1、2020 年广州市高考数学二模试卷（文科）年广州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1若集合 Ax|2x0，Bx|0x1，则 AB（ ） A0，2 B0，1 C1，2 D1，2 2已知 i 为虚数单位，若 z （1+i）2i，则|z|（ ） A2 B C1 D 3已知角 的项点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，1）在角 的终边上，则 tan（ ） A2 B C D2 4若实数 x，y 满足 ，则 z2xy 的最小值是（ ） A2 B C4 D6 5已知函数 f（x）1+x3，若 aR，则 f（a）+f（a）（ ） A0 B2+2a3 C2 D2
2、2a3 6若函数 f（x）Asin（2x+）（A0，0 ）的部分图象如图所示，则下列叙述正 确的是（ ） A（ ，0）是函数 f（x）图象的一个对称中心 B函数 f（x） 的图象关于直线 x 对称 C函数 f（x） 在区间 ， 上单调递增 D函数 f（x）的图象可由 yAsin 2x 的图象向左平移 个单位得到 7周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古 代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如 图所示的图形，其中圆的半径为 r，正方形的边长为 a（0ar），若在圆内随机取点， 得到点取自阴影部分的概率是 p，则圆周率 的值为（
3、） A B C D 8在三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 ACC1A1（包括边界）上一 点，若 EF平面 BCC1B1，则动点 F 的轨迹是（ ） A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 9已知函数 ， ， ，则 f（x）f（x+1）的解集为（ ） A（1，+） B（1，1） C ， D ， 10ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+ccosB6，c3，B2C， 则 cosC 的值为（ ） A B C D 11若关于 x 的不等式 2lnxax2+（2a2）x+1 恒成立，则 a 的最小整数值是（ ） A0 B1
4、 C2 D3 12过双曲线 C： 1（a0，b0）右焦点 F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足 为 P，与双曲线交于点 A，若 3 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ay2x Byx Cy x Dy x 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量 （k，1）， （4，2），若 与 共线，则实数 k 的值为 14已知等比数列an是单调递增数列，Sn为an的前 n 项和，若 a24，a1+a310，则 S4 15斜率为 的直线 1 过抛物线 y22px（p0）的焦点，若直线 1 与圆（x2）2+y24 相切，则 p 16正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2，侧
5、棱长为 2 ，过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直的 平面 ，则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为 ，平面 将此正四棱锥分成的 两部分体积的比值为 三、 解答题： 共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn（n+2）（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn ，求数列bn的前 n 项和 Tn 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，ACAB1，B1CBC1O （
6、1）求证：B1CAB； （2）若CBB160，ACBC，三棱锥 ABB1C 的体积为 1，且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，求三棱锥 ABB1C 的表面积 19 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平， 倡导全民做到每天参加一次以上的健身活 动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定为响应全民健身号召，某单位在 职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了 30 名职工的体测数据作为样本进行调 查， 具体数据如茎叶图所示， 其中有 1 名女职工的健康指数的数据模糊不清 （用 x 表示） ， 已知这 30 名职工的健康指数的平均数为 76.2 （1）根据茎叶图，求样本中男职工
7、健康指数的众数和中位数； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人，再从抽取的 5 人 中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人都是男职工的概率； （3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为 81，女职工现有数据（即剔除 x）健康 指数的平均数为 69，方差为 190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结 果精确到 0.1） 20已知椭圆 C： 1（ab0）过点 A（2，0），且离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为 k（k0）的直线 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直 平分线过点（ ，0），求 k 的取值范围 21
8、已知函数 f（x）lnxsinx，记 f（x）的导函数为 f（x） （1）若 h（x）ax f（x）是（0，+）上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （2）若 x（0，2），试判断函数 f（x）的极值点个数，并说明理由 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1）写出曲线 C1和 C2的直角坐标方程； （2） 已知 P 为曲线 C2上的动点，
9、 过点 P 作曲线 C1的切线， 切点为 A， 求|PA|的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|2x2|的最大值为 M，正实数 a，b 满足 a+bM （1）求 2a2+b2的最小值； （2）求证：aabbab 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1若集合 Ax|2x0，Bx|0x1，则 AB（ ） A0，2 B0，1 C1，2 D1，2 【分析】求出集合 A，利用交集定义能求出 AB 解：集合 Ax|2x0x|x2，Bx|0x1， ABx|0x10，1 故选：B 2已知
10、 i 为虚数单位，若 z （1+i）2i，则|z|（ ） A2 B C1 D 【分析】由已知条件，结合复数的运算可得 z1+i，由模长公式可得答案 解：z （1+i）2i， z 1+i， 故|z| 故选：B 3已知角 的项点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，1）在角 的终边上，则 tan（ ） A2 B C D2 【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可 解：点 P（2，1）在角 的终边上， tan ， 故选：C 4若实数 x，y 满足 ，则 z2xy 的最小值是（ ） A2 B C4 D6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数
11、z2x y 的最小值 解：实数 x，y 满足 ，边表示的可行域如图： 化简 z2xy 为 y2xz，z 是直线的截距， 故当 z2xy 过点 A 时，截距取得最大值，此时 z 有最小值， 由 解得 A（ ， ） 故目标函数 z2xy 的最小值为 2 ； 故选：B 5已知函数 f（x）1+x3，若 aR，则 f（a）+f（a）（ ） A0 B2+2a3 C2 D22a3 【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（a）与 f（a）的表达式，进而计算可得答 案 解：根据题意，函数 f（x）1+x3，则 f（a）1+a3，f（a）1+（a）31a3， 则有 f（a）+f（a）2； 故选：C 6若函数
12、f（x）Asin（2x+）（A0，0 ）的部分图象如图所示，则下列叙述正 确的是（ ） A（ ，0）是函数 f（x）图象的一个对称中心 B函数 f（x） 的图象关于直线 x 对称 C函数 f（x） 在区间 ， 上单调递增 D函数 f（x）的图象可由 yAsin 2x 的图象向左平移 个单位得到 【分析】先由图象可知 A2，再把点（ ， ）代入函数解析式，结合 0 ，可求 得 ，从而确定函数的解析式为 f（x） 然后根据正弦函数的中心对 称、轴对称和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可 解：由图可知，A2， 函数 f（x）经过点（ ， ）， ， ， ，即 ， ， 0 ，k1， 函数 f（x
13、） 令 ， ，则 ， ，当 k0 时，对称中心为 ， ， 即 A 正确； 令 ， ，则 ， ，不存在 k 使其对称轴为 x ，即 B 错误； 令 ， ， ，则 ， ， ，当 k0 时，单调递增区间为 ， ， ，即 C 错误； y2sin2x 的图象向左平移 个单位得到 y2sin2（x ） f（x），即 D 错误 故选：A 7周髀算经中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古 代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如 图所示的图形，其中圆的半径为 r，正方形的边长为 a（0ar），若在圆内随机取点， 得到点取自阴影部分的概率是 p，则圆周率
14、 的值为（ ） A B C D 【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得 p，则 可求 解：圆形钱币的半径为 rcm，面积为 S圆 r2； 正方形边长为 acm，面积为 S正方形a2 在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 p 圆 正方形 圆 1 ， 则 故选：A 8在三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 ACC1A1（包括边界）上一 点，若 EF平面 BCC1B1，则动点 F 的轨迹是（ ） A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 【分析】分别取 AC，A1C1，A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，EF，可得
15、 N， E，M，F 共面，且可得使 EF平面 BCC1B1，所以 F 在线段 FN 上 解：分别取 AC，A1C1，A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，EF， 因为 E 为 AB 的中点，可得 NEBC 且 NE ，FMB1C1 ，MF B1C1， 所以 N，E，M，F 共面，所以可得 MEBB1，BEBC， 而 NEMEE， BCBB1B， 所以面 NEMF面 BC1， 而 EF面 MN， 所以 EF面 BC1， 所以要使 EF平面 BCC1B1，则动点 F 的轨迹为线段 FN 故选：A 9已知函数 ， ， ，则 f（x）f（x+1）的解集为（ ） A（1，+） B（1，1）
16、 C ， D ， 【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得 x 的范围 解：函数 ， ， ，则 f（x）f（x+1）， 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1），即 x21（x+1）21，求得 x1 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1），即 log2xlog2（x+1），求得 x1 综上可得，不等式的解集为（ ，+）， 故选：C 10ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+ccosB6，c3，B2C， 则 cosC 的值为（ ） A B C D 【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得 b6cosC，利用两角和的正 弦函数公式， 正弦定理
17、化简已知等式可得 a2c6， 进而根据余弦定理即可求解 cosC 的 值 解：c3，B2C， sinBsin2C2sinCcosC， 由正弦定理 ，可得 ，可得 b6cosC， bcosC+ccosB62c，由正弦定理可得 sinBcoC+sinCcosB2sinC，可得 sin（B+C） sinA2sinC，可得 a2c6， cosC ，可得 cos2 C ， ca，C 为锐角， 解得 cosC 故选：D 11若关于 x 的不等式 2lnxax2+（2a2）x+1 恒成立，则 a 的最小整数值是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】问题等价于 a 在（0，+）恒成立，令 g（x） ，求出
18、g（x） 的最大值，求出 a 的范围即可 解：若关于 x 的不等式 2lnxax2+（2a2）x+1 恒成立， 问题等价于 a 在（0，+）恒成立， 令 g（x） ，则 g（x） ， 令 h（x） xlnx，（x0）， 则 h（x） 0， 故 h（x）在（0，+）递减， 不妨设 h（x）0 的根是 x0， 则 lnx0 x0， 则 x（0，x0）时，g（x）0，g（x）递增， x（x0，+）时，g（x）0，g（x）递减， g（x）maxg（x0） ， h（1）10，h（2） ln20， 1x02， 1， a1，a 的最小整数值是 1， 故选：B 12过双曲线 C： 1（a0，b0）右焦点 F2
19、作双曲线一条渐近线的垂线，垂足 为 P，与双曲线交于点 A，若 3 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ay2x Byx Cy x Dy x 【分析】由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为 ，求得直线 F2P： y 与已知渐近线方程联立求得 P 的坐标，再由向量等式求得 A 的坐标，代 入双曲线方程整理即可求得双曲线 C 的渐近线方程 解：如图，不妨设一条渐近线方程为 ， 则 F2P 所在直线的斜率为 ，直线 F2P：y 联立 ，解得 P（ ， ） 设 A（x0，y0），由 3 ，得（ ， ）3（x0c，y0）， 解得 A（ ， ） 代入 1，得 ， 整理得： 双曲线 C 的渐近线方程为 y
20、 故选：C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量 （k，1）， （4，2），若 与 共线，则实数 k 的值为 2 【分析】根据题意，由向量共线的坐标表示公式可得 2k（1）（4）4，解可得 k 的值，即可得答案 解：根据题意，向量 （k，1）， （4，2）， 若 与 共线，则有 2k（1）（4）4，解可得 k2； 故答案为：2 14已知等比数列an是单调递增数列，Sn为an的前 n 项和，若 a24，a1+a310，则 S4 30 【分析】设等比数列an的公比为 q，由 a24，a1+a310，可得： 4q10，及其等 比数列an是单调递增数列，解得 q
21、再利用求和公式即可得出 解：设等比数列an的公比为 q，a24，a1+a310， 4q10，化为：2q25q+20， 解得 q2 或 等比数列an是单调递增数列， q2 a1 2 则 S4 30 故答案为：30 15斜率为 的直线 1 过抛物线 y22px（p0）的焦点，若直线 1 与圆（x2）2+y24 相切，则 p 12 【分析】求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可 解：斜率为 的直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F（ ，0）， 直线 l 的方程： yx ， 若 l 与圆 M：（x2）2+y24 相切， 可得： 2，解得 p12， 故答案为：12 16正四棱
22、锥 PABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 2 ，过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直的 平面 ，则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为 ，平面 将此正四棱锥分成 的两部分体积的比值为 （或 2） 【分析】由已知得PAC 为正三角形，取 PC 的中点 G，得 AGPC，且 AG 然后 证明 AGEF， 且求得 AG 与 EF 的长度， 可得截面四边形的面积； 再求出四棱锥 PAEGF 的体积与原正四棱锥的体积，则平面 将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求 解：如图， 在正四棱锥 PABCD 中，由底面边长为 2，侧棱长为 ， 可得PAC 为正三角形，取 PC 的中点 G，得 AGPC，且 AG
23、设过 AG 与 PC 垂直的平面交 PB 于 E，交 PD 于 F，连接 EF， 则 EGPC，FGPC，可得 RtPGERtPGF，得 GEGF，PEPF， 在PAE 与PAF 中，由 PAPA，PEPF，APEAPF，得 AEAF AGEF 在等腰三角形 PBC 中，由 PBPC2 ，BC2，得 cosBPC ， 则在 RtPGE 中，得 PE 同理 PF ，则 EFDB，得到 EF 四边形 ； 则 又 ， 平面 将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为 故答案为： ； （或 2） 三、 解答题： 共 70 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题， 每个试
24、题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn（n+2）（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）由 n1 时求得 a1，当 n2 时，由 Snn（n+2）（nN*），可得 Sn1 （n1）（n+1），由得 an2n+1，再检验当 n1 时是否适合，求得 an； （2）由（1）求得 bn ，再利用错位相减法求其前 n 项和 Tn即可 解： （1） 由题知： 当 n1 时， 有 S1133a1； 当 n2 时， 由 Snn （n+2） （
25、nN*） ， 可得 Sn1 （n1） （n+1） ， 由得 an2n+1， 又 n1 时也适合， 故 an2n+1； （2）由（1）知 bn ， Tn 3 5 7（ ） 3+（2n+1） （ ） n， 3 5（ ） 3+（2n+1） ， 由可得： ， 所以 Tn 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，ACAB1，B1CBC1O （1）求证：B1CAB； （2）若CBB160，ACBC，三棱锥 ABB1C 的体积为 1，且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，求三棱锥 ABB1C 的表面积 【分析】（1）由侧面 BB1C1C 为菱形，得 B1CBO，再由
26、 ACAB1，O 为 B1C 的中点， 得 B1CAO，利用直线与平面垂直的判定可得 B1C平面 ABO，从而得到 B 1CAB； （2）点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，即 AO平面 BB1C1C，设 BC2a，由三棱 锥 ABB1C 的体积为 1 求解 a，再求解三角形可得三棱锥 ABB1C 的表面积 【解答】（1）证明：侧面 BB1C1C 为菱形，B1CBO， 又 ACAB1，O 为 B1C 的中点，B1CAO， 而 AOBOO，B1C平面 ABO，得 B1CAB； （2）解：点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，即 AO平面 BB1C1C， 在菱形 BB1C1C
27、 中，CBB160，B1BC 为等边三角形， 又 ACBC，设 BC2a，则 ， AO ， 则 ，即 a1 在平面 BB1O 中，过 O 作 OEBB1，连接 AE， 可得 OE ，则 AE ，同理可得 则三棱锥 ABB1C 的表面积为 19 全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平， 倡导全民做到每天参加一次以上的健身活 动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定为响应全民健身号召，某单位在 职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了 30 名职工的体测数据作为样本进行调 查， 具体数据如茎叶图所示， 其中有 1 名女职工的健康指数的数据模糊不清 （用 x 表示） ， 已知这 30 名职
28、工的健康指数的平均数为 76.2 （1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人，再从抽取的 5 人 中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人都是男职工的概率； （3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为 81，女职工现有数据（即剔除 x）健康 指数的平均数为 69，方差为 190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结 果精确到 0.1） 【分析】（1）根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数； （2）根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所 求的概率值；
29、（3）根据题意求出 x 的值，再计算健康指数的平均数和方差 解： （1）根据茎叶图，计算样本中男职工健康指数的众数是 76，中位数是 （80+82） 81； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人， 男职工抽 5 3（人），记为 a、b、c，女职工 2 人，记为 D、E， 从这 5 人中随机抽取 2 人，所有的基本事件是 ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、 DE 共 10 种， 抽取的 2 人都是男职工的事件为 ab、ac、bc， 故所求的概率为 P ； （3）由题意知，8118+1169+x3076.2，解得 x69； 所以样本中所有女职工
30、的健康指数平均数为 （1169+69）1269， 方差为 s2 11190+（6969）2174.2 20已知椭圆 C： 1（ab0）过点 A（2，0），且离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为 k（k0）的直线 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直 平分线过点（ ，0），求 k 的取值范围 【分析】（1）根据题意得 解得 a，b，c，进而写出椭圆的方程 （2）设直线 l 的方程：ykx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）联立直线 l 与椭圆 C 的方程 得关于 x 的一元二次方程， 由韦达定理可得 x1+x2， x1x2， y1+y2， 0， 即 m
31、24k2+3， 得到 线段 MN 中点（ ， ），写出线段 MN 的垂直平分线的方程为 y （x ），将点（ ，0）代入，得 m ，代入式得 k 的取值范围为 解：（1）因为椭圆 C 过点 A（2，0），且离心率为 所以 解得 a2，b ，c1， 所以椭圆 C 的方程为： （2）设直线 l 的方程：ykx+m，M（x1，y1），N（x2，y2） 联立直线 l 与椭圆 C 的方程得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120， x1+x2 ，x 1x2 ， y1+y2k（x1+x2）+2mk（ ）+2m ， （8km）24（3+4k2）（4m212）48m2+144+192k20，即 m24k2+
32、3， 所以线段 MN 中点（ ， ）， 所以线段 MN 的垂直平分线的方程为 y （x ）， 又因为线段 MN 的垂直平分线过点（ ，0）， 所以 （ ），即 4k 2+8km+30， 所以 m ， 代入式得， ， 解得 k 或 k ， 所以 k 的取值范围为（， ）（ ，+） 21已知函数 f（x）lnxsinx，记 f（x）的导函数为 f（x） （1）若 h（x）ax f（x）是（0，+）上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （2）若 x（0，2），试判断函数 f（x）的极值点个数，并说明理由 【分析】（1）只需 h（x）0 在（0，+）恒成立，借助于三角函数的有界性，问题 可解决
33、（2）分 x（0，1）， ， ， ， ， ， 四种情形分别研究 f（x） 的单调性，进而得出结论 解：（1） ， ax+cosx，因为 h（x）是（0，+）上的单调递增函数， h（x）asinx0（x0）恒成立，因为 sinx1，1， 故 a1 时，h（x）0 恒成立，且导数为 0 时不连续 故 a1 即为所求 （2）由（1）知， ， 当 x（0，1时，f（x）1cosx0， 此时函数 f（x）单调递增，无极值点； 当 ， 时，则 ， ，而由三角函数的性质可知， ， ， 此时函数 f（x）单调递增，无极值点； 当 ， 时，cosx0，则 ， 此时函数 f（x）单调递增，无极值点； 当 ， 时，
34、令 ，则 ， 函数 g（x）单调递减， 又 ， ， 存在唯一的 ， ，使得 g（x0）0， 且当 ， 时，g（x）f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（x0，2）时，g（x）f（x）0，f（x）单调递减， 故 x0是函数 f（x）的极大值点， 综上所述，函数 f（x）在（0，2）上有且仅有唯一的极大值点，无极小值点 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1）写出曲线 C1和 C2的直角坐标方程； （2） 已知 P 为曲线 C2上的动点， 过点 P 作曲线 C1的切
35、线， 切点为 A， 求|PA|的最大值 【分析】 （1） 由 （ 为参数） ， 消去参数 ， 可得曲线 C1的直角坐标方程 由 2 ，得 2+32sin24，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 2的直 角坐标方程； （2）由 P 为曲线 C2上的动点，设 P（2cos，sin），则 P 与圆的圆心的距离 d 利用二次函数求最值，再由勾股 定理求|PA|的最大值 解：（1）由 （ 为参数），消去参数 ，可得 x 2+（y2）21 曲线 C1的直角坐标方程为 x2+（y2）21； 由 2 ，得 2+32sin24， 即 x2+y2+3y24，即 曲线 C2的直角坐标方程为 ； （2）P 为
36、曲线 C2上的动点，设 P（2cos，sin）， 则 P 与圆的圆心的距离 d 要使|PA|的最大值，则 d 最大，当 sin 时，d 有最大值为 |PA|的最大值为 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|2x2|的最大值为 M，正实数 a，b 满足 a+bM （1）求 2a2+b2的最小值； （2）求证：aabbab 【分析】（1）由绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得 f（x）的最大值，即有 M 的 值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值； （2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性 质，即可得证 解：（1）函数 f（x）|x+1|2
37、x2|x+1|x1|x1| |x+1x+1|11|2，当 x1 时，f（x）取得最大值 2， 即 M2， 正实数 a，b 满足 a+b2， 由柯西不等式可得（2a2+b2）（ 1）（ a b） 2， 化为 2a2+b2 ， 当 b2a 时，2a 2+b2取得最小值 ； （2）证明：因为 a+b2，a，b0，要证 aabbab，即证 alna+blnblna+lnb， 即证（a1）lna（1b）lnb， 即证（1a）ln（ 1）0， 当 0a1 时， 11，所以 ln（ 1）0， 由 1a0，可得（1a）ln（ 1）0； 当 a1 时，（1a）ln（ 1）0； 当 1a2 时，0 11，所以 ln（ 1）0， 因为 1a0，所以（1a）ln（ 1）0， 综上所述，（1a）ln（ 1）0 成立，即 a abbab
