,星期一有 15 名学生迟到,星期二有 12 名学生迟到,星期三有 9 名学生迟到,如果有 22 名 学生在这三天中至少迟到过一次,则这三天都迟到的学生最多有多少人? 【解析】三天都迟到的要尽量多,则将迟到的 22 人

13、次分为仅迟到一次和三天都迟到的。可求出三天都迟到 的学生最多有: (15+12+9-22) 2=7(人)。 例例 3、如图,司机开车按顺序到五个车站接学生到学校,每个站都有学生上车。第一站上了一批学生,以后 每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时,车上最少有多少学生? 【解析】因为每个站都有学生上车,所以第五站至少有 1 个学生上车假如第五站只 有一个学生上车,那么第四、三、二、一站上车的人数分别是 2,4,8,16 个因此 五个站上车的人数共有 1+2+4+8+16=31(人),很明显,如果第五站有不止一个学生上 车,那么上车的总人数一定多于 31 个。所以,最少有 31 个学生

14、。 例例 4、若干名家长(爸爸或妈妈,他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛,已知家长和 老师共有 22 人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多 2 人,至少有 1 名男老师,那么在这 22 人中,爸爸有多少人? 【解析】家长比老师多,所以老师少于 22 2=11 人,即不超过 10 人;相应的,家长就不少于 12 人。在至 少 12 个家长中,妈妈比爸爸多,所以妈妈要多于 12 2=6 人,即不少于 7 人。因为女老师比妈妈多 2 人, 所以女老师不少于 9 人。但老师最多就 10 个,并且还至少有 1 个男老师,所以老师必定是 9 个女老师和 1 个男老师,共 10

15、个。那么,在 12 个家长中,就有 7 个是妈妈。所以,爸爸有 12-7=5 人。 例例 5、三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数的和是 2886。求所有这样的 6 个三位数中的最小 的三位数。 【解析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了 2 次。所以,2886222 能得到三个数字的和。 设三个数字为 a、b、c,那么 6 个不同的三位数的和为 abc+acb+bac+bca+cab+cba (a+b+c)1002+(a+b+c)1002+(a+b+c)1002 (a+b+c)222 2886 即 a+b+c288622213 答:所有这样的 6 个三位数中,最小的三

16、位数是 139。 课堂狙击 1、两个自然数的和是 15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少? 【解析】将两个自然数的和为 15 的所有情况都列出来,考虑到加法与乘法都符合交换律,有下面 7 种情况: 15=1+14,1 14=14; 15=2+13,2 13=26; 15=3+12,3 12=36; 15=4+11,4 11=44; 15=5+10,5 10=50; 15=6+9,6 9=54; 15=7+8,7 8=56。 由此可知把 15 分成 7 与 8 之和,这两数的乘积最大。 结论:如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,他们的乘积越大。特别地,当这两个数相等时, 他们

17、的乘积最大。 2、设自然数 n 有下列性质:从 1、2n 中任取 50 个不同的数,其中必有两数之差等于 7,这样的 n 最大 不能超过多少? 【解析】当 n=98 时,将 1、298 按每组中两数的差为 7 的规则分组:1,8、2、9、7,14、 15,2290,97、91、98。一共有 49 组,所以当任取 50 个数时,必有两个数在同一组,他们的差 等于 7。当 n=99 时,取上面每组中的前一个数,即 1、27、1521、2935、4349、5763、 7177、8591 和 99 一共是 50 个数,而它们中任 2 个的差不为 7。因此 n 最大不能超过 98。 3、设 x 和 y

18、是选自前 100 个自然数的两个不同的数,求xy x+y 的最大值。 实战演练 【解析】 99 101 4、有甲、乙两个两位数,甲数的 3 10 等于乙数的 4 5 。这两个两位数的差最多是多少? 【解析】甲、乙两数的比是 8:3,甲数最大是 96 ,差最大是 60。 5、在 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成 一个算式。要求:(1)算式的结果等于 37; (2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。那么,这些减数的最 大乘 积是多少? 【解析】把 10 个数都添上加号,它们的和是 55,如果把其中一个数

19、的前面的加号换成减号,使这个数成为 减数,那么和数将要减少这个数的 2 倍。因为 55-3718,所以我们变成减数的这些数之和是 18 2=9。对 于大于 2 的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好(不包 括 1)。9 最多可拆成三数之和 234=9,因此这些减数的最大乘积是 2 3 424,添上加、减号的算式 是:10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 137。 6、149 位议员中选举一位议长,每人可投一票。候选人是 A,B,C 三人。开票中途,A 已得 45 票,B 已 得 20 票,C 已得 35 票。如果票数最多者当选,那么 A 至少再有多

20、少票才能一定当选? 【解析】由题意得:45+20+35=100,还有 149-100=49(票)。 45-35=10,如果 49 票中有 10 票都给 C,49-10=39; 那么 A 至少还要有 20 票才能当选。 7、某班学生 50 人,年龄均为整数,年龄的平均值为 12.2,已知班上任意两人的年龄差都不超过 3。那么这 班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值,那么这个班里年龄既不是最大也不 是最小的学生最多有多少人? 【解析】因为全班 50 人的年龄总和比平均 12 岁的年龄总和多(12.2-12) 50=10(岁), 所以年龄最大的能是 12+3=15(岁)。 如

21、果有人年龄达到 15 岁,那么剩下的 49 人的年龄和比平均 12 岁的年龄和多 103=7(岁); 所以最多有 7 人的年龄大于 12 岁,小于 15 岁。 8、阶梯教室座位有 10 排,每排有 16 个座位,当有 150 个人就座,某些排坐着的人数就一样多。我们希望 人数一样的排数尽可能少,这样的排数至少有多少排? 【解析】至少有 4 排。如果 10 排人数各不相同,那么最多坐:16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人); 如果最多有 2 排人数一样,那么最多坐:(16+15+14+13+12) 2=140(人); 如果最多有 3 排人数一样,那么最多坐:(16+1

22、5+14) 3+13=148(人); 如果最多有 4 排人数一样,那么至多坐:(16+15) 4+14 2=152(人)。148150152, 所以,至少有 4 排。 课后反击 1、如果一个自然数 N 的各个位上的数字和是 1996,那么这个自然数最小是几? 【解析】19969=2217,N= 2219 799.9 个 。 2、有四个数,其中每三个数的和分别是 45,46,49,52,那么这四个数中最小的一个数是多少? 【解析】把 4 个数全加起来就是每个数都加了 3 遍,所以,这四个数的和等于(45+46+49+52) 3=64。用 总数减去最大的三数之和,就是这四个数中的最小数,即:64-

23、52=12。 3、有四袋糖块,其中任意三袋的总和都超过 60 块,那么这四袋糖块的总和至少有多少块? 【解析】最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数,故不小于 61 3= 1 20 3 ,即它不小于 21。从而四袋糖总 和不小于 21 十 61=82(块)。比如四袋糖数量分别为 21,21,20,20 即可。 4、设 x 和 y 是选自前 200 个自然数的两个不同的数,且 xy,(1)求 x+y xy 的最大值;(2)求 x+y xy 的最 小值。 【解析】(1)399 (2) 201 199 5、甲、乙两数都是三位数,如果甲数的5 6 恰好等于乙数的 1 4 。这两个两位数的和最小是多少?

24、【解析】甲、乙两数的比是 3:10,甲数最小是 102,和最小是 442。 6、如果两个四位数的差等于 8921,就是说这两个四位数组成一个数对。问:这样的数对共有多少个? 【解析】在这些数对中,被减数最大是 9999,此时减数是 999989211078,被减数和剑术同时减去 1 后, 又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数,最多可以减去 78,因此: 这样的数对共有 78+179 个。 7、要砌一个面积为 72 米 2的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多 少米? 【解析】将 72 分解成两个自然数的乘积,这两个自然数的差最小的是 9-8=1

25、,猪圈围墙长 9 米、宽 8 米时, 围墙总长最少,为(8+9) 2=34(米)。 8、某班有 50 名学生,参加语文竞赛的有 28 人,参加数学竞赛的有 23 人,参加英语竞赛的有 20 人,每人 最多参加两科,那么参加两科的最多有多少人? 【解析】因为参加竞赛的有 28+23+20=71(人)。让这 71 人尽可能多地重复,712=351; 所以至多有 35 人参加两科。 9、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各 10 个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”, 黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出 8 个球,它们的数字和是 39,其中最 多可能有

26、多少个球是红色的? 【解析】假设摸出的 8 个球全是红球,则数字之和为(4 8=)32,与实际的和 39 相差 7,这是因为将摸出 的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球,数字和可增加(64=)2,用一个黄球换一 个红球,数字和可增加(5-4=)1。为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在 72=31,因此 可用 3 个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样 8 个球的数字之和正好等于 39。所以要使 8 个球的数字 之和为 39,其中最多可能有(8-3-1=)4 个是红球。 1、(第四届希望杯 1 试)一位工人要将一批货物运上山,假定运了 5 次,每次的搬运量相同,运到的货

27、物 比这批货物的 3 5 多一些,比 3 4 少一些。按这样的运法,他运完这批货物最少共要运 次,最多共要 运 次。 【解析】这道题目用到了极值判断法,体会极值判断法: 假定 5 次运的恰好等于 5 3 ,则每一次最少运 5 3 5= 25 3 ,所以最多运 125 3 = 1 8 3 9 次; 假定 5 次运的恰好等于 3 4 ,则每一次最多运 3 4 5= 3 20 ,所以最少运 1 3 20 = 2 6 3 7 次。 2、(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)将 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数分成三组,分别计算各组数 的和。已知这三个和互不相等,且最大的和是最小和的 2 倍。问:

28、最小的和是多少? 【解析】因为 1+2+3+8=36,又知三组数的和各不相同,而且最大的和是最小和的 2 倍。所以,最小 和比总和 36 的 4 1 要小,而比总和 36 的 5 1 要大。因此,最小的和是 8。 3、(全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题)一组互不相同的自然数,其中最小的数是 1,最大的数是 25。 除 1 之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2 倍,或者等于这组数中某两个数之和。问: 这组数之和的最大值是多少?当这组数之和有最小值时,这组数都有哪些数?并说明和是最小值的理由。 【解析】观察自然数 1、2、3、4、5、25 这 25 个数,发现它们除 1 之外,

29、每个数都能用其中某一个 数的 2 倍,或者某两个数之和表示。因此,这组数之和的最大值是 1+2+3+25=325。 下面考虑数组中各数之和的最小值。 1 和 25 是必取的,25 不能表示成一个数的 2 倍,而表示成两个数之和的形式,共有 12 种。我们取两 个加数中含有尽可能大的公约数的一组数(20+5)或者(10+15)。当取 1、5、20、25 时,还需取 2、3、 直击赛场 10 三个;当取 1、10、15、25 时,还需取 2、3、5。经比较这两组数,可知当取 1、2、3、4、5、10、15、 25 时,和最小是 61。 4、(第五届从小爱数学邀请赛试题)把 20 以内的质数分别填入

30、中(每个质数只用一次): 使 A 是整数。A 最大是多少? 【解析】要使 A 最大,必须使分母尽量小,而分子尽量大。 分母分别取 2、3、5 时,A 都不能为整数。当分母取 7 时, 在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题, 这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为:在一定范围内求最大值或 最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法: 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较; 2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小 问题。最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。 名师点拨 本节课我学到了 我需要努力的地方是 学霸经验