1、南、北为两个相反方向，如果+4m 表示一个物体向北运动 4m，那么3m 表示的 是（ ） A向东运动 3m B向南运动 3m C向西运动 3m D向北运动 3m 2 （3 分）下列四个几何体中，从正面看得到的平面图形是三角形的是（ ） A B C D 3 （3 分） 2019 年 3 月 11 日互联网生活服务平台美团点评发布 2018 年全年美团点评实现总 营收为 652 亿元，同比增长 92.3%，数据“652 亿”用科学记数法表示为（ ） A0.6521011 B6.52109 C6.521010 D65.21010 4 （3 分）某班级开展一种游戏互动，规则是：在 20 个商标中，有
2、5 个商标牌的背面注明 了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖，每人有三次翻牌机 会小明同学前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么他第三次翻牌获 奖的概率是（ ） A B C D 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （4a）24a2 B2a+2b4ab C2 D321 6 （3 分）甲、乙两地相距 100 千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度 v（千米/小时） 与时间 t（小时）之间的函数关系用图象表示大致为（ ） A B 第 2 页（共 24 页） C D 7 （3 分）如图，将ABC 沿过边上两点 D，E 的直线折叠后，使得点 B 与点 A 重合若
3、已 知 BE4cm，DE3cm，则ABC 的周长与ADC 的周长的差为（ ） A4cm B5cm C8cm D10cm 8 （3 分）对于抛物线 yx2+x4，下列说法正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而减少 B当 x2 时，y 有最大值3 C顶点坐标为（2，7） D抛物线与 x 轴有两个交点 9（3 分） 若一次函数 yax+b 的图象经过一、 二、 四象限， 则下列不等式中能成立的是 （ ） Aa0 Bb0 Ca+b0 Dab0 10 （3 分）定义新运算：a*ba（mb） 若方程 x2mx+40 有两个相等正实数根，且 b*ba*a（其中 ab） ，则 a+b 的值为（ ） A4 B4
4、 C2 D2 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小个小题，每小题题 3 分，共分，共 18 分分.） 11 （3 分）分解因式：2aa2b 12 （3 分）当代数式有意义时，实数 x 的取值范围是 13 （3 分）方程的解是 14 （3 分）如图，ABC 中，ABAC12，点 D 在 AC 上，DC4，将线段 DC 沿 CB 方 向平移 7 个单位长度得到线段 EF，此时点 E，F 分别落在边 AB，BC 上，则ADE 的周 长是 第 3 页（共 24 页） 15 （3 分）如图， ABC 内接于O，若O 的半径为 6， A60， 则的长为 16 （3 分）如图，在正方形 A
5、BCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AB，BD 上，且ADEFDE，DE 交 AC 于点 G，连接 GF得到下列四个结论：ADG 22.5；SAGDSOGD；BE2OG；四边形 AEFG 是菱形，其中正确的结论 是 （填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.） 17 （9 分）解不等式组：，并在数轴上表示解集 18 （9 分）如图，RtABC 中，ABC90，O 是 AC 的中点，若 ABAO，求ABO 的 度数 19
6、（10 分）正比例函数 y2x 与反比例函数 y的图象有一个交点的纵坐标为 4，求关于 x 的方程 2x的解 20 （10 分）若 a，b 互为倒数，请求出式子（）的值 21 （12 分）如图，已知ABC 的面积为 4，D 为 AB 的中点 第 4 页（共 24 页） （1）尺规作图：作边 AC 的中点 E，并连接 DE； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，求ADE 的面积 22 （12 分）如图，为测量某条河的宽度 BC，工程队用无人机在距地面高度为 200 米的 A 处测得 B，C 两点的俯角分别为 30和 45，且点 B，C，D 在同一水平直线上，求 A， C 之间
7、的距离和这条河的宽度 BC （结果保留根号） 23 （12 分） 如图，直线 AD 与 x 轴交于点 C，与双曲线 y交于点 A，ABx 轴于点 B（4， 0） ，点 D 的坐标为（0，2） （1）求直线 AD 的解析式； （2）若 x 轴上存在点 M（不与点 C 重合） ，使得AOC 和AOM 相似，求点 M 的坐标 24 （14 分）如图，已知抛物线 yx2+ax+3 的顶点为 P，它分别与 x 轴的负半轴、正半轴 交于点 A，B，与 y 轴正半轴交于点 C，连接 AC，BC，若 tanOCBtanOCA （1）求 a 的值； （2）若过点 P 的直线 l 把四边形 ABPC 分为两部分，
8、它们的面积比为 1：2，求该直线的 解析式 第 5 页（共 24 页） 25 （14 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 为直径，AC 和 BD 交于点 E，ABBC （1）求ADB 的度数； （2）过 B 作 AD 的平行线，交 AC 于 F，试判断线段 EA，CF，EF 之间满足的等量关系， 并说明理由； （3）在（2）条件下过 E，F 分别作 AB，BC 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 GH，交 BO 于 M，若 AG3，S四边形AGMO：S四边形CHMO8：9，求O 的半径 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷年广东省广州市天河区中考数学
9、一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只分，每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的。 ）有一个是正确的。 ） 1 （3 分）南、北为两个相反方向，如果+4m 表示一个物体向北运动 4m，那么3m 表示的 是（ ） A向东运动 3m B向南运动 3m C向西运动 3m D向北运动 3m 【分析】根据正数和负数的意义解答在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为 正，则另一个就用负表示， “正”和“负”相对 【解答】解：南、北为两个相反方向，如果+4m 表
10、示一个物体向北运动 4m，那么3m 表示的是向南运动 3m 故选：B 【点评】本题考查了正数和负数明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示是 解题的关键 2 （3 分）下列四个几何体中，从正面看得到的平面图形是三角形的是（ ） A B C D 【分析】分别找出从正面看所得到的图形即可 【解答】解：A、三棱柱从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意； B、圆锥从正面看得到的平面图形是三角形，故此选项符合题意； C、圆柱从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意； D、长方体从正面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意； 故选：B 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌
11、握简单几何体的三视图 3 （3 分） 2019 年 3 月 11 日互联网生活服务平台美团点评发布 2018 年全年美团点评实现总 营收为 652 亿元，同比增长 92.3%，数据“652 亿”用科学记数法表示为（ ） A0.6521011 B6.52109 C6.521010 D65.21010 第 7 页（共 24 页） 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：652 亿6.5
12、21010 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）某班级开展一种游戏互动，规则是：在 20 个商标中，有 5 个商标牌的背面注明 了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖，每人有三次翻牌机 会小明同学前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么他第三次翻牌获 奖的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意知在余下的 18 个商标牌中，还有 3 个商标牌的背面注明了一定的奖金 额，再根据概率公式计算可得 【解答】解：在余下的 1
13、8 个商标牌中，还有 3 个商标牌的背面注明了一定的奖金额， 他第三次翻牌获奖的概率是， 故选：B 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （4a）24a2 B2a+2b4ab C2 D321 【分析】根据积的乘方对 A 进行判断；根据合并同类项对 B 进行判断；根据二次根式的 除法法则对 C 进行判断；根据二次根式的加减法对 D 进行判断 【解答】解：A、原式16a2，所以 A 选项错误； B、2a 与 2b 不能合并，所以 B 选项错误； C、原式2，所以 C 选项
14、错误； D、原式，所以 D 选项错误 故选：C 第 8 页（共 24 页） 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特 点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍也考查了整式 的运算 6 （3 分）甲、乙两地相距 100 千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度 v（千米/小时） 与时间 t（小时）之间的函数关系用图象表示大致为（ ） A B C D 【分析】直接利用速度，进而得出函数关系式，即可得出其函数图形 【解答】解：甲、乙两地相距 100 千米，某人开车从甲地到乙地， 它的速度 v（千米/小时）与时间 t（小时）之间的函数关系为：v
15、（t0） ， 则此函数关系用图象表示大致为： 故选：D 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键 7 （3 分）如图，将ABC 沿过边上两点 D，E 的直线折叠后，使得点 B 与点 A 重合若已 知 BE4cm，DE3cm，则ABC 的周长与ADC 的周长的差为（ ） A4cm B5cm C8cm D10cm 【分析】由折叠的性质得 ADBD，BEAE4，ABC 的周长ADC 的周长 第 9 页（共 24 页） AB+BC+ACACCDADAB，即可得出结果 【解答】解：将ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合， ADBD，BEAE4， ABBE+
16、AE4+48， ABC 的周长ADC 的周长AB+BC+ACACCDADAB+BDADAB8 （cm） ， 故选：C 【点评】本题考查了折叠的性质、三角形周长的计算等知识；熟练掌握折叠的性质是解 题的关键 8 （3 分）对于抛物线 yx2+x4，下列说法正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而减少 B当 x2 时，y 有最大值3 C顶点坐标为（2，7） D抛物线与 x 轴有两个交点 【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确， 从而可以解答本题 【解答】解：yx2+x4（x2）23， 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小
17、，故选项 A 错误； 当 x2 时，y 有最大值3，故选项 B 正确； 顶点坐标为（2，3） ，故选项 C 错误； 当 y0 时，0x2+x4，此时124（）（4）30，则该抛物 线与 x 轴没有交点，故选项 D 错误； 故选：B 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题 的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 9（3 分） 若一次函数 yax+b 的图象经过一、 二、 四象限， 则下列不等式中能成立的是 （ ） Aa0 Bb0 Ca+b0 Dab0 【分析】根据一次函数的图象和性质得出 a0，b0，再逐个判断即可 【解答】解：一次函数 yax+b 的
18、图象经过一、二、四象限， 第 10 页（共 24 页） a0，b0， ab0， 即选项 A、B、C 都错误，只有选项 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，能熟记一次函数的性质的内容是解此题的 关键 10 （3 分）定义新运算：a*ba（mb） 若方程 x2mx+40 有两个相等正实数根，且 b*ba*a（其中 ab） ，则 a+b 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 【分析】根据判别式的意义得到（m）2440，解得 m14，m24，再利 用方程有两个相等的正实数解，所以 m4，则 a*ba（4b） 利用新定义得到 b（4 b）a（4a） ，然后整理后利用因式分解得到
19、（ab） （a+b4）0，从而得到 a+b 的值 【解答】解：方程 x2mx+40 有两个相等实数根， （m）2440， 解得 m14，m24， 当 m4 时方程有两个相等的负实数解， m4， a*ba（4b） ， b*ba*a， b（4b）a（4a） 整理得 a2b24a+4b0， （ab） （a+b4）0， 第 11 页（共 24 页） 而 ab， a+b40， 即 a+b4 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相 等的两个实数根；当0 时，方程无实数根 二
20、、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.） 11 （3 分）分解因式：2aa2b a（2ab） 【分析】直接提取公因式 a，进而分解因式得出答案 【解答】解：2aa2ba（2ab） 故答案为：a（2ab） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 12 （3 分）当代数式有意义时，实数 x 的取值范围是 x8 【分析】根据二次根式有意义的条件得出 8+x0，求出即可 【解答】解：代数式有意义， 8+x0， 解得：x8， 故答案为：x8 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中 a0 是解此题的关键
21、13 （3 分）方程的解是 x3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：3x+6x， 解得：x3， 经检验 x3 是分式方程的解 故答案为：x3 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 14 （3 分）如图，ABC 中，ABAC12，点 D 在 AC 上，DC4，将线段 DC 沿 CB 方 第 12 页（共 24 页） 向平移 7 个单位长度得到线段 EF，此时点 E，F 分别落在边 AB，BC 上，则ADE 的周 长是 23 【分析】根据等腰三角形性质以及平行四边形的性质即可求出
22、答案 【解答】解：ABAC， BC， CDEF，CDEF， 四边形 EFCD 是平行四边形， EDCF7，EFBC BEFB， BEEFCD4， AEAD1248， ADE 的周长为：8+8+723， 故答案为：23 【点评】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题 属于中等题型 15 （3 分）如图，ABC 内接于O，若O 的半径为 6，A60，则的长为 4 【分析】连接 OB，OC，根据A60，可得BOC120，然后根据弧长公式计算 即可 【解答】解：连接 OB，OC， A60， BOC120， 则4 第 13 页（共 24 页） 故答案为：4 【点评】本题考查
23、了弧长的计算，解答本题的关键是求出圆心角的度数，要求同学们熟 练掌握弧长的计算公式 16 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AB，BD 上，且ADEFDE，DE 交 AC 于点 G，连接 GF得到下列四个结论：ADG 22.5；SAGDSOGD；BE2OG；四边形 AEFG 是菱形，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 【分析】由正方形的性质及ADEFDE，可判断；证明ADGFDG（SAS） ， 可判断；通过全等三角形的性质及等腰三角形的判定可证得 EFGFEAGA，从而 判定四边形 AEFG 是菱形，故可判断； 由OGF 为等
24、腰直角三角形及BFE 为等腰直 角三角形，可判断 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， GADADO45， 由ADEFDE，可得：ADGADO22.5， 故正确； ADEFDE， ADFD，ADGFDG， 又GDGD， ADGFDG（SAS） ， SAGDSOGD， 故错误； ADEFDE， 第 14 页（共 24 页） EAEF， ADGFDG， GAGF，AGDFGD， AGEFGE EFDAOF90， EFAC， FEGAGE， FGEFEG， EFGF， EFGFEAGA， 四边形 AEFG 是菱形，故正确； 四边形 AEFG 是菱形， AEFG， OGFOAB45， OGF 为等
25、腰直角三角形， FGOG， EFOG， BFE 为等腰直角三角形， BEEFOG2OG， 正确 综上，正确的有 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及菱 形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.） 17 （9 分）解不等式组：，并在数轴上表示解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解 集，再在数轴上将解集表示出来即可 【解答】解
26、：解不等式 2x4，得：x2， 第 15 页（共 24 页） 解不等式 3（x+1）x+1，得：x1， 则不等式组的解集为1x2， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18 （9 分）如图，RtABC 中，ABC90，O 是 AC 的中点，若 ABAO，求ABO 的 度数 【分析】根据直角三角形的性质得到 OBACOA，得到ABO 为等边三角形，根据 等边三角形的性质解答即可 【解答】解：在 RtABC 中，ABC90，O 是 AC 的中点
27、， OBACOA， ABAO， OBABAO， ABO 为等边三角形， ABO60 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角 形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键 19 （10 分）正比例函数 y2x 与反比例函数 y的图象有一个交点的纵坐标为 4，求关于 x 的方程 2x的解 【分析】先利用正比例函数解析式确定交点坐标为（2，4） ，再把（2，4）代入 y中 求出 m 得到反比例函数解析式为 y，然后解方程 2x即可 【解答】解：当 y4 时，2x4，解得 x2， 第 16 页（共 24 页） 正比例函数 y2x 与反比例函数 y的图象交点坐标为（
28、2，4） ， 把（2，4）代入 y得 m248， 反比例函数解析式为 y 解方程 2x得 x2 或 x2， 经检验关于 x 的方程 2x的解为 x2 或 x2 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交 点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无 解，则两者无交点也考查了待定系数法求函数解析式 20 （10 分）若 a，b 互为倒数，请求出式子（）的值 【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据 a，b 互为倒数，可以 得到 ab1，再将 ab 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：（） ， a，b 互
29、为倒数， ab1， 当 ab1 时，原式1 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 21 （12 分）如图，已知ABC 的面积为 4，D 为 AB 的中点 （1）尺规作图：作边 AC 的中点 E，并连接 DE； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，求ADE 的面积 【分析】 （1）作线段 AC 的垂直平分线 MN 交 AC 于 E，则点 E 即为边 AC 的中点； 第 17 页（共 24 页） （2）依据 DE 是ABC 的中位线，即可得到 DEBC，DEBC，再根据ADE ABC，即可得到ADE 的面积 【解答】解： （1）作线段 AC 的
30、垂直平分线 MN 交 AC 于 E，则点 E 即为所求； （2）ADDB，AECE， DE 是ABC 的中位线， DEBC，DEBC， ADEABC， ， 即， ADE 的面积为 1 【点评】本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相 似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作 用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图 形进行分解、组合 22 （12 分）如图，为测量某条河的宽度 BC，工程队用无人机在距地面高度为 200 米的 A 处测得 B，C 两点的俯角分别为 30和 45，且点 B，C，D
31、在同一水平直线上，求 A， C 之间的距离和这条河的宽度 BC （结果保留根号） 【分析】可求出 AC200，求出 BD 和 CD，则 BC 可求出 【解答】解：AEDB， ACDEAC45， 第 18 页（共 24 页） 在 RtACD 中，ACD45，AD200 米， AC200（米） ， AEDB， ABDEAB30， 在 RtABD 中，BD200（米） ， 在 RtACD 中，ACDCAD45， CDAD200， BCBDCD（200200） （米） 答：AC 为 200米这条河的宽度 BC 为（200200）米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题题目难度不大，解决本题
32、的 关键是熟练掌握锐角三角函数的定义 23 （12 分） 如图，直线 AD 与 x 轴交于点 C，与双曲线 y交于点 A，ABx 轴于点 B（4， 0） ，点 D 的坐标为（0，2） （1）求直线 AD 的解析式； （2）若 x 轴上存在点 M（不与点 C 重合） ，使得AOC 和AOM 相似，求点 M 的坐标 【分析】 （1）利用的待定系数法求出点 A 的坐标，设直线 AD 的解析式为 ykx+b，转化 为方程组求出 k，b 即可解决问题 （2）由题意点 M 只能在 x 轴的正半轴上，设 OMm，利用相似三角形的性质构建方程 解决问题即可 【解答】解： （1）把 x4 代入 y得到 y2，
33、A（4，2） ， 第 19 页（共 24 页） 设直线 ADA 的解析式为 ykx+b， 则有， 解得 直线 AD 的解析式为 yx2 （2）对于直线 yx2，令 y0，得到 x2， C（2，0） ， OC2， A（4，2） ， OA2， 在AOC 中，ACO 是钝角， 若 M 在 x 轴的负半轴上时，AOMACO， 因此两三角形不可能相似，所以点 M 只能在 x 轴的正半轴上，设 OMm， M 与 C 不重合， AOCAOM 不合题意舍弃， 当，即时，AOCMOA， 解得 m10， 点 M 的坐标为（10，0） 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，相似三角 形
34、的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决 问题，属于中考常考题型 24 （14 分）如图，已知抛物线 yx2+ax+3 的顶点为 P，它分别与 x 轴的负半轴、正半轴 第 20 页（共 24 页） 交于点 A，B，与 y 轴正半轴交于点 C，连接 AC，BC，若 tanOCBtanOCA （1）求 a 的值； （2）若过点 P 的直线 l 把四边形 ABPC 分为两部分，它们的面积比为 1：2，求该直线的 解析式 【分析】 （1）根据抛物线与坐标轴的交点可得一元二次方程，根据韦达定理可得 x1+x2 a；由函数解析式可知当 x0 时 y 的值，则可得 OC 的
35、长；结合 tanOCBtanOCA 得出 OBOA2，再用 x1、x2表示出来，可得 a 的值； （2）由（1）可得抛物线的解析式，则可求得点 P 和点 A、点 B 的坐标，延长 PC 交 x 轴于点 D，作 PFx 轴于点 F，根据 S四边形ABPCSPDBSCDA，可求得四边形 ABPC 的面积；设直线 l 与 x 轴交于点 M（m，0） ，则 BM3m，根据直线 l 把四边形 ABPC 分为面积比为 1：2 的两部分，分情况列出关于 m 的方程，解得 m 的值，则根据待定系 数法可得直线 l 的解析式 【解答】解： （1）抛物线 yx2+ax+3 与 x 轴交于点 A，B， 方程x2+a
36、x+30 有两个不同的实数根 设这两个根分别为 x1、x2，且 x10，x20， 由韦达定理得：x1+x2a， 当 x0 时，yx2+ax+33， OC3 tanOCBtanOCA ， OBOA2， x2（x1）2，即 x2+x12， a2 第 21 页（共 24 页） （2）由（1）得抛物线的解析式为 yx2+2x+3， 其顶点坐标为 P（1，4） 解方程x2+2x+30，得 x11、x23， A（1，0） ，B（3，0） 延长 PC 交 x 轴于点 D，作 PFx 轴于点 F， S四边形ABPCSPDBSCDA DBPFDAOC （3+3）4（31）3 9 设直线 l 与 x 轴交于点 M
37、（m，0） ，则 BM3m， SPMB（3m）462m， 当 62m93 时，m，此时 M（，0） ， 即直线 l 过点 P（1，4） ，M（，0） ， 由待定系数法可得 l 的解析式为 y8x+12； 同理，当 62m96 时，m0，此时 M（0，0） ，即直线 l 过点 P（1，4） ，M（0， 0） ， 由待定系数法可得 l 的解析式为 y4x； 综上所述，直线 l 的解析式为 y8x+12 或 y4x 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线与一元二次 方程的关系、直线与四边形的面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的相关性质是解题 的关键 25 （14 分）如图
38、，四边形 ABCD 内接于O，AC 为直径，AC 和 BD 交于点 E，ABBC 第 22 页（共 24 页） （1）求ADB 的度数； （2）过 B 作 AD 的平行线，交 AC 于 F，试判断线段 EA，CF，EF 之间满足的等量关系， 并说明理由； （3）在（2）条件下过 E，F 分别作 AB，BC 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 GH，交 BO 于 M，若 AG3，S四边形AGMO：S四边形CHMO8：9，求O 的半径 【分析】 （1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案； （2）线段 EA，CF，EF 之间满足的等量关系为：EA2+CF2EF2如图 2，设A
39、BE， CBF，先证明 +45，再过 B 作 BNBE，使 BNBE，连接 NC，判定AEB CNB（SAS） 、BFEBFN（SAS） ，然后在 RtNFC 中，由勾股定理得：CF2+CN2 NF2，将相关线段代入即可得出结论； （3）如图 3，延长 GE，HF 交于 K，由（2）知 EA2+CF2EF2，变形推得 SABCS矩形 BGKH， SBGMS四边形COMH， SBMHS四边形AGMO， 结合已知条件 S四边形AGMO： S四边形CHMO 8：9，设 BG9k，BH8k，则 CH3+k，求得 AE 的长，用含 k 的式子表示出 CF 和 EF，将它们代入 EA2+CF2EF2，解得
40、 k 的值，则可求得答案 【解答】解： （1）如图 1， AC 为直径， ABC90， ACB+BAC90， ABBC， ACBBAC45， 第 23 页（共 24 页） ADBACB45； （2）线段 EA，CF，EF 之间满足的等量关系为：EA2+CF2EF2理由如下： 如图 2，设ABE，CBF， ADBF， EBFADB45， 又ABC90， +45， 过 B 作 BNBE，使 BNBE，连接 NC， ABCB，ABECBN，BEBN， AEBCNB（SAS） ， AECN，BCNBAE45， FCN90 FBN+FBE，BEBN，BFBF， BFEBFN（SAS） ， EFFN， 在
41、 RtNFC 中，CF2+CN2NF2， EA2+CF2EF2； （3）如图 3，延长 GE，HF 交于 K， 由（2）知 EA2+CF2EF2， EA2+CF2EF2， 第 24 页（共 24 页） SAGE+SCFHSEFK， SAGE+SCFH+S五边形BGEFHSEFK+S五边形BGEFH， 即 SABCS矩形BGKH， SABCS矩形BGKH， SGBHSABOSCBO， SBGMS四边形COMH，SBMHS四边形AGMO， S四边形AGMO：S四边形CHMO8：9， SBMH：SBGM8：9， BM 平分GBH， BG：BH9：8， 设 BG9k，BH8k， CH3+k， AG3， AE3， CF（k+3） ，EF（8k3） ， EA2+CF2EF2， +， 整理得：7k26k10， 解得：k1（舍去） ，k21 AB12， AOAB6， O 的半径为 6 【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、 多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是 解题的关键
